第1章 四边形 综合训练-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

第1章综合评价 TXE (时间：120分钟满分：120分) 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 常 题号 2 4 6 答案 熟 1.围棋起源于我国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史， 下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是 睾我多 深 2.过多边形一个顶点的所有对角线，将多边形分成5个三角形， 此多边形的边数是 ( A.5 B.6 C.7 D.8 3.如图，在□ABCD中，AE⊥BC,垂足为E.若∠D=40°，则 ∠BAE的度数为 ( A.40° B.45° C.50° D.60° E 图① 图② (第3题图) (第5题图) (第6题图) 4.下列条件不能判定四边形是平行四边形的是 ( A.两组对边分别相等 B.一组对边平行且相等 C.对角线相等 D.两组对角分别相等 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=10,则△AOD的 面积为 ( A.9 B.10 C.11 D.12 6.青铜镜，古称“鉴”或“照子”，图②是从八角形铜镜（图①）底部 的 抽象出的正八边形ABCDEFGH,连接HD,则∠HDE的度 数为 ( ) A.60° B.62.5° C.65 D.67.5° 7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E为BC上一点，DE∥AB, 若BE=2,CE=3,四边形ABED的面积为4，则△CDE的面 积为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.5 1 (第7题图) (第8题图) (第9题图) 8.如图，P是△ABC内一点，AP⊥BP,BP=12,CP=15,D,E, F,G分别是AP,BP,BC,AC的中点.若四边形DEFG的周长 为28，则AP的长为 ( ) A.13 B.9 C.5 D.4 9.如图，E是正方形的对角线AC上一点，过点E作EF∥AD,交 CD于点F,连接BE.若BE=5,DF=4,则AC的长为( A.4√2 B.5√2 C.6√2 D.7√2 10.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别过点A,D 作AE∥BD,DE∥AC,AE,DE相交于点E,连接BE.有下列 结论：①四边形DEAO是菱形；②AE=AB;③∠BAE=120°； ④若∠BED=90°，则AD=BE,其中正确的是 ) A.①③ B.①②④ C.①④ D.③④ (第10题图) （第11题图) (第12题图) 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分 11.如图，活动衣架可以伸缩自如是利用了四边形的 12.人字梯及其侧面示意图如图所示，AB,AC为支撑架，DE为 拉杆，D,E分别是AB,AC的中点.若DE=40cm,则B,C两 点之间的距离为 cm 13.如图，为检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边 都垂直，工人师傅用一根绳子比较其对角线AC,BD的长度， 若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，其中的 数学原理是 (第13题图) (第14题图) (第15题图) 14.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD⊥CD于点 D,AC=6,BD=4,则AB的长为 2 15.某校用红色灯带制作了一个如图所示的五角星，则∠A的度 数是 16.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，CE⊥AD,且CE=BC,连 接BE,交对角线AC于点F,则∠EFC的度数为 (第16题图) (第17题图) (第18题图) 17.如图，矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称.已 知AB=3,BC=4,则阴影部分的周长是 18.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE=4√2，M是对 角线BD上一点（∠EMB是锐角），连接EM,EM=5,过点M 作NLEM,交BC边于点N,过点N作NH⊥BD于点H. (1)MN的长为； (2)△HMN的面积为 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤， 19.(6分)一个正多边形的内角和比五边形的外角和多1080°，求 该正多边形每个内角的度数. 20.(6分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠C,E是边 BC上一点，且DE=DC.求证：AD=BE. 一3 21.(8分)如图，四边形ABCD是菱形，以点D为圆心画弧，分别与 边AD,CD相交于点E,F,连接BE,BF.求证：BE=BF. 22.(8分)如图，在Rt△ABC中，BF为斜边AC上的中线，以 BF,CF为一组邻边作口BECF,请你添加一个条件（不再添 加其他线条和字母)，使得四边形BECF为正方形. (1)你添加的条件是 (2)请根据你添加的条件，写出证明过程. 23.(9分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,OA=OC,OB=OD,且∠AOB=2∠OAD. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠AOB:∠ODC=4:3,求∠ADO的度数. D 一4- 24.(9分)如图，E是□ABCD的边AD的中点，对角线AC与 BD相交于点O,BE的延长线交CD的延长线于点F,连接 AF,OE. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)若OE=2,求CF的长. 25.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点E,F分别 在AB,CD上，且BE=DF= (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)求线段EF的长. ☑ -5- 26.(10分)综合与实践 【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB= 90°，将Rt△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBE(点A 的对应点为点C),延长AE,交CE于点F,连接DE 【猜想证明】 (1)试判断四边形BEFE的形状，并说明理由； (2)如图②，若AD=DE,请猜想线段CF与EF的数量关系， 并加以证明； 【解决问题】 (3)如图①，若AB=15,BE=9,请直接写出DE的长. D 图① 图② 一 64.4四分位数与箱线图 第1课时四分位数 1.D 2.解：(1)87(2)把这组数据由小到大排列为62,73,78,86,88,90,95,98，∴.这组数据 的第一四分位数为73,78=75.5. 2 3.解：易拉罐的数量按照从小到大排列为12,14,15,16,18,20,22,25,28,28. m26=15,m6=18+20=19,m6=25. 2 4.C5.C 6,解：(1)这组数据的中位数是90十90-90，即第二四分位数为90.：50×=12.5， 2 第13个数80是第一四分位数.：50×子=37.5，∴第38个数90是第三四分位数 (2)第三四分位数为90，由表格知成绩大于90分的有10人，即获得“优秀”的有10人. 第2课时四分位数和箱线图的应用 1.B2.甲 3.解：(1)把这组数据按照从小到大的顺序排列为20,21,22,23,23,24,25,25,25,26， 28,30,m的值为24十25=24.5，m的值为30.(2)这12天有一半的天数最高气温在 2 24.5℃以上，且集中在25.5℃左右.（合理即可） 4.B 5.解：(1)把甲组的成绩从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100，∴.m25= 70,m0-8991-90,m5=96.(2)如图所示.(3)根据箱线图和四分位数可知甲组成 2 绩比较分散，乙成绩比较集中.（合理即可） 成绩/分 100 95 90 80 75 70 65 60 甲组 乙组 4.5数据的频数分布 4.5.1频数与频率 名师导学 ①个数②频数数据总数③频数频率 【例1】15【例2】A 1.C2.123.A4.D5.C6.(1)0.7(2)25020.5004(3)抛掷次数1 7.解：(1)如表所示 7 8 9 10 频数 6 8 频率0.240.280.320.16 (2)这组数据的平均数为7×0.24+8×0.28+9×0.32+10×0.16=8.4. 8.A 9.解：(1)0.7050.701(2)0.7(3)，获得“橙汁”的频率大约是0.7，.获得“可