第17章 一元二次方程及其应用(作业本)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

4.解：1原式=2X月-√停x=6-2=4(2)原式-36-46=-6.(3)原 式=(2+√3)-[(W3)2+2√3+1]=2+√3-3-2√3-1=-2-√3.(4)原式=√3×3√3 +√2X33-√3X√2-√2X√2=9+3√6-√6-2=7+2√6. 5.解：当a=√2+1时，原式=(3-2√2)(W2+1)2+(1-√2)(W2+1)=(3-2√2)(2+2√2 +1)+(1-√2)(1+√2)=(3-2√2)(3+2√2)+(1-√2)(1+√2)=9-8+1-2=0. 第17章一元二次方程及其应用 17.1一元二次方程 知识梳理 一2 当堂练习 1.D2.A3.C4.B5.-1(答案不唯一，满足≠1即可)6.2 7.解：(1)移项，得方程的一般形式为2x2+3x一1=0.它的二次项系数为2，一次项系 数为3，常数项为一1.(2)去括号，得5x2一10x=4x2一3x.移项、合并同类项，得方程的 一般形式为x2一7x=0.它的二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项为0.(3)去括 号，得3x2十x-2=2x2-x.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2+2x 一2=0.它的二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为一2. 17.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法 当堂练习 1.A2.B 3.解：(1)整理，得x2=144.开平方，得x=士12..原方程的根是x1=12,x2=-12. (2)整理，得x2=9.开平方，得x=士3，.原方程的根是x1=3,x2=一3.(3)整理，得(x -1少2=号开平方，得x一1=士号原方程的根是=号=子 第2课时配方法 当堂练习 1.A2.D 3.解：1)x1=-6+V,=-6-V.(2x=3+,y,,=3二).(3)x1=3+ 2 2 √2i,x2=3-√2I. 第3课时公式法 知识梳理 0-6±YB-4ae 2a ②一般形式 当堂练习 1.C2.A3.D 4.解：(1)，a=1,b=-1,c=-3,.b-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0.代入求根 公式，得x=二（-)士飞=1±飞：原方程的根是=1+压，，=1二区 2×1 2 2 2 (2):a=号，b=-E,c=1,∴公-4ac=(-②2-4×号×1=0.代入求根公式，得x =-（-②)±D=2士瓜.：原方程的根是=x=瓦.(3)原方程可化为4x2-8x+ 2x 1=0.,a=4,b=-8,c=1,.b2-4ac=(-8)2-4×4×1=48>0.代入求根公式，得x 8四2生5：原方程的限是-2生，=2()原方程可化为 2X4 2 3x+18=0.a=1,b=-3,c=18,.b-4ac=(-3)2-4×1×18=-63<0..原方 程无实数根. 34- 第4课时因式分解法 知识梳理 一元一次方程 当堂练习 1.B2.D3.A4.x+2-3=0x=-5,x2=15.3或-1 6.解：(1)把方程左边分解因式，得x(2x一3)=0.因此，有x=0或2x一3=0.∴.原方程 的根是=0，=冬.(2)把方程左边分解因式，得(2z-32=0.因此，有2x-3=0, “原方程的根是马==号.(3)移项，得x(2-3)十3x一2=0.把方程左边分解因 式，得(3x-2)(一x十1)=0.因此，有3x-2=0或一x十1=0..原方程的根是x1= 2 x=1,.(4)整理，得x-5x-6=0.把方程左边分解因式，得(x-6)(x+1)=0.因 此，有x一6=0或x十1=0..原方程的根是x1=6,x2=一1. 17.3一元二次方程根的判别式 知识梳理 b一4ac两个不相等的两个相等的没有 当堂练习 1.A2.B3.D4.D5.m<1且m≠0 6.解：(1)·△=42-4×3×（一3）=52>0，.原方程有两个不相等的实数根.(2)原方 程可变形为4x2-12x十9=0.，△=（一12）2一4×4×9=0，.原方程有两个相等的实 数根.(3)原方程可变形为5y2-7y十5=0.，△=(-7)2-4×5×5=-51<0，.原方 程没有实数根.(4)原方程可变形为3x2-6x一5=0.，△=（一6）2一4×3×（一5）=96 >0,.原方程有两个不相等的实数根. 17.