第17章 一元二次方程及其应用 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

但甲的方差比乙的方差小，甲的加工质量更稳定，所以甲的加工质量更好. 8.B9.68.58910.C 11,解：(1)小茗同学计算平均数的方法不恰当.因为对于三家餐厅星级评价的人数不 同，直接计算简单算术平均数会导致结果偏差，此时应使用加权平均数，以评价人数为 权重进行计算.（合理即可）(2)①餐厅应从服务这方面提升.理由：三项打分中，环境和 口味打分的众数都为5分，大于服务打分的众数4.5分，所以该餐厅应从服务这方面提 升.（答案不唯一，合理即可）@=3.5+5十5+4十3十4+5+5+4,5+5=4.4（分）， 10 品*=品×[3.5-442+5X5-440+2X4-442+(8-4.4+(4.5-4.4门 =0.49.,0.3<0.49,.环境打分的分数比较稳定..王老师的说法正确. 综合评价 第16章综合评价 1.C2.B3.A4.C5.C6.B7.C8.D9.D10.A11.<12.x<3y5 5 13.414.(1)W5-1(2)13或7 15.解：原式=√16-√6+2√6=4+√. 16.解：2√50+2√18=10√2+6√2=16√2(dm).答：所需的彩条总长度为l6√2dm. 17.解：x+y=√3+1+√3-1=2√3，x-y=√3+1-√3+1=2.(1)x2+2xy十y2=(x+ y)2=(23)=12.(2)x2-y2=(x+y)(x-y)=2V3X2=4√3. 18.解：1)根据题意，设d=,将d=40,0=20代入，得40-202，解得及=0d- 0.=10a.(2)当d=32时，。=0x2-85. 19.解：(1)1-√2(2)(x-√2)2+(x-1)2=(1-√2-√2)2+(1-√2-1)2=(1 2√2)2+2=1-4√2+8+2=11-4√2. 20解：1n√4+后=5V后2V+=a+1V乐 1 1 证明如下：左边= /n2+2n+1 /n+1)z -a+1乐-右边骑想成立.(3)原式-10√而 1 Nn+2 =Wn+2 ×20V2×v4o2xV=10×20)×(W而×vo)×(√2×v42)= 20000√2. 21.解：(1)一13-√2(2)m与4-√3是关于3的“实验数”.理由如下：，m十4一√3 =(1+√3)(2-√3)+4-√3=2-√3+2√3-3+4-√5=3，∴.m与4-√3是关于3的 “实验数” 2.解：D原式g2g十历-23+3+7.2)3a18a=1=3a2-0中 9)-28=3(a-3)2-28.a=。1 3+253+2②)(3-2②=3-2瓦，a-3= 3-2√2 -2√2.∴.原式=3×(-2√2)2-28=-4. 23.解：(1)>>=(2)m十n≥2√mm(m≥0，n≥0).理由如下：当m≥0，n≥0时， (√m-√m)2≥0，∴.（√m)2-2√m·√m+(Wm)2≥0.∴.m-2√/mn+n≥0..m+n≥ 2√m.(3)设该矩形花圃平行于墙体的一边长为am,则其垂直于墙体的一边长为 m.根据题意，得篱笆的长度C=a十3×300=a+900.由上述结论，得C=a十900 300 a a ≥2√a·00-60.∴当a-90时，即a=30时，C有最小值60.所用的篱爸至少为 a a 60m. -25 第17章综合评价 1.C2.D3.B4.A5.C6.C7.D8.A9.B10.D 11.x2+x=0(答案不唯一)12.n≥-113.1014.(1)10(2)x1=4,x2=-2 15.解：(1)移项，得x(x+1)一2x2=0.因式分解，得x(x+1一2x)=0,.x=0,或1一x =0..x1=0,x2=1.(2)方程两边同乘以x2一4x,得4-x=x2-4x,整理，得(x一4)(x 十1)=0.解得x1=4,x2=一1.检验：当x=4时，x2-4x=0,.x=4不是原方程的根. 当x=一1时，x2一4x≠0，.x=一1是原方程的根..原方程的根为x=一1. 16.解：.方程x2一6x十m2一4m一4=0的一个根是一1，∴.1十6十m2一4m一4=0.整 理，得m2-4m十3=0，解得m1=1,m2=3. 17.解：(1)公式法②(2)整理，得x2-3x-1=0.这里a=1,b=-3,c=-1.,b- 4ac=13>0,x=二（-3)±压_3±，厘.：=3+)压，4=3-压 2×1 2 2 2 18.解：(1)设平均每次降价的百分率是x.根据题意，得200(1一x)2=162,解得x= 0.1=10%,x2=1.9(不合题意，舍去).答：平均每次降价的百分率为10%.(2)售货员 的方案对顾客更优惠.理由如下：：200×(1一5%)×(1一15%)=161.5<162，.售货 员的方案对顾客更优惠。 19.解：(1)将m=一3代人方程，得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.(2)x1,x2是 方程的两个实数根，.x1十x2=2,x1x2=m.·x1x2十2(x1十x2)>0,.m十2X2>0, 解得m>一4.，'△=（一2)2-4X1Xm≥0，解得m1..m的取值范围是-4<m1. 20.(1)解：.a=1,b=-(k+4),c=k十3，.