第16章 二次根式 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第16章综合评价 爸串 (时间：120分钟满分：150分) 一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列各式中，一定是二次根式的是 A.√-2026 B.2x C.√2x2+1 D.√a+1 2.若二次根式√1一x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( A.x≥1 B.x≤1 C.x>1 D.x<1 3.设a=(-√3)2，b=√(-3)，则a,b的大小关系是 ) A.a=b B.a>6 C.a<b D.a+b=0 4.下列计算正确的是 A.√7+√3=√10 B.√⑧÷√2=4 C.√5X√2=√10 D.3√7-√7=3 5.已知最简二次根式√m-5与√/18能够合并，则m的值为( A.23 B.13 C.7 D.9 6.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混 合运算.如图，老师把题目交给一名同学，他完成一步解答后交 给第二名同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到 前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是 ( ) 老师 小明 小丽 小红 小亮 2+8 12÷3 A.小明和小丽 B.小丽和小红 C.小红和小亮 D.小丽和小亮 !7.1个正常工作的灯泡其电阻为R(2),消耗的电功率为P(W), 站 它两端的电压为U(V),清足关系式P-及现有一个能正常 工作并标注电功率为40W的灯泡，其电阻为900，则能使其 正常使用的电压为 ( ) A.80√5V B.180V C.60√10V D.60V 8.若1<x<2,则化简√4一4x+x2+√x2+2x+1的结果是 A.2x-1 B.-2x+1 C.-3 D.3 一1 9已知va-3+v2-6=0,则1+5 的值为 A.1 B.√2 C.3 D.43 3 10.如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方 形的面积分别为48,32，两个小正方形重叠部分的面积为8， 则空白部分的面积为 A.16√6-16 B.8√6-6 C.16√6-6 D.66-8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1比较大小3√后4√（境><成“= 12.不等式√20x一3<√5x的解集为 13.若a,b为实数，且a=√b-7+√7-b+3,则√(a-b)的值为 14.阅读材料：一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：3+2√2=(W2)2+2√2十12=（√2+1）2.请根据上述材料， 解答下列问题： (1)化简√6一2√5的结果是 (2)若a十4√3=(m十√3n)2,且a,m,n均为正整数，则a的值 为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：vs÷-√胥×v3丽+2 16.晶晶同学设计了一张长方形的环境宣传海报，其长为√50dm, 宽为√I8dm,现要给海报的四周贴上装饰彩条，求所需的彩 条总长度， -2 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知x=√3十1，y=√3-1，求下列各式的值： (1)x2+2xy+y2; (2)x2-y2 18.海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡等引发的破坏性海 浪.在广阔的海面上，海水的深度d(单位：m)与海啸行进速度 v(m/s)的平方成正比，当d=40时，v=20. (1)试用含d的式子表示v; (2)当d=32时，求v的值. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，数轴上点A,B表示的数分别为1，√2，点B到点A的距 离与点C到点O的距离相等.设点C表示的数为x. (1)x的值为 (2)求(x-√2)2+(x一1)2的值. 0 2 一3 20.