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 当堂练习 1.B2.C3.B4.A5.43 6.解：(1)x1十x2=-7,x1x2=6.(2)整理，得x2一√2x-3=0.x1十x2=√2，x1x2= -3.(3)十=号五=-1.4)整理，得6-5x十1=0.a十=号函=日 1 7.解：由题意，得x十x2=2,x1x2=-3.(1)原式=x1x2-(x1十x2)十1=-3-2+1= -4.(2)原式=(x1十x2)2-2x1x2=22-2X(-3)=10. 17.5一元二次方程的应用 第1课时几何图形的面积问题 知识梳理 (a-x)(b-x)(a-2x)(6-2x) 当堂练习 1.B2.B3.10 4.解：(1)(100-2x)(50-2x)(2)根据题意，得(100-2x)(50-2x)=3600,解得 x1=5,x2=70(不合题意，舍去).答：正方形观光休息亭的边长为5m. 第2课时平均变化率与数字问题 当堂练习 1.B2.B3.B 4.解：(1)设该社区的图书借阅总量从八月份至十月份的月平均增长率为x.根据题意， 得2000(1十x)2=2880,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去).答：该社区 的图书借阅总量从八月份至十月份的月平均增长率为20%.(2)2880×(1十20%)= 3456(本).答：十一月份的图书借阅总量是3456本. —35 5.解：设最小数为x,则最大数为x十10.根据题意，得x(x十10)=144，解得x1=8,x2 =一18（不合题意，舍去）..x十10=18.答：最小数为8，最大数为18. 第3课时营销、传播与循环问题 当堂练习 1.D2.C3.114.4 5.解：设应邀请x支球队参赛.根据题意，得2x(x一1)=3X7,解得x=7,x=一6 (不合题意，舍去).答：应邀请7支球队参赛， 6.解：1100+)(100-x)(2)根据题意，得(100+x)(100-2)=11200, 解得x1=40,x2=60.答：每间包房的收费应提高40元或60元. 第4课时可化为一元二次方程的分式方程及应用 当堂练习 1.D2.20-20 ”xx+2.5=0.43.40 4.解：方程两边同乘以x(x一1)，得x+5一6x=3x(x一1).整理，得3x2十2x一5=0.解 得=1，x=一号经检验，x=1是方程的增根.“原方程的根是x=号 5 解：设八年级有工名学生参加了这项活动，根据题意，得十1+0整理，衣 x2-700x十100000=0，解得x1=200,x2=500.经检验，x1=200,x2=500都是原方程 的根..1000÷500=2<5，∴.x2=500不合题意.∴.x=200,此时x十100=300.答：八 年级有200名学生，九年级有300名学生参加了这项活动. 第18章勾股定理及其逆定理 18.1勾股定理 第1课时勾股定理 知识梳理 平方和平方 当堂练习 1.A2.C3.D4.(1)8(2)415.-√5 6.解：在Rt△ACD中，AD=16,CD=12,由勾股定理，得AC=√AD+CD=20.在 Rt△ABC中，BC=15,由勾股定理，得AB=√AC+BC=25. 第2课时勾股定理的实际应用 当堂练习 1.C2.483.1504.7 5.解：(1)在Rt△ABC中，：∠C=90°，AC=9km,AB=15km,∴.BC=√AB2-AC= √15-92=12(km).,BD=5km,∴.CD=BC-CD=12-5=7(km).答：公路CD的 长度为7km(②DHLAB,.S8m=号AC.BD=子AB,DH∴DH=ACBD AB =3km...修建公路DH的总费用为3×2000=6000（万元）. 18.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 当堂练习 1.A2.D3.D 4.证明：：CD⊥AB,·∠ADC=∠BDC=90°.由勾股定理，得AC=AD2+CD2=12+ 22=5,BC2=CD2+BD2=22+42=20,,AD=1,BD=4,∴.AB=AD+BD=5.∴AB =25..AC+BC=AB2.∴.△ABC是直角三角形.∠ACB=90°. 第2课时勾股定理逆定理的应用 当堂练习 1.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 一 36第17章一元二次方程及其应用 17.1一元二次方程 知识梳理 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫作一元二次 方程.一元二次方程的一般形式是ax2十bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中ax2叫作二 次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项. 