专题一 二次根式中常见的化简求值技巧&第16章 二次根式 章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

专题一二次根式中常见的化简 类型1巧用二次根式的性质化简或求值 (一)巧用二次根式的双重非负性化简或求值 1.(芜湖期末)若实数a,b满足√a十3十(b 4)2=0,则a+b的值是 2.已知y=vz-2+V2-元+是，则vy的值 为· (二)巧用Wa=|a化简或求值 3.(教材P3例3变式)计算√9一6π十π的结 果是 ( ) A.3-x B.3+π C.-3-元 D.-3十π 4.已知1<x<2,化简√(x-1)z+|x一2|的结 果为 ( A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x 5.若a,b,c是△ABC的三边长，则化简 √(c-a-b)2-√(a+b+c)的结果是 6.(潜山期中)已知实数a,b,c在数轴上对应点的 位置如图所示，化简：√(a一b)+√(b-c)+ 3√(a+c)z. a o b 11数学八年级下册(HK) 求值技巧安徽热点·回归教材】 类型2巧用乘法公式变形、整体代入思想求值 (一)巧用整体代入思想求值 7.(教材P17复习题T2变式)（亳州期中）已知 m=√5-√5，n=√5+√3，求mm3-mn的值. (二)巧用乘法公式变形再整体代入求值 8.(教材P17复习题T1变式)（黄山期中）若m= √2040一4，则m2+8m十1的值为 9.已知x=√6十2，y=√6-2，求代数式x2一xy十 y的值. 10.已知x+=3,求+二的值. 【延伸问V反-二的值为】 第16章章末复习 思维导图 ◆·◆构建知识体系 二次根式一形如 的式子 概念 (1)被开方数不含 最简二次根式 一(2)被开方数中不含 -(a)2= (a≥0) 性质 (a>0), 次 (a=0), (a<0) 乘法一√a·Vb= (a≥0，b≥0) 运算 原因普 (a≥0，b>0) 加减法一先把各个二次根式化成 ,再把同类二次根式合并 混合运算一在二次根式的运算中，实数的运算性质和运算法则同样适用 T考点整合 ·◆、直击核心要点 考点1二次根式的有关概念及性质 现错误，错误的原因是用错了性质： 1.(天长期末)下列各式中，是二次根式的是 ( (2)写出正确的解答过程. A.√-5 B.√3-π C.13 D.√2I 2.(六安期末)若x=3能使下列二次根式有意 义，则这个二次根式是 ( 1 A.2一x B.√Jx-1 C.√x-4 D.√-2x 考点2二次根式的运算及大小比较 3.要使√(x-4)=(√x一4)2成立，则x的取 5.下列根式中，不是最简二次根式的是( 值范围是 ( ) A.√/15B.√27 C.3 D.√2 A.x≤4 B.x=4 6.下列计算正确的是 ( C.x≥4 D.-4≤x≤4 A.5√2-3√2=2B.3+√2=32 4.过程纠错新趋势若x<2,化简√x2-一4x十4十 C.(-2√3)2=12D.√15÷√3=5 |4一x,小明的解答过程如下： 7.(亳州期末)已知实数x,y满足y= 解：原式=√/(x-2)+(4-x)…第一步 √x-14+√14-x-8 ,则√x十y·√x-y =x-2十4-x… 第二步 2 =2.… 第三步 的值为 () (1)小明的解答过程从第 步开始出 A.6√5B.365C.10 D.18 第16章二次根式12 8.(潜山期中)已知x十y=一9，xy=9,则 区+y后的值是 N () A.6 B.-6 C.3 D.-3 9.比较大小：一3√6 一45.（填“>”“<” 或“=”) 10.新定义新趋势对于任意不相等的两个数 a,b,定义一种运算※如下：a※b=a+b a-b 如：5※4=5-3，则(2-3)※(7※5) 5-4 的值为 11.计算： -+层- (2)(潜山期中)6-21⑤)×5-6经： (3)(合肥蜀山区期中)（√5一1）2+(5+ √20)÷√5. 