△=b2一4ac=[-(k+4)]2-4X1X(k+ 3)=2+4k十4=(k十2)2.：方程有两个相等的实数根，.（十2）2=0，解得=一2. (2)证明：：x2-(k+4)x++3=0,.(x-1)[x-(k+3)]=0..x-1=0或x-(k+ 3)=0.∴.x1=1,x2=k十3.无论为何值，方程总有一个不变的根为x=1. 21.解：(1)实际销售价格为(80一x)元/kg,销售数量为(30+2x)kg.(2)根据题意，得 (80一x一50)(30十2x)=1000,解得x1=10,x2=5.,要让顾客得到实惠，·x=10. 答：每千克应降价10元. 22.解：(1)24(2)x2+16x-5=x2+16x+82-69=(x+8)2-69.:'(x+8)2≥0， .(x+8)2-69≥-69..当x=-8时，x2+16x一5有最小值，最小值为-69.(3)S> S2.理由如下：由题意，得S1=(3a十2)(2a+5)=6a+19a+10,S2=5a(a+5)=5a2+ 25a,.S1-S2=6a2+19a+10-5a2-25a=a2-6a+10=(a-3)2+1.(a-3)2≥0， .(a-3)2+1>0..S1-S2>0..S>52. 23.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm.由题意，得(100-2x)(40-2x)=1600, 解得x1=10,x2=60(不合题意，舍去).答：剪去的小正方形的边长为10cm.(2)①设收 纳盒的高为acm,则收纳盒底面的长为100,2a=(50一a)cm,宽为(40-2a)cm.由题 2 意，得(50a)(40一2a)=608,解得a1=12,a2=58(不合题意，舍去).答：收纳盒的高 为12cm.②不能.理由如下：由①得该收纳盒的高为12cm.:12<18,.不能把玩具机 械狗完全立着放入该收纳盒。 第18章综合评价 1.B2.D3.B4.B5.B6.D7.D8.D9.B10.D11.512.2613.23 14.(1)136(2)6√2 15.解：：AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中，BD=√AB2-AD= √/122-82=4W5.在Rt△ACD中，CD=√AC2一AD2=/102-82=6.∴.BC=BD+ CD=4√5+6. 16.解：由题意，知AC⊥BD,CD=AE=3m,AC=8m,AB=17m.在Rt△ABC中，由 勾股定理，得BC=√/AB2-AC=15m,.BD=BC十CD=18m.答：发生火灾的住户 窗口距离地面18m. 17.解：∠C=90°，∠CAB=45°，.∠B=90°-∠CAB=45°=∠CAB.,.AC=BC.在 -26- Rt△ABC中，AB=2V3,由勾股定理，得AC十BC=AB2,即2AC=(2√5)2.∴.AC= √6.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√AD-AC=2. l8.解：易得Rt△CD'A≌Rt△ABC,.AC=AC=c,CD'=AB=a,AD'=CB=b, ∠CAD'=∠ACB.·∠ACB+∠CAB=90°，∴.∠CAD'+∠CAB=90°.∴.∠CAC= 90.Sscw=25acA+Sx=2x7ab计72=号a+66叶a）d2+82=2. 19.解：设机器人H跑步xm后与乐乐相遇，则AB=xm,BC=(9一x)m.,机器人 H1的跑步速度与乐乐的下滑速度相同，.DB=AB=xm.在Rt△BCD中，∠C=90°， .BD2=BC十CD.x2=(9-x)2十32，解得x=5..机器人H1跑步5m后与乐乐 相遇。 20.解：1w521+(m)2n(3):S=子，9=号，号=是… 2 %=碧，∴5+8+58+…+5=子+2++…+9-5 44 21.(1)证明：，DE垂直平分AB,.AB=2AD=2√5.，在△ABC中，BC=2,AC=4, .BC2+AC=22+42=20=AB2..AC⊥BC,即∠BCA=90°.(2)解：：DF是线段 AB的垂直平分线，∴.BF=AF.∴.CF=BF-BC=AF一2.在Rt△ACF中，CF2+AC =AF2,.(AF-2)2+42=AF2.∴.AF=5. 22.解：(1)连接AC.在Rt△ABC中，AB=BC=45√2m,∠B=90°，.AC= √AB2+BC=90m,∠CAB=∠ACB=45°.：'在△ACD中，AC+AD2=902+ (30√3)2=10800，CD2=(60√3)2=10800，.AC+AD2=CD,.△ACD是直角三 角形，且∠CAD=90°.∴.∠DAB=∠CAD+∠CAB=135°.(2)这辆车不能被摄像头监 控到.理由如下：过点D作DM⊥DA,交BE于点M.由(1)知∠DAB=135°，∴.∠DAM =180°-∠DAB=45°.DM⊥DA,∴.∠ADM=90°..∠AMD=90°-∠DAM=45. ∴.DM=DA=30V3m,∴.点A,M为摄像头在道路BE上能监控的最远位置.在 Rt△ADM中，AM=√AD2+DM=30√6m..BM=AB+AM=(45√2+30V6)m. ,105√2>45v2+30√6，∴这辆车不能被摄像头监控到. 23.(1)解：连接AP,BP,CP.PB2=12+22=5,PC=12+22=5,PA2=12+32=10, .PA2=PB2+PC..