第16章 二次根式(作业本)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第16章二次根式 16.1二次根式及其性质 知识梳理 ①我们把形如 的式子叫作二次根式，符号“√”叫作二次根号. ②(a)2=a(a 0). a(a>0), ③√a2=|a=0(a=0), -a(a<0). 当堂练习 1.下列各式中，一定是二次根式的是 A.√-8 B.2 C.5 D.x-1 2.若代数式√2x一6在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A.x>3 B.x>3 C.x<3 D.x≤3 3.下列运算正确的是 A.-(√7)2=7 B.√（-7)z=-7 C.√72=士7 D.-√/7=-7 4.实数x为何值时，下列式子有意义？ (1)√/2-x; (2)√x2+1; 822 5.计算： (1)(-√2.5)2； (2)√(-2)4； (3)(3√2)2； (4)W（π-3). ·1 16.2二次根式的运算 1.二次根式的乘除 第1课时二次根式的乘法 知识梳理 ①二次根式的乘法法则：√a·√石= (a≥0，b≥0). ②积的算术平方根的性质：√ab= (a≥0，b≥0). 当堂练习 1.化简√⑧的结果是 A.2√2 B.4√2 C.2 D.4 2.计算：(1)2√3×√7=； 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4√5，BC=2√5，则△ABC的面积为 4.化简： (1)√49×121； (2)√500； (3)√(-14)×(-112). 5.计算： (1)W5×√20； (2),1 (3)6√⑧×(-3√2)； (4) ·2… 第2课时二次根式的除法 知识梳理 √a ①二次根式的除法法则： (a≥0，b>0). ②商的算术平方根的性质： a (a≥0，b>0). ③最简二次根式的条件：(1)被开方数不含 ;(2)被开方数中不含 的 因数或因式 当堂练习 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是 ) B.√g C.√2 D.√18 2.计算√27÷√3的结果是 ) A.±3 B.3 C.9 D.3 3.已知a=√13，b=2√3，则a,b的大小关系为 ( ) A.a=b B.a<6 C.a>b D.无法比较 4.把下列各式的分母有理化： (1)10 (2)二27- 5 2√/12 5.设长方形的面积为S,相邻的两边长分别为a,b.若S=12,a=2√2，则b的值为 6.计算： (1)Y①8 2 (2) 3 V54 ·3· 2.二次根式的加减 第1课时二次根式的加减 知识梳理 ①先把各个根式化成最简二次根式， 相同的二次根式称为同类二次根式 ②二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ,再把同类二次根式合并. ③在二次根式的运算中，实数的运算性质和运算法则同样适用. 当堂练习 1.计算4√3+2√3的结果是 A.6+√3 B.8√3 C.6√3 D.6√6 2.下列二次根式中，与√5是同类二次根式的是 ( A.√25 B.√15 C.√10 D.√45 3计算2-、√日的结果是 B.√3 C.53 3 D. 4.计算：(1)√20+√5= (2)√27-√3-4√3= 5.用一根铁丝围成一个长为√I8、宽为√2的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围 成一个正方形，则该正方形的边长为 6.计算： (1)-2√2+2（√2+√5）； (2)√108-√96+√54； 3)20-(5-): (4(+V爱)-（√+26同 ·4 第2课时二次根式的混合运算 知识梳理 ①实数运算中的运算律和整式乘法中的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.如： (√a+√b)(√a-√b)=a-b,(a±√b)2=a±2/ab+b. ②运算顺序：先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里的. 当堂练习 1.计算（√/27-√12）÷√的结果是 B.1 C.√5 D.3 2.已知一个正方形的边长为√5+1，则该正方形的面积为 A.5+25 B.6+2√5 C.26+25 D.26+10√5 3计算：)V丽×十6= (2)(2+√5)(2-√5)= 4.计算： D(-√)x3, (2)3√6-4√12÷√2； (3)1 -(W3+1)2; (4)(5+√2)(3√5-√2). 2-√5 5.