13数学八年级下册(HK) 考点3二次根式的应用 12.安全教育情境化交警为了估算肇事汽车在 出事前行驶的速度，总结出经验公式 l6df,其中v表示车速（单位：km/h),d 是汽车刹车后车轮滑过的距离（单位：m),f 是摩擦因数.某日，在一段限速为60km/h 的公路上，发生了一起两车追尾事故，交警 赶到后，经过测量，得出d=20,f=1.2,则 估计肇事汽车在出事前行驶的速度为 km/h,该汽车 (填“超速” 或“没超速”) 13.(淮北期中)如图，某居民小区有一块长方 形绿地ABCD,长BC为√128m,宽AB为 √50m,现要在长方形绿地中修建两个形状 大小相同的长方形花坛（图中阴影部分）， 每个长方形花坛的长为（√13+1）m,宽为 (√13-1)m. (1)求长方形ABCD的周长； (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建 成通道，通道上要铺上造价为6元/m2 的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖 需要花费多少元？ 5 聚焦课标 。。强化情境任务 14.阅读理解新趋势阅读下面的材料： 将边长分别为a,a十√石，a十2√b,a十3√b的正方形的面积分别记为S1,S2,S3,S4,则S2一S1= (a+√b)2-a2=[(a十√b)+a]·[(a十√b)-a]=(2a+b)·√b=b+2ab. 根据以上材料解答下列问题： (1)S3-S2=,S4-Sg= (2)把边长为a十n6的正方形面积记作Sm+1,其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜 出S+1一S等于多少吗？并说明理由. (3)令ti=S2-S1,t2=S3-S2,t=S4-S3,…,tn=Sm+1-Sn,且T=ti十t2十t3十…+tso,求T 的值. 提示清完成阶段微测试（一）[范围：第16章] 第16章二次根式14参考答案 第16章二次根式 16.1二次根式及其性质 1.A2.①②3.D4.C5.1(或2) 6.解：1)要使V2-3有意义，则2-3x≥0，解得x≤号∴当x<号时，V2-3亚有意 义.(2)x为任何实数都有x2+3>0,当x为一切实数时，√x+3有意义.(3)要使 √2二6有意文，则2>0，解得>3当>3时√有意义. 7.C 8解：(1)原式=6.(2)原式=（√0.62=0.6(3）原式=子.(4原式=2×(2=20. 9.B10.C 1.解：1)原式=4，(2)原式=-2，(3)原式=-01.(4)原式=5-2. 12.x>-113.B14.B15.(1)3(2)2 16.解：(1)√3005(2)当s=6时，0=√300×6=√1800. 17.解：(1)由隐含条件3一x≥0，解得x≤3..x一π<0..原式=一(x一π)一(3一x)= -x十π-3十x=π-3.(2)由数轴得隐含条件a<0,b>0,a>|b,.a十b<0,b-a> 0.∴.原式=一a十a十b-b十a=a.(3)由三角形的三边关系得隐含条件a十b十c>0,a -b<c,b-a<c,c-b<a,∴.a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0.∴.原式=(a+b十c) -(a-b-c)+(b-a-c)-(c-b-a)=a+b+c-a+b+c+b-a-c-c+b+a=46. 16.2二次根式的运算 1.二次根式的乘除 第1课时二次根式的乘法 1.D2.C3.2√304.-3≤x≤3 5.解：(1)原式=√50×2=10.(2)原式=3×2×√5×3=6√15.(3)原式=√0.3×20 =.(0原式=5√号×10=5V历=25.(5)原式=√g×=亿.(6)原式= 号V2x3x6=3×6=2. 6.A7.C 8.