点P是△ABC关于点A的勾股点.(2)解：：AB=AC,AO是 BC边上的中线，BC=10,0B=OC=2BC=5,OALBC.:点C是△A0D关于点A 的“勾股点”，.AC2=OC2+CD2.:CD=12,OC=5,∴.AC=√OC+CD2=13.在 Rt△AOC中，OA=√AC-OC=12.(3)证明：：△ABC和△APD为等腰直角三角 形，.∠BAC=∠DAP=90°，∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC,AD=AP..∠BAC- ∠DAC=∠DAP-∠DAC,即∠BAD=∠CAP.∴△ABD≌△ACP(SAS).∴.BD= PC,∠ABD=∠ACP=180°-∠ACB=135°..∠DBP=∠ABD-∠ABC=90°. ∴.BD+PB2=PD.PC十PB2=PD.∴点P为△BDC关于点D的“勾股点”. 期中综合评价 1.C2.B3.D4.D5.D6.C7.B8.B9.C10.C11.5W3 12.x(x-1)=7213.6-2√514.(1)②(2)2或0 15.解：(1)原式=45+35-2√2+4√2=7√5+2√2.(2)原式=(2√6+5√2)÷√2- 2√3=2√3+5-2W3=5. 16.解：(1)移项，得x2一6x=7.配方，得x2一6x十9=16.则(x一3)2=16.开平方，得x -3=士4.∴原方程的根是x1=7,x2=-1.(2),a=2,b=-4,c=-5,∴.b2一4ac= (一4-4X2×(-5)=6>0.代人求根公式，得=结=2生.= 2×2 2+y匹，4=2二g 2 2 -27第17章综合评价 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 A.x+y=3 B.3x+y2=2 C.2x-x2=3 D.x(x2-3)=0 2.若x=1是方程x2十mx十1=0的一个解，则m的值为( A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是 A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+8x=5 D.x2+2x=5 批 4.一元二次方程3x2一2x一1=0的实数根的情沉况是 ( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 5.下列方程中，最适合用因式分解法求解的是 A.(x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 C.x-2=x2-4 D.x2-3x十4=0 帘6.已知一元二次方程x2+2x=1,在计算△=b2-4ac时，下列判 断错误的是 ( A.a=1 B.b=2 C.c=1 D.△=8 7.有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自 己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他 人，邀请他们也参与活动.小明被邀请参与一次“微信点名”活 动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人 也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起， 转发两轮后共有91人被邀请参与该活动.设参与该活动后规 定“@”x人，则可列出的方程为 ) 批 A.x2=91 B.1+x2=91 C.1+x+x(1+x)=91 D.1+x+x2=91 8.分别以一元二次方程x2一6x十8=0的两根为腰和底画一个等 腰三角形，则这个等腰三角形的周长是 ) A.10 B.8 C.10或8 D.10或6 9.若关于x的一元二次方程ax2十bx+5=0(a≠0)有一个根为 4025,则方程a(x十1)2十b(x十1)=一5必有一个根为( ) A.4025 B.4024 C.4023 D.4022 1 10.我国古代数学家研究过一元二次方程的正数 xx+5 解的几何解法.以方程x2+5x一14=0，即x(x十+5 5)=14为例说明，《方图注》中记载的方法是： x+5 如图，构造一个大正方形，使其面积是(x+x十5)2，同时它又 等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14十 52,因此x=2.小明用此方法解关于x的方程x2十mx一n=0 时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形 的面积为4，则m,n的值分别为 A.2,3 我2 Cgva D.2,是 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.写出一个二次项系数为1，且有一根为0的一元二次方程： 12.若关于x的一元二次方程(x一2)2=n十1有实数根，则n的 取值范围是 13.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某区开展“健 身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计 划一共安排45场比赛，则应邀请 个足球队参赛. 