已知a=√2+1，求代数式(3-2√2)a2+(1-√2)a的值. ·5…Rt△CDB中，BD=√CD+CB=√I0. 18.解：(1)公式法②(2)移项，得x2-3x-1=0.,a=1,b=-3,c=-1,∴b2-4ac =(-3)2-4×1×(-1)=13>0.代人求根公式，得x=二(-3)±飞=3±3 2×1 2 :原方程的根是=3+，区，=3二区 2 2 19.解：(1)78(2)八年级学生掌握禁毒知识较好.理由如下：，七、八年级学生的竞 赛成绩的平均数相同，八年级学生成绩的方差小，成绩更稳定，，·八年级学生掌握禁毒 知识较好.（答案不唯一） 20.(1)证明：连接AC.,AD⊥CD,∴.AD2+CD2=AC.CD2+AD2=2AB2,∴.AC =2AB2.BC=AB,.AC=AB2+BC.∠B=90°，即AB⊥BC.(2)解：由(1)知 ZB-90',:.CD+AD:-AB+BC.CD-AB,AB-BC,AD=17,:.CD+17 =(3CD)2十(3CD)2..CD=√I7..AB=BC=317..四边形ABCD的周长为CD +AD+AB+BC=17+7√I7. 21.解：(1)证明如下：由折叠的性质，得PB=EP,BF=EF,∠BPF=∠EPF.又：'EF ∥AB,∴∠BPF=∠EFP.∴∠EPF=∠EFP..EP=EF.BP=BF=EF=EP. ..四边形BFEP为菱形.(2)·四边形ABCD是矩形，.∴.BC=AD=5cm,CD=AB= 3cm,∠A=∠D=90°.由折叠的性质，得CE=BC=5cm,.DE=√CE-CD= 4cm..AE=AD-DE=1cm.:四边形BFEP是菱形，∴.BP=EP.在Rt△APE中，EP2= AP+AE,EP=(8-EP+1,解得EP-号cm∴菱形BFEP的边长为号m 22.解：(1)设y关于x的函数关系式为y=kx十b.将(400,100)，(600,60)代入，得 400k+b=100, 得=一言'：售价不低于成本且不超过成本的130%，400≤ 解得 600k+b=60, (b=180. ≤400X130%,即400≤x<620.y关于x的函数关系式为y=-号x+180(400≤x ≤520).(2)根据题意，得(x-40)(-号x+180）=800,解得1=50，=80.又 :400≤x≤520，.x=500..当售价为500元/kg时，该茶庄日利润为3000元.(3)根 据题意，得(x-40)(-号x+180）=1400,整理，得x2-1300x十43000=0.：△= 13002-4×430000=一30000<0，.该方程无解..茶庄的日利润不能达到14000元. 23.(I解：四边形ABCD是正方形，∠BAD=∠ADC=90,∠BDA=号∠ADC- 45°，AB=AD.BE是线段AA'的垂直平分线，.A'E=AE=1,A'B=AB.:BE= BE,.△ABE≌△A'BE(SSS).∴.∠BA'E=∠BAE=90°..∠DA'E=90°..△A'DE 是等腰直角三角形.∴A'D=A'E=1..DE=√AE2+AD=√2.∴AB=AD=AE十 DE=1十√2.(2)①证明：由题意知，AB=A'B=BC,∠BAA'=∠BA'A,∠BCA'= ∠BAC.∠AAC=∠BA'A+∠BAC=2I80-∠ABA)+2180°-∠CBA)= 135°.∴.∠CA'F=180°-∠AA'C=45°.②解：△A'DG是等腰直角三角形.理由如下： 过点C作CN⊥BG,交BG于点M,交AB于点N.:CM⊥BG,CG=CB,∴∠BCM= ∠GCM=2∠BCG.:AA'⊥BE,∴AF∥CM∴∠A'GC=∠GCM,∠A'CM=∠CA'F =45°，∠FAB=∠BNC.,∠DAG+∠FAB=90°，∠BCM+∠BNC=90°，∴.∠DAG= ∠BCM=∠A'GC.又AD=BC=CG,AG=A'G,∴.△AGD≌△GA'C(SAS). ∴.∠AGD=∠CA'G=135°，DG=A'C.∴∠DGA'=45°.，∠A'CG+∠GCM=45°= ∠A'CD+∠BCM,∴.∠A'CG=∠A'CD.:A'C=A'C,CG=BC=CD,.△A'CD≌ △A'CG(SAS)..A'D=A'G.∠A'DG=∠A'GD=45°.∴.∠DA'G=90°..△A'DG 是等腰直角三角形。 一 31 期末综合评价（二） 1.B2.C3.C4.B5.B6.B7.B8.C9.A10.C11.2W612.12 13.-114.145°(2)号 15.解：原式=9-5+2-2W3=6-2√3. 16.解：，方程有两个不相等的实数根，∴.△=（一4）2一4X1×(3m一2)=24一12m>0, 解得m<2. 17.解：1)(a-2)+v64+2c-7=0a-25=0,6-4=0,2c-7- 0,解得a=2V3,b=4,c=2√7.(2)，(23)2+42=28=(27)2，即a2+b2=c2,∴.