解：(1)原式=√32×7=√32×√7=3√7.(2)原式=√202×3=√202×√3=20V3. (3)原式=√32X6=√3X√6=3√6.(4)原式=√2·b·a=√(ab)×√2b=ab√26. 9.C10.A11.√3（答案不唯一） 12.解：1)原式=号×(-9)×√×45=-6×√×15×3=-455.(2)原式= √停×2x(-）)=2×(-)×√号×3x10=-6. 13.解：阴影部分的面积为2×（√12X√18）=2×(2√3×3√2)=12√6(cm2),∴原来 大正方形的面积为12+18+12√W6=30+12√6(cm2). 14解：1)答案不唯-，如：V5景验证：V5易=√要-√=5√层 @叶名aV气u为正袋数).任明如下十高-V晋 (n-n+n 第2课时二次根式的除法 1.A 2.解：)原式=√偎-.(2)原式=√厚-=3.(3)原式=-√2÷日 -V12X8=-46.(4原式=√号×受-6 3.A 4,原式-需品②原式-V层-层景⑧原式-√俘-只 .(4)原式=25a=5a 17 V9b2 =36 5.D6.C 1标，a原武式-√-9)原式-器-四o原式---9 (4)原式= ② √2×/10_5 3×2√106√10×√1030 8.C 9懈号-√侣-√层号>是√后>√层号海-号<唱 1解：原式=√÷号号-√××号- 482 11.D12.2√313.2√15 14.解：(1)原式=品×号√48÷罗=是√48x器=-3至(2)原式 8 14 15.解：(1：k=60,4=√受-√②=23(，答：该物品落地的时侧为2 2)该玩具最低的下落商度A=10=64(m.=√臣-√2-8≈4() 64 答：最少经过4s落地就可能会伤害到楼下的行人 2.二次根式的加减 第1课时二次根式的加减 1.D2.D3.√6（答案不唯一）4.D5.(1)3√5(2)0 6.解：1)原式=37-27=√7.(2)原式=6×5-2×23+43=25-43+4V5 3 =23.(3)原式=(3√5+3√2)-(25-5√2)=3√5+3√2-2√5+5√2=√5+8√2. 7.解：d2-d1=7×√30-12-7×√20-12=7√/18-7√⑧=21√2-14√2=7√2(cm). 答：d2与d的差为7√2cm. 8.1229.C10.D11.-√3-3√2 2.解：1原式=3v5+号-25-2=厅-3Y.(2)原式=号×3E+6×号- 2x·=2+3元-2-3V丘.(3)原式=23-√2-5+2√2=√3+√②. 13.解：√12+√27=5√3=√75(dm).√12+√12=4W3=√48(dm).:9=√8I> √7万，7=√49>√48>√27，.能够在这块木板上裁出一个面积为27dm2的正方形 木板和两个面积均为12dm2的正方形木板. 14解：1D根据题数，得*√会--9+（√停-4√写）+甘Vs=反-+ 一2 2-22+厄-停-3√“处的数字是8.（②）由1知处的数字是3 3 √会√停=3√写√停-92=口”表示-“时，计算结果 3 3 较大.（√合+g⑧）-（√会-√）=2+2-(-图)=32+9. 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.(1)a(a+2)(2)53.(111+20√T)π 4.解：(1)原式=(2√7)2-1+3=28-1+3=30.(2)原式=1-2√3+3+2√3=4. 5.C 6.解：(1)原式=2√3-√3=√5.(2)原式=√24-√6=2√6-√6=√6.(3)原式=2-√ +2√3-3=-1+√3. 7,=)原式-V区÷（6-9)-9+v:5-+号 8.B9.B10.2 1.解：1)原式=(6万-2+4v同)÷25=285÷25=兰(2)原式=18-62 3 +1-(W2-√5)X√2(2+√5)=19-6√2-(W2-√3)(w2+√3)X√2=19-6√2 (-√2)=19-5√2. 