当堂练习 1.下列方程中，是一元二次方程的是 A.3x-1=0 B.2x2-y-1=0 C.x2-x(x+2.5)=0D.x2-3x=0 2.将方程x2=10+8x化成一般形式后，一次项系数、常数项分别是 ( A.-8,-10 B.-8,10 C.8,-10 D.10,8 3.下列各数中，是方程x2=4x一3的解的是 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.一个长方形的长为8m,宽为6m,现将长加长xm、宽同时缩短xm,使变化后的长方 形面积为40m,则下列方程正确的是 ( A.8X6-x2=40 B.(8+x)(6-x)=40 C.(8+x)(6-x)÷2=40 D.(8-x)(6+x)=40 5.若关于x的方程(k一1)x2+2x一3=0是一元二次方程，则k的值可以是 .(写 出一个即可) 6.已知关于x的一元二次方程x2+kx一3=0的一个根为x=1,则k的值为 7.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常 数项 (1)2x2-1=-3x; (2)5x(x-2)=4x2-3x; (3)(3x-2)(x+1)=x(2x-1) ·6。 17.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法 当堂练习 1.一元二次方程x2=2的根是 A.x1=√2，x2=-√2 B.x1=1,x2=2 C.x1=x2=2 D.x1=x2=-2 2.若关于x的方程(x一4)2=a有实数根，则a的取值范围是 A.a≠0 B.a≥0 C.a>0 D.a<0 3.解下列方程： (1)x2-144=0; (2)3x2-25=2; (3)9(x-1)2-4=0. 第2课时 配方法 当堂练习 1.用配方法解方程x2十x=2时，应把方程的两边同时 A.加号 B加号 C减号 D.减号 2.将方程2x2一4x一3=0配方后所得的方程正确的是 A.(x-1)2=0 B.(x-1)2=4 C(x-10=号 D.(x-1)2= 5 3.解下列方程： (1)x2+12x+25=0; (2)-3x-1=0: (3)-2x-4=0, ·7· 第3课时公式法 知识梳理 ①一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0，且b2-4ac≥0)的求根公式：x= ②有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成 ,确定a,b,c 的值，然后，把α，b,c的值代入求根公式，就可以得出方程的实数根.这种解法叫作公 式法. 当堂练习 1.用公式法解方程x2十x=2时，求根公式中a,b,c的值分别为 ( ) A.1,1,2 B.1,-1,-2 C.1,1,-2 D.1,-1,2 2.如果一元二次方程x2十x十q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是( A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0 C.p2-4q>0 D.p2-4q<0 3.若x==2-V2.4X2x-亚 2X2 是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要 求的方程是 ( A.2x2-2x-1=0 B.2x2-2x+1=0 C.2x2+2x+1=0 D.2x2+2x-1=0 4.解下列方程： (1)x2-x-3=0; (2)3x-x+1=0: (3)4x2-2x=6x-1; (4)3x(x-1)=2(x-3)(x+3). ·8… 第4课时因式分解法 知识梳理 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个 来求解的方法叫作 因式分解法， 当堂练习 1.解一元二次方程x(x十1)=x+1时，变形正确的是 A.x=1 B.(x+1)(x-1)=0C.(x-1)2=0 D.(x十1)2=0 2.解下列一元二次方程时，最适合用因式分解法的是 ( ) A.x2-x-1=0 B.(x-1)2-4x=2C.x2-7x=-1 D.(x-3)2-16=0 3.用因式分解法解方程时，下列过程正确的是 A.由(2x-1)(3x-4)=0得2x-1=0或3x-4=0 B.由(x+4)(x-2)=1得x+4=1或x-2=1 C.由(x-5)(x-6)=5×6得x-5=5或x-6=6 D.由x(x+8)=0得x十8=0 4.