以a, b,c为边长的三角形是直角三角形. 18.解：四边形ABCD是正方形，.∠BCD=90°，BC=CD,O是BD的中点.CE= 7,△CEF的周长为32，CF+EF=32-7=25.:F为DE的中点，CF=DE= DF=EF..EF=CF=12.5..DE=25.在Rt△DCE中，CD=√DE2-CE2=24. ∴BC=CD=24.:0为BD的中点，0F是△BDE的中位线.OF=合BE=2(BC -C8=7 19.解：(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x.根据题意，得20(1十x)2=33.8, 解得x1=0.3=30%,x2=一2.3（不符合题意，舍去）.答：该公司投递快递总件数的月 增长率为30%.(2)33.8×(1十30%)=43.94（万件）.43.94<45，.5月份投递快递 总件数不能达到45万件 20.解：(1)7270.510(2)A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：虽然两款 智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位 数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好.（答案不 唯一)(3)两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的约有200×80+120×(1一40%) =120+72=192(架). 21.解：(1)√m+1√n+9(2)过点D作DH⊥CA,交CA的延长线于点H,连接 CD..四边形ABDH为矩形.∴.AH=BD=3,DH=AB=3.∴.CH=AC+AH=4.在 Rt△CHD中，CD=√CH+DH=5.∴.CE+DE的最小值为5，即√m2+I+ √/n2+9的最小值为5.(3)13 22.解：(1)是(2)将x=m十1代入方程，得(m十1)2+2m(m+1)十m十1=0，解得m1 =-号，m=-1.(3):a2十6c十6=0是“常数根一元二次方程”，方程的一个根为 x=c.代人方程，得ac2十bc十c=0,即c(ac十b+1)=0.:x=0不是ax2+bx十c=0的 一个根，∴.c≠0.∴.ac+b+1=0.把y=1代入方程acy2十by十1=0，得左边=ac十b+1 =0=右边.∴y=1是方程acy2+by+1=0的一个根.∴.关于y的方程acy2十by十1= 0是“常数根一元二次方程”. 23.解：(1)根据题意，得AP=t,CQ=3t,.BQ=BC-CQ=26-3t.·AD∥BC,∠B= 90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形..t=26-3t,解得t=6.5.(2)·AD∥ BC,∴.当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.AP=t,.PD=24一t..24-t =3t,解得t=6.(3)过点D作DM⊥BC于点M,则∠BMD=90°.：AD∥BC,AB⊥ BC,∴.∠A=∠B=90°..四边形ABMD为矩形.，.DM=AB,BM=AD=24.∴.CM= BC-BM=2.若四边形PQCD是菱形，则CD=CQ=PD..24-t=3t,解得t=6. .CD=CQ=3t=18.在Rt△CDM中，DM=√CD2-CM=85..AB=8V5. -32 作业本 第16章二次根式 16.1二次根式及其性质 知识梳理 ①va(a≥0)②≥ 当堂练习 1.C2.B3.D 4.解：(1)要使V√2一x有意义，则2-x≥0，解得x≤2..当x≤2时，√2-x有意义. (2):x为任何实数都有x2十1>0，∴.当x为一切实数时，√2十I有意义.(3)要使 1 有意义，则2x一4>0，解得x>2.“当>2时，1一有意义. √2x-4 W2x-4 5.解：(1)原式=2.5.(2)原式=4.(3)原式=18.(4)原式=π-3. 16.2二次根式的运算 1.二次根式的乘除 第1课时二次根式的乘法 知识梳理 0√ab@a·√6 当堂练习 1.A2.(1)2√/21(2)33.20 4.解：(1)原式=√49×√12I=7×11=77.(2)原式=√100×√5=10√5.(3)原式= W14×14X4X2=w14×V4×wW2=14×2×√2=28√2. 5解：①原式==10.(2)原式=√号×6-而(3)原式=-18V5= -2.()原式=-√层×号×24=-V5=-46. 第2课时二次根式的除法 知识梳理 a 0W6 eva ③分母能开得尽方 当堂练习 1.C2.B3.C4.(1)25(2)-35.3V2 4 6.