12.解：x=√3+1，y=3-1,∴x+y=3+1十√3-1=2V5,xy=(W3+1)(W3-1)= (W5)2-12=3-1=2.(1)x2y+xy2=xy(x+y)=2X2V5=4V3.(2)x2+y2=(x+y)2 -2xy=(2V3)2-2×2=12-4=8. 13.解：设x=√4+7-√4-√7.两边平方，得x2=(√4+√万-√4-万)2= (√4十√7)2-2√(4十√7)(4-√7)+(W4-√7)2=4+√7-6+4-√7=2.∴.x=±√2. :√4+√7>√4-√7，.√4+√7-√4-7>0.∴.√4+√7-√4-√7=√2. 专题一二次根式中常见的化简求值技巧【安徽热点·回归教材】 112.93D4B5.-2c 6.解：由数轴可知a<0<b<c,|c|>a>|bl,∴.a-b<0,b-c<0,a十c>0.∴.原式=b -a+c-b+3(a+c)=b-a+c-b+3a+3c=2a+4c. 7.解：：m=√5-√3，n=√5+√3，∴.mm=(W5-√3)(W5+√3)=2，m十n=√5-√3+√5+ √3=2√5，n-m=√5+√3-√5+3=2√3.∴.mn3-m2n=mn(m+n)(n-m)=2×2√5 ×23=8√15】 8.2025 9.解：：x=√6+2，y=√6-2，∴x十y=√6+2+√6-2=2√6，xy=(W6+2)(W6-2)=6 -4=2.∴.x2-xy十y2=(x+y)2-3xy=(2√6)2-3×2=24-6=18. 10解x+上=3(+》°-x+2+8=5+合0E+26 √E 【延伸问】士1 第16章章末复习 思维导图 Va(a≥0)分母能开得尽方的因数或因式aa0一a√a√后 /a 最简二 次根式 考点整合 1.D2.B3.C 一3 4.解：(1)二√a=|a|=-a(a<0)(2)x<2,∴.x-2<0,4-x>0.原式= √(x-2)2+(4-x)=2-x+4-x=6-2x. 5.B6.C7.A8.B9.>10.-②+⑤ 4 1.解：1)原式=26-+子后-9-号后-名5.(2)原式=6X-25×, -6×5=3V2-65-3W2=-65.(3)原式=5-25+1+5+2=6-25+ 2 √5√5 √5+2=8-√5. 12.32√6超速 13.解：(1)（√128+√50）×2=(8√2+5√2)×2=26√2(m).答：长方形ABCD的周长 为26√2m.(2)√128×√50-2×（√13+1）×（√13-1）=8√2×5√2-2×(13-1) =56(m2).6×56=336(元).答：购买地砖需要花费336元. 14.解：(1)3b+2av65b+2a6(2)S+1-Sm=(2n-1)b+2a6.理由如下：Sn+1- S.=(a+nB)2-[a+(n-1)BJ2=[(a+n/B)+a+(n-1)B]:[(a+nB)-a-(n -1)W=[2a+(2n-1)Wb·√b=(2n-1)b+2a6.(3)T=S2-S,+S3-S2+S4- S3+…+S1-S50=S51-S1=(a+50V6)2-a2=a2+100aN6+2500b-a2=2500b+ 100aw6. 第17章一元二次方程及其应用 17.1一元二次方程 1.D2.C3.a≠24.A5.A 6.解：(1)原方程化成一般形式为4x2十3x一2=0，二次项系数为4，一次项系数为3，常 数项为-2.(2)原方程化成一般形式为x2一7x=0,二次项系数为1，一次项系数为 一7，常数项为0.(3)原方程化成一般形式为3x2十2x一4=0，二次项系数为3，一次项 系数为2，常数项为一4. 7.C8.3 9.解：把x=一4代入方程的左右两边，得左边=(-4)2十（-4)=12，右边=8-（-4) =12.左边=右边，.一4是该方程的根.同理可得，2是该方程的根，一3，一2，一1， 0,1,3,4都不是该方程的根. 