用因式分解法解一元二次方程(x十2)2一9=0时，要转化成两个一元一次方程求解， 其中的一个方程是x十2十3=0，则另一个方程是 ,因此一元二次方程 (x十2)2一9=0的解是 5.若代数式3一x与一x(x一3)的值互为相反数，则x的值是 6.解下列方程： (1)2x2-3x=0; (2)4x2-12x+9=0; (3)x(2-3x)=2-3x; (4)x2+x-6=6x. ·9 17.3一元二次方程根的判别式 知识梳理 一般地，一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，其中△= 当△>0时，方 程有 实数根；当△=0时，方程有 实数根；当△<0时，方程 实数根. 当堂练习 1.对于一元二次方程x2一2x十1=0，根的判别式的值是 A.0 B.2 C.-1 D.1 2.一元二次方程2x2一5x+3=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 3.若关于x的方程x2-2x十m=0没有实数根，则m的值可以是 A.-1 B.0 C.1 D.√3 4.已知方程x2+ax十16=0有两个相等的实数根，则a的值为 A.4 B.±4 C.8 D.±8 5.若关于x的一元二次方程x2一2x十1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值 范围是 6.用根的判别式判断下列方程根的情况： (1)3x2十4x-3=0; (2)4x2=12x-9; (3)7y=5(y2+1); (4)3x(x-2)=5. ·10· 17.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 如果a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,那么x十x2=,x2= 这个关系通常称为韦达定理， 当堂练习 1.已知方程x2一2x一1=0的两根分别为x1,x2,则x1x2的值是 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.下列方程中，两个实数根的和为0的是 A.x2-x=0 B.x2+2x=0 C.x2-1=0 D.x2-2x+1=0 3.已知关于x的一元二次方程x2十x一6=0有一个根为3，则另一个根为 A.2 B.-2 C.6 D.-6 4.已知实数x1,x2满足x1十x2=9,x1x2=20,则以1，x2为根的一元二次方程是( A.x2-9x+20=0B.x2+9x+20=0 C.x2+9x-20=0 D.x2-9x-20=0 5.设1，x2是方程x2一4x十m=0的两个根，且01十x2一x1x2=1,则1十x2的值为， m的值为. 6.利用根与系数的关系，求下列方程的两个根x1,x2的和与积： (1)x2+7x+6=0; (2)x2-3=√2.x; (3)2x2-3x-2=0; (4)5x-5=6x2-4. 7.已知x1,x2是方程x2一2x一3=0的两个实数根，求下列各式的值： (1)(x1-1)(x2-1); (2)x1+x. ·11· 17.5一元二次方程的应用 第1课时几何图形的面积问题 知识梳理 设长方形ABCD的长为a,宽为b,空白部分的宽为x,则 B -a B -a S阴影二 S阴影= 当堂练习 1.某校准备修建一个面积为181m的长方形活动场地，它的长比宽多11m.设场地的宽 为xm,则可列方程为 A.x(x-11)=181 B.x(x+11)=181 C.2x+2(x-11)=181 D.2x+2(x+11)=181 2.如图，在高为3m、宽为5m的长方形墙面上有一块长方形装饰板 5m xm (图中阴影部分)，装饰板的上边和左右两边都留有宽度为x的空 xm x m 3m 白墙面.若长方形装饰板的面积为6m,则x的值是 ( A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 3.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙 D 角（阴影部分，两边足够长），用40m长的篱笆围成一个长方形花园 ABCD(篱笆只围AB,AD两边，且AD>AB).若长方形花园的面积为 300m,则AB的长为 m. 4.一个长方形花园如图所示，花园的长为100m,宽为50m,在它的四角各建有一个同样 大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴 影部分)种植不同的花草.已知种植花草部分的面积为3600，设正方形观光休息亭 的边长为xm. (1)阴影部分的长为 m,阴影部分的宽为 m;(用含x的代数式表示) (2)求正方形观光休息亭的边长， ·12· 第2课时平均变化率与数字问题 当堂练习 1.