14.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a, b中较大的数，如：max{一1,3}=3. (1)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2x=max{8,一1} 的两个根，则m十n一mn的值为 (2)方程max{2x十8，-x}=x2的解为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解方程： (1)x(x+1)=2x2; 一 8 16.已知关于x的方程x2-6x十m2-4m一4=0的一个根是-1， 求m的值. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.小芳解一元二次方程x2一3x=1的过程如下. 解：整理，得x2一3x一1=0.① 这里a=1,b=3,c=1.② .b2-4ac=5>0,③ x=3±5 2，④ 即x-3生563 5.6 2 (1)小芳解方程的方法是 ,她的求解过程从第 步开始出现错误（填序号）； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤. 18.某商场在春节期间将单价为200元的某种商品经过两次降价 后，以162元的价格出售， (1)求平均每次降价的百分率， (2)售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更 有吸引力.请问售货员的方案对顾客是否更优惠？请说明 理由. 一9 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知x2一2x十m=0是关于x的一元二次方程. (1)当m=一3时，求方程的解； (2)若x1,x2是方程的两个实数根，且x1x2+2(x1十x2)>0, 求m的取值范围. 20.已知关于x的一元二次方程x2一（k+4)x十k十3=0. (1)当k为何值时，方程有两个相等的实数根？ (2)求证：无论k为何值，方程总有一个不变的根. 六、（本题满分12分） 21.黄里笆斗杏是由安徽省淮北市相山区农林技术推广中心培育 的特色杏树品种，为国家地理标志保护产品，该品种果实质地 饱满，皮薄肉厚，酸甜适口，深受消费者喜爱.某特产超市购进 一批黄里笆斗杏脯，进价为50元/kg.调查发现，当这种杏脯的 售价为80元/kg时，平均每天能售出30kg,而当每千克售价 每下降1元时，平均每天能多售出2kg.设每千克降价x元. (1)用含x的代数式表示实际销售价格和销售数量； 一10 (2)若超市要使这种杏脯的销售利润每天达到1000元，且让 顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 七、（本题满分12分） 22.阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2十bx十c化为 (x+m)2+n的形式，然后由(x+m)2≥0就可求出多项式 x2+bx+c的最小值： 例题：求x2一12x+37的最小值， 解：x2-12x+37=x2-12x+62+1=(x-6)2+1. .(x-6)2≥0，.(x-6)2+1≥1. .当x=6时，x2一12x十37有最小值，最小值为1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： x2-8x+18=x2-8x+42+ =（x- )2+2; (2)将x2+16x-5化为(x+m)2+n的形式，并求出x2+ 16x一5的最小值； (3)如图，矩形甲的长、宽分别为3a+2,2a十5，面积为S1;矩 形乙的长、宽分别为5a,a十5，面积为S2,试比较S1与S2 的大小，并说明理由、 3a+2 2a+5 碎 a+5 一11 八、（本题满分14分) 23.综合与实践：九年级课外小组计划用两块长100cm、宽40cm 的长方形硬纸板做收纳盒 【任务要求】 任务一：设计无盖长方体收纳盒.如图①，把一块长方形硬纸 板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无 盖的长方体收纳盒， 任务二：设计有盖长方体收纳盒.如图②，把另一块长方形硬 纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的 长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分. 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2,则剪去 的小正方形的边长为多少厘米？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm. ①该收纳盒的高为多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图③所示的玩具机械狗完全 立着放入该收纳盒，并说明理由. E(H H F(G) 图① 图② 21 cm 8 cn 15 cm 图③ -12