解：1隙式=√唇-.(2)原式=-√/÷高=√/×要=-⑧=-3厄 (3)原式=(6÷3)√3×5=2/15. 2.二次根式的加减 第1课时二次根式的加减 知识梳理 ①被开方数②最简二次根式 当堂练习 1.C2.D3.C4.(1)3√5(2)-235.22 6.解：(1)原式=-2√2+2√2+2√5=2√5.(2)原式=6√5-4√6+3√6=6√3-√6. 8)原式=25-5+25-5(0原式=26+99-26-2g 5 39 9 第2课时二次根式的混合运算 当堂练习 1.B2.B3.(1)3√6(2)-1 —33 4.解：1原式=2X月-√停x=6-2=4(2)原式-36-46=-6.(3)原 式=(2+√3)-[(W3)2+2√3+1]=2+√3-3-2√3-1=-2-√3.(4)原式=√3×3√3 +√2X33-√3X√2-√2X√2=9+3√6-√6-2=7+2√6. 5.解：当a=√2+1时，原式=(3-2√2)(W2+1)2+(1-√2)(W2+1)=(3-2√2)(2+2√2 +1)+(1-√2)(1+√2)=(3-2√2)(3+2√2)+(1-√2)(1+√2)=9-8+1-2=0. 第17章一元二次方程及其应用 17.1一元二次方程 知识梳理 一2 当堂练习 1.D2.A3.C4.B5.-1(答案不唯一，满足≠1即可)6.2 7.解：(1)移项，得方程的一般形式为2x2+3x一1=0.它的二次项系数为2，一次项系 数为3，常数项为一1.(2)去括号，得5x2一10x=4x2一3x.移项、合并同类项，得方程的 一般形式为x2一7x=0.它的二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项为0.(3)去括 号，得3x2十x-2=2x2-x.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2+2x 一2=0.它的二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为一2. 17.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法 当堂练习 1.A2.B 3.解：(1)整理，得x2=144.开平方，得x=士12..原方程的根是x1=12,x2=-12. (2)整理，得x2=9.开平方，得x=士3，.原方程的根是x1=3,x2=一3.(3)整理，得(x -1少2=号开平方，得x一1=士号原方程的根是=号=子 第2课时配方法 当堂练习 1.A2.D 3.解：1)x1=-6+V,=-6-V.(2x=3+,y,,=3二).(3)x1=3+ 2 2 √2i,x2=3-√2I. 第3课时公式法 知识梳理 0-6±YB-4ae 2a ②一般形式 当堂练习 1.C2.A3.D 4.解：(1)，a=1,b=-1,c=-3,.b-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0.代入求根 公式，得x=二（-)士飞=1±飞：原方程的根是=1+压，，=1二区 2×1 2 2 2 (2):a=号，b=-E,c=1,∴公-4ac=(-②2-4×号×1=0.代入求根公式，得x =-（-②)±D=2士瓜.：原方程的根是=x=瓦.(3)原方程可化为4x2-8x+ 2x 1=0.,a=4,b=-8,c=1,.b2-4ac=(-8)2-4×4×1=48>0.代入求根公式，得x 8四2生5：原方程的限是-2生，=2()原方程可化为 2X4 2 3x+18=0.a=1,b=-3,c=18,.b-4ac=(-3)2-4×1×18=-63<0..原方 程无实数根. 34- 第4课时因式分解法 知识梳理 一元一次方程 当堂练习 1.B2.D3.A4.x+2-3=0x=-5,x2=15.3或-1 6.解：(1)把方程左边分解因式，得x(2x一3)=0.因此，有x=0或2x一3=0.∴.原方程 的根是=0，=冬.(2)把方程左边分解因式，得(2z-32=0.因此，有2x-3=0, “原方程的根是马==号.(3)移项，得x(2-3)十3x一2=0.把方程左边分解因 式，得(3x-2)(一x十1)=0.因此，有3x-2=0或一x十1=0..原方程的根是x1= 2 x=1,.(4)整理，得x-5x-6=0.把方程左边分解因式，得(x-6)(x+1)=0.因 此，有x一6=0或x十1=0..原方程的根是x1=6,x2=一1. 17.3一元二次方程根的判别式 知识梳理 b一4ac两个不相等的两个相等的没有 当堂练习 1.A2.B3.D4.D5.m<1且m≠0 6.解：(1)·△=42-4×3×（一3）=52>0，.原方程有两个不相等的实数根.(2)原方 程可变形为4x2-12x十9=0.