10.B11.x(x+2)=32312.B13.B【变式题】B 14.解：根据题意，得(18一3x)(6一2x)=60,整理，得x2一9x+8=0. 15.解：(1)1(2)当x=a时，a2-a-1=0,.a2-a=1..原式=-a3+a2十a2十2025 =-a(a2-a)+a2+2025=a2-a+2025=1+2025=2026. 16.解：(1)是“波浪方程”.理由如下：，a=2,b=-1,c=-4,∴.3a十2b十c=3×2+2× (-1)十(-4)=0.∴.方程2x2-x-4=0是“波浪方程”.(2)把x=一1代人ax2-2x十 c=0,得a十2十c=0.:此方程为“波浪方程”，.3a十2×(-2)十c=0.联立 a+2+c=0, 解得0二3，.÷这个“波浪方程为3x-2红一5=0. 3a-4+c=0, 1c=-5. 17.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法 1.C2.-1答案不唯-)3.13-3(2②)号-号 4.x十2=-3 5.x-1=2x-1=-23-1 6.解：(1)整理，得(x一3)2=9.开平方，得x一3=士3.∴.原方程的根是x1=6,x2=0. (2)整理，得(x十1)2=2.开平方，得x十1=±√2..原方程的根是x1=一1十√2，x2= -1-√2. 7.A【变式题】x1=2,x2=-28.7 4 9.解：开平方，得2x十3=士(3x十2).原方程的根是x1=1,x2=一1， 1 10.解：1)根据题意，得4m-1≥0，解得m≥4.(2)把x=2代人(x-1)2=4m-1,得 1 (2-1)2=4m-1,解得m=2原方程为(x-1)2=1,解得=2,2=0.方程的 另一个根为0. 第2课时配方法 1.D2.(142(②)-5z(3)号3.A 4.解：(1)移项，得x2-10x=-8.配方，得x2-10x十52=-8十52，即(x-5)2=17.开 平方，得x-5=士√17..原方程的根是1=5-√17，x2=5十√17.(2)配方，得x2+ 1x+(名)°=一+（仔）广，即(x+子)‘-9开平方，得x+名=士8.原方程的根 是=一a=-号 5.B 6.解：(1)二次项系数化为1，得x2+2x=3.配方，得x2+2x十12=3+12，即(x十1)2= 4.开平方，得x十1=士2.∴原方程的根是=1，x2=一3.(2)移项、二次项系数化为 1,得x2-4x=6.配方，得x2-4x+22=6十22，即(x-2)2=10.开平方，得x-2= 士√10.∴.原方程的根是x=2十√10，x2=2-√10.(3)移项、二次项系数化为1，得 父-2x=÷配方，得2-2z+1=号+13，即(x-1)=子开平方，得x-1= 士原方程的根是名1+写-1-四 3 7.C8.A9.A10.x1=2026,x2=-2024 11.解：(1)移项，得x2十2√2x=一1.配方，得(x十√2)2=1.开平方，得x十√2=士1. ∴原方程的根是x1=一√2十1，x2=一√2-1.(2)整理，得3x2十2x=一1，二次项系数 化为1，得+号x=-号配方，得(x+号）°=一号：-号<0原方程无实数根 12.解：1=5，=号（2)(3)二次项系数化为1，得云-得x=-1.配方， 得(x一号)-岩开平方，得x一吕=士号.原方程的根是=5=日经检 验=5，=专都是原方程的解.(1)中猜想结论正确。 专题二配方法的运用 1.C 2.解：(1)11(2)3-x2+2x=-x2+2x+3=-（x-1)2+4..(x-1)2≥0，∴.-(x -1)2≤0..-(x-1)2+4≤4..3-x2+2x的最大值为4. 3.解：a-b=3x2+36-(2x2+10x)=x2-10x十36=(x-5)2+11.(x-5)2≥0， ∴.(x-5)2+11>0.∴.a-b>0..a>b. 4.解：(1)x2+2xy+5y2+4y+1=0,.x2+2xy+y2+4y2+4y+1=0..