先观察下列等式，再解答下列问题. (1)具体运算，发现规律： 等式12 等式22+=3 等式4： (2)观察、归纳，得出猜想： 等式n(n为正整数)可表示为 并证明你的猜想； (3)应用运算规律： 计算：√9+而×√1s9+×√4×v1o 六、（本题满分12分） 21.定义：已知a,b都是实数，若a十b=3,则称a与b是关于3的 “实验数”. (1)4与 是关于3的“实验数”，√2与 是关于 3的“实验数”； (2)若m=(1十√3)(2一√3)，判断m与4一√3是否是关于3的 “实验数”，并说明理由. -4 七、（本题满分12分) 22.在解答问题“已知a= 1，,求3a2-6a-1的值”时，小明的 √2-1 解答过程如下： 1 'a= √2+1 √2-1(W2-1)(√2+1) ，=2+1,a-1=2. .(a-1)2=a2-2a+1=2..a2-2a=1. .3a2-6a-1=3(a2-2a)-1=2. 请你根据小明的解答过程，解答下列问题： (1)化简： 2 3-√ 3+22求3a2-18a-1的值. (2)若a=。1 -5 八、（本题满分14分） 23.【问题探究】 (1)用“>”“<”或“=”填空： 4+3 2√4X3; 21x 5+52√5X5. (2)由(1)中各式猜想m+n与2/mn(m≥0，n≥0)的大小关 系，并说明理由. 【问题解决】 (3)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利 用墙体，将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花 圃，如图所示，为了围成面积为300m的花圃，所用的篱笆 至少为多少米？ 墙体 —6但甲的方差比乙的方差小，甲的加工质量更稳定，所以甲的加工质量更好. 8.B9.68.58910.C 11,解：(1)小茗同学计算平均数的方法不恰当.因为对于三家餐厅星级评价的人数不 同，直接计算简单算术平均数会导致结果偏差，此时应使用加权平均数，以评价人数为 权重进行计算.（合理即可）(2)①餐厅应从服务这方面提升.理由：三项打分中，环境和 口味打分的众数都为5分，大于服务打分的众数4.5分，所以该餐厅应从服务这方面提 升.（答案不唯一，合理即可）@=3.5+5十5+4十3十4+5+5+4,5+5=4.4（分）， 10 品*=品×[3.5-442+5X5-440+2X4-442+(8-4.4+(4.5-4.4门 =0.49.,0.3<0.49,.环境打分的分数比较稳定..王老师的说法正确. 综合评价 第16章综合评价 1.C2.B3.A4.C5.C6.B7.C8.D9.D10.A11.<12.x<3y5 5 13.414.(1)W5-1(2)13或7 15.解：原式=√16-√6+2√6=4+√. 16.解：2√50+2√18=10√2+6√2=16√2(dm).答：所需的彩条总长度为l6√2dm. 17.解：x+y=√3+1+√3-1=2√3，x-y=√3+1-√3+1=2.(1)x2+2xy十y2=(x+ y)2=(23)=12.(2)x2-y2=(x+y)(x-y)=2V3X2=4√3. 18.解：1)根据题意，设d=,将d=40,0=20代入，得40-202，解得及=0d- 0.=10a.(2)当d=32时，。=0x2-85. 19.解：(1)1-√2(2)(x-√2)2+(x-1)2=(1-√2-√2)2+(1-√2-1)2=(1 2√2)2+2=1-4√2+8+2=11-4√2. 20解：1n√4+后=5V后2V+=a+1V乐 1 1 证明如下：左边= /n2+2n+1 /n+1)z -a+1乐-右边骑想成立.(3)原式-10√而 1 Nn+2 =Wn+2 ×20V2×v4o2xV=10×20)×(W而×vo)×(√2×v42)= 20000√2. 21.解：(1)一13-√2(2)m与4-√3是关于3的“实验数”.理由如下：，m十4一√3 =(1+√3)(2-√3)+4-√3=2-√3+2√3-3+4-√5=3，∴.m与4-√3是关于3的 “实验数” 2.解：D原式g2g十历-23+3+7.2)3a18a=1=3a2-0中 9)-28=3(a-3)2-28.a=。1 3+253+2②)(3-2②=3-2瓦，a-3= 3-2√2 -2√2.∴.原式=3×(-2√2)2-28=-4. 23.解：(1)>>=(2)m十n≥2√mm(m≥0，n≥0).理由如下：当m≥0，n≥0时， (√m-√m)2≥0，∴.（√m)2-2√m·√m+(Wm)2≥0.∴.m-2√/mn+n≥0..m+n≥ 2√m.(3)设该矩形花圃平行于墙体的一边长为am,则其垂直于墙体的一边长为 m.根据题意，得篱笆的长度C=a十3×300=a+900.