，△=（一12）2一4×4×9=0，.原方程有两个相等的实 数根.(3)原方程可变形为5y2-7y十5=0.，△=(-7)2-4×5×5=-51<0，.原方 程没有实数根.(4)原方程可变形为3x2-6x一5=0.，△=（一6）2一4×3×（一5）=96 >0,.原方程有两个不相等的实数根. 17.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 当堂练习 1.B2.C3.B4.A5.43 6.解：(1)x1十x2=-7,x1x2=6.(2)整理，得x2一√2x-3=0.x1十x2=√2，x1x2= -3.(3)十=号五=-1.4)整理，得6-5x十1=0.a十=号函=日 1 7.解：由题意，得x十x2=2,x1x2=-3.(1)原式=x1x2-(x1十x2)十1=-3-2+1= -4.(2)原式=(x1十x2)2-2x1x2=22-2X(-3)=10. 17.5一元二次方程的应用 第1课时几何图形的面积问题 知识梳理 (a-x)(b-x)(a-2x)(6-2x) 当堂练习 1.B2.B3.10 4.解：(1)(100-2x)(50-2x)(2)根据题意，得(100-2x)(50-2x)=3600,解得 x1=5,x2=70(不合题意，舍去).答：正方形观光休息亭的边长为5m. 第2课时平均变化率与数字问题 当堂练习 1.B2.B3.B 4.解：(1)设该社区的图书借阅总量从八月份至十月份的月平均增长率为x.根据题意， 得2000(1十x)2=2880,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去).答：该社区 的图书借阅总量从八月份至十月份的月平均增长率为20%.(2)2880×(1十20%)= 3456(本).答：十一月份的图书借阅总量是3456本. —35 5.解：设最小数为x,则最大数为x十10.根据题意，得x(x十10)=144，解得x1=8,x2 =一18（不合题意，舍去）..x十10=18.答：最小数为8，最大数为18. 第3课时营销、传播与循环问题 当堂练习 1.D2.C3.114.4 5.解：设应邀请x支球队参赛.根据题意，得2x(x一1)=3X7,解得x=7,x=一6 (不合题意，舍去).答：应邀请7支球队参赛， 6.解：1100+)(100-x)(2)根据题意，得(100+x)(100-2)=11200, 解得x1=40,x2=60.答：每间包房的收费应提高40元或60元. 第4课时可化为一元二次方程的分式方程及应用 当堂练习 1.D2.20-20 ”xx+2.5=0.43.40 4.解：方程两边同乘以x(x一1)，得x+5一6x=3x(x一1).整理，得3x2十2x一5=0.解 得=1，x=一号经检验，x=1是方程的增根.“原方程的根是x=号 5 解：设八年级有工名学生参加了这项活动，根据题意，得十1+0整理，衣 x2-700x十100000=0，解得x1=200,x2=500.经检验，x1=200,x2=500都是原方程 的根..1000÷500=2<5，∴.x2=500不合题意.∴.x=200,此时x十100=300.答：八 年级有200名学生，九年级有300名学生参加了这项活动. 第18章勾股定理及其逆定理 18.1勾股定理 第1课时勾股定理 知识梳理 平方和平方 当堂练习 1.A2.C3.D4.(1)8(2)415.-√5 6.解：在Rt△ACD中，AD=16,CD=12,由勾股定理，得AC=√AD+CD=20.在 Rt△ABC中，BC=15,由勾股定理，得AB=√AC+BC=25. 第2课时勾股定理的实际应用 当堂练习 1.C2.483.1504.7 5.解：(1)在Rt△ABC中，：∠C=90°，AC=9km,AB=15km,∴.BC=√AB2-AC= √15-92=12(km).,BD=5km,∴.CD=BC-CD=12-5=7(km).答：公路CD的 长度为7km(②DHLAB,.S8m=号AC.BD=子AB,DH∴DH=ACBD AB =3km...修建公路DH的总费用为3×2000=6000（万元）. 18.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 当堂练习 1.A2.D3.D 4.证明：：CD⊥AB,·∠ADC=∠BDC=90°.由勾股定理，得AC=AD2+CD2=12+ 22=5,BC2=CD2+BD2=22+42=20,,AD=1,BD=4,∴.AB=AD+BD=5.∴AB =25..AC+BC=AB2.∴.△ABC是直角三角形.∠ACB=90°. 第2课时勾股定理逆定理的应用 当堂练习 1.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 一 36