(x+y)2+ (2+1=0.x+=0,2y+1=0,解得x=y=-合xy=-子(2：d+ =10a+8b-41,.a2-10a+25+b-8b+16=0.∴.(a-5)2+(b-4)2=0..a-5=0, b-4=0,解得a=5,b=4.·△ABC是等腰三角形，∴.c=5或4.当c=5时，△ABC的 周长为5+4+5=14；当c=4时，△ABC的周长为5+4+4=13.综上所述，△ABC的 周长为14或13. 5.解：原式=x2-4xy十4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x- y)(x-3y). 第3课时公式法 1.B2.B3.D4.A 一 5 5.解：(1)，a=1,b=1,c=-1,.b-4ac=12-4×1×(-1)=5>0.代入求根公式，得 =装.原方程的根是=片=15(20=26=7c=06 2 2 -4c=72-4×2X0=49>0.代人求根公式，得x=二7，生)⑧=二7生7.原方程的 2×2 4 7 根是西=0，x=一2.(3)将原方程化为一般形式，得3x2-5x+1=0.“a=3,b= -5,c=1,-4ac=(-5)2-4X3×1=13>0.代入求根公式，得x=二（-5)吉Y区 2X3 =5±.：原方程的根是=5+√压，x=5二图 6 6 6.解：(1)一(2)将原方程化为一般形式，得x2一5x十3=0.：a=1,b=一5，c=3,∴.2 一4ac=(一52-4X1X3=13>0.代人求根公式，得x=5.“原方程的根是 =5+,压，4=5二，压 2 2 7.C8.C9.-3±√1T 10.解：(1)将原方程化为一般形式，得5x2-3x+6=0.:a=5,b=-3,c=6,.b-4ac =(-3)2一4×5×6=一111<0.∴.原方程无实数根.(2)将原方程化为一般形式，得 2x2+2x-1=0.:a=2,b=2,c=-1,∴.b2-4ac=22-4×2×(-1)=12>0.代入求 根公式，得=二装严-二2生区原方程的根是=1，=2日 2×2 4 2 1.解：I):∠ACB=90,Bc=号，AC=6,AB=VBC+AC-√+F- C.:BD=号AD=AB-BD=合牛二L.(2)方程可化为r十ar-公 2 2 =0,a-4×1×（-62=a2+46>0.工=二a±a+证，即1= 2 二a+√a+46 2 工，西=二a一十.AD的长是方程的正根，遗憾之处：图解法不 2 能表示方程的负根.（合理即可） 第4课时因式分解法 1.A【变式题】C2.A 3.解：(1)提取公因式，得x(3x一1)=0.因此，有x=0或3x一1=0..原方程的根是x =0,=子.(2)移项、提取公因式，得(x+1D(x-2)=0.因此，有x十1-0或x一2 0..原方程的根是x1=一1，x2=2. 4.(x-2)2x1=x2=2 5.解：(1)将原方程化为一般形式，得y2+10y+25=0.把方程左边分解因式，得(y十 5)2=0..原方程的根是y1=2=一5.(2)把方程左边分解因式，得(2x一1十x)(2x一1 -)=0.因此，有3x-1=0或x-1=0.∴原方程的根是=了=1. 6.D 7.解：(1)把方程左边分解因式，得(x-3)(x十1)=0.因此，有x一3=0或x+1=0. .原方程的根是x1=3,x2=一1.(2)把方程左边分解因式，得(x一1)(x一6)=0.因此， 有x一1=0或x一6=0..原方程的根是x1=1,x2=6. 8.B9.A10.10或14 1.解：1)-(2)a=子=1(30整理，得(x+1)(x-1)-4x-1)=0.因式分 解，得(x一1)(x十1一4)=0..x-1=0,或x一3=0，解得x1=1,x2=3.②整理，得3(x -5)2+(x十5)(x-5)=0.因式分解，得(x-5)(3x-15十x+5)=0.∴.x-5=0,或4x -10=0,解得x=5,2=2· .5 —6