由上述结论，得C=a十900 300 a a ≥2√a·00-60.∴当a-90时，即a=30时，C有最小值60.所用的篱爸至少为 a a 60m. -25 第17章综合评价 1.C2.D3.B4.A5.C6.C7.D8.A9.B10.D 11.x2+x=0(答案不唯一)12.n≥-113.1014.(1)10(2)x1=4,x2=-2 15.解：(1)移项，得x(x+1)一2x2=0.因式分解，得x(x+1一2x)=0,.x=0,或1一x =0..x1=0,x2=1.(2)方程两边同乘以x2一4x,得4-x=x2-4x,整理，得(x一4)(x 十1)=0.解得x1=4,x2=一1.检验：当x=4时，x2-4x=0,.x=4不是原方程的根. 当x=一1时，x2一4x≠0，.x=一1是原方程的根..原方程的根为x=一1. 16.解：.方程x2一6x十m2一4m一4=0的一个根是一1，∴.1十6十m2一4m一4=0.整 理，得m2-4m十3=0，解得m1=1,m2=3. 17.解：(1)公式法②(2)整理，得x2-3x-1=0.这里a=1,b=-3,c=-1.,b- 4ac=13>0,x=二（-3)±压_3±，厘.：=3+)压，4=3-压 2×1 2 2 2 18.解：(1)设平均每次降价的百分率是x.根据题意，得200(1一x)2=162,解得x= 0.1=10%,x2=1.9(不合题意，舍去).答：平均每次降价的百分率为10%.(2)售货员 的方案对顾客更优惠.理由如下：：200×(1一5%)×(1一15%)=161.5<162，.售货 员的方案对顾客更优惠。 19.解：(1)将m=一3代人方程，得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.(2)x1,x2是 方程的两个实数根，.x1十x2=2,x1x2=m.·x1x2十2(x1十x2)>0,.m十2X2>0, 解得m>一4.，'△=（一2)2-4X1Xm≥0，解得m1..m的取值范围是-4<m1. 20.(1)解：.a=1,b=-(k+4),c=k十3，.△=b2一4ac=[-(k+4)]2-4X1X(k+ 3)=2+4k十4=(k十2)2.：方程有两个相等的实数根，.（十2）2=0，解得=一2. (2)证明：：x2-(k+4)x++3=0,.(x-1)[x-(k+3)]=0..x-1=0或x-(k+ 3)=0.∴.x1=1,x2=k十3.无论为何值，方程总有一个不变的根为x=1. 21.解：(1)实际销售价格为(80一x)元/kg,销售数量为(30+2x)kg.(2)根据题意，得 (80一x一50)(30十2x)=1000,解得x1=10,x2=5.,要让顾客得到实惠，·x=10. 答：每千克应降价10元. 22.解：(1)24(2)x2+16x-5=x2+16x+82-69=(x+8)2-69.:'(x+8)2≥0， .(x+8)2-69≥-69..当x=-8时，x2+16x一5有最小值，最小值为-69.(3)S> S2.理由如下：由题意，得S1=(3a十2)(2a+5)=6a+19a+10,S2=5a(a+5)=5a2+ 25a,.S1-S2=6a2+19a+10-5a2-25a=a2-6a+10=(a-3)2+1.(a-3)2≥0， .(a-3)2+1>0..S1-S2>0..S>52. 23.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm.由题意，得(100-2x)(40-2x)=1600, 解得x1=10,x2=60(不合题意，舍去).答：剪去的小正方形的边长为10cm.(2)①设收 纳盒的高为acm,则收纳盒底面的长为100,2a=(50一a)cm,宽为(40-2a)cm.由题 2 意，得(50a)(40一2a)=608,解得a1=12,a2=58(不合题意，舍去).答：收纳盒的高 为12cm.②不能.理由如下：由①得该收纳盒的高为12cm.:12<18,.不能把玩具机 械狗完全立着放入该收纳盒。 第18章综合评价 1.B2.D3.B4.B5.B6.D7.D8.D9.B10.D11.512.2613.23 14.(1)136(2)6√2 15.解：：AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中，BD=√AB2-AD= √/122-82=4W5.在Rt△ACD中，CD=√AC2一AD2=/102-82=6.∴.BC=BD+ CD=4√5+6. 16.解：由题意，知AC⊥BD,CD=AE=3m,AC=8m,AB=17m.