临近春节，某千果店迎来了销售旺季，12月第一周的销售额为2万元，第三周的销售额 为2.88万元.设这两周销售额的周平均增长率为x,则根据题意可列方程为() A.2(1+2x)=2.88 B.2(1+x)2=2.88 C.2(1十3x)=2.88 D.2(1-x)2=2.88 2.某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x% 后，售价降低了190元，则x为 A.5 B.10 C.19 D.81 3.已知一个两位数等于它个位上的数的平方，且十位上的数字比个位上的数字小3，则这 个两位数为 ( ) A.25 B.25或36 C.36 D.-25或-36 4.为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每月的图 书借阅总量（单位：本）.该阅览室八月份的图书借阅总量是2000本，十月份的图书借 阅总量是2880本 (1)求该社区的图书借阅总量从八月份至十月份的月平均增长率； (2)如果每月的增长率相同，求十一月份的图书借阅总量. 5.某月的月历如图所示，小明说他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最 大数的积是144，求最小数与最大数分别是多少 日一二三四五六 12345 6789N01112 1314N51617入N819 20212223242526 2728293031 ·13· 第3课时营销、传播与循环问题 当堂练习 1.某校发起了“热爱祖国，说句心里话”的征集活动.某同学将征集活动发在自己的朋友 圈，并邀请x个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请x个好友转发，经此两轮转发 后，共有241人发了朋友圈，则可列方程为 ( A.x2+x=241 B.(x+1)2=241 C.x(x-1)=241 D.x2+x+1=241 2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品的售价定为x元，则可卖 出(350一10x)件.若商店计划从这批商品中获得400元的利润（不计其他成本），且尽 可能地让利于顾客，则x的值是 A.23 B.24 C.25 D.26 3.某生物兴趣小组的同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 110件，则全组的学生人数是 4.电脑病毒是可以传播的.调查发现有一台电脑中了病毒，经过两轮传播后共有25台电 脑中了病毒.则每轮传播中平均一台电脑传播 台电脑中了病毒， 5.某社区组织一次排球比赛，规定每两个队伍之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天举 行3场比赛，应邀请多少支球队参赛？ 6.某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，当每间包房收包房费100元时，包房 便可全部租出.若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出 (1)设每间包房的收费提高x元，则每间包房的收入为 元，按上述要求可租出 的房间有 间； (2)为了使包房的收入为11200元，每间包房的收费应提高多少元？ ·14· 第4课时可化为一元二次方程的分式方程及应用 当堂练习 1.把分式方程子2一123转化为一元三次方程时，方程两边需同时乘以 ( A.3x(x+2) B.3x(x-2) C.3(.x2-4) D.x2-4 2.据调查，今年2月份某食品的价格比去年10月份该食品的价格每千克贵2.5元.小英 的妈妈同样用20元在今年2月份购得该食品比在去年10月份购得该食品少0.4kg, 那么去年10月份该食品每千克是多少元？设去年10月份该食品每千克是x元.根据 题意，可列方程为 3.根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长300m的盲道.铺设了60m后， 由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m,结果共用了8 天完成任务，则该工程队改进技术后每天铺设盲道 m. 4部方程：气+8 5.某中学发起一次爱心捐款活动，在活动中，八年级共捐款1000元，九年级共捐款1800 元，九年级的捐款人数比八年级多100，九年级平均每人比八年级多捐1元，并且这两 个年级的学生平均捐款数都不低于5元，求两个年级各有多少名学生参加了这项活动： ·15·