在Rt△ABC中，由 勾股定理，得BC=√/AB2-AC=15m,.BD=BC十CD=18m.答：发生火灾的住户 窗口距离地面18m. 17.解：∠C=90°，∠CAB=45°，.∠B=90°-∠CAB=45°=∠CAB.,.AC=BC.在 -26- Rt△ABC中，AB=2V3,由勾股定理，得AC十BC=AB2,即2AC=(2√5)2.∴.AC= √6.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√AD-AC=2. l8.解：易得Rt△CD'A≌Rt△ABC,.AC=AC=c,CD'=AB=a,AD'=CB=b, ∠CAD'=∠ACB.·∠ACB+∠CAB=90°，∴.∠CAD'+∠CAB=90°.∴.∠CAC= 90.Sscw=25acA+Sx=2x7ab计72=号a+66叶a）d2+82=2. 19.解：设机器人H跑步xm后与乐乐相遇，则AB=xm,BC=(9一x)m.,机器人 H1的跑步速度与乐乐的下滑速度相同，.DB=AB=xm.在Rt△BCD中，∠C=90°， .BD2=BC十CD.x2=(9-x)2十32，解得x=5..机器人H1跑步5m后与乐乐 相遇。 20.解：1w521+(m)2n(3):S=子，9=号，号=是… 2 %=碧，∴5+8+58+…+5=子+2++…+9-5 44 21.(1)证明：，DE垂直平分AB,.AB=2AD=2√5.，在△ABC中，BC=2,AC=4, .BC2+AC=22+42=20=AB2..AC⊥BC,即∠BCA=90°.(2)解：：DF是线段 AB的垂直平分线，∴.BF=AF.∴.CF=BF-BC=AF一2.在Rt△ACF中，CF2+AC =AF2,.(AF-2)2+42=AF2.∴.AF=5. 22.解：(1)连接AC.在Rt△ABC中，AB=BC=45√2m,∠B=90°，.AC= √AB2+BC=90m,∠CAB=∠ACB=45°.：'在△ACD中，AC+AD2=902+ (30√3)2=10800，CD2=(60√3)2=10800，.AC+AD2=CD,.△ACD是直角三 角形，且∠CAD=90°.∴.∠DAB=∠CAD+∠CAB=135°.(2)这辆车不能被摄像头监 控到.理由如下：过点D作DM⊥DA,交BE于点M.由(1)知∠DAB=135°，∴.∠DAM =180°-∠DAB=45°.DM⊥DA,∴.∠ADM=90°..∠AMD=90°-∠DAM=45. ∴.DM=DA=30V3m,∴.点A,M为摄像头在道路BE上能监控的最远位置.在 Rt△ADM中，AM=√AD2+DM=30√6m..BM=AB+AM=(45√2+30V6)m. ,105√2>45v2+30√6，∴这辆车不能被摄像头监控到. 23.(1)解：连接AP,BP,CP.PB2=12+22=5,PC=12+22=5,PA2=12+32=10, .PA2=PB2+PC..点P是△ABC关于点A的勾股点.(2)解：：AB=AC,AO是 BC边上的中线，BC=10,0B=OC=2BC=5,OALBC.:点C是△A0D关于点A 的“勾股点”，.AC2=OC2+CD2.:CD=12,OC=5,∴.AC=√OC+CD2=13.在 Rt△AOC中，OA=√AC-OC=12.(3)证明：：△ABC和△APD为等腰直角三角 形，.∠BAC=∠DAP=90°，∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC,AD=AP..∠BAC- ∠DAC=∠DAP-∠DAC,即∠BAD=∠CAP.∴△ABD≌△ACP(SAS).∴.BD= PC,∠ABD=∠ACP=180°-∠ACB=135°..∠DBP=∠ABD-∠ABC=90°. ∴.BD+PB2=PD.PC十PB2=PD.∴点P为△BDC关于点D的“勾股点”. 期中综合评价 1.C2.B3.D4.D5.D6.C7.B8.B9.C10.C11.5W3 12.x(x-1)=7213.6-2√514.(1)②(2)2或0 15.解：(1)原式=45+35-2√2+4√2=7√5+2√2.(2)原式=(2√6+5√2)÷√2- 2√3=2√3+5-2W3=5. 16.解：(1)移项，得x2一6x=7.配方，得x2一6x十9=16.则(x一3)2=16.开平方，得x -3=士4.∴原方程的根是x1=7,x2=-1.(2),a=2,b=-4,c=-5,∴.b2一4ac= (一4-4X2×(-5)=6>0.代人求根公式，得=结=2生.= 2×2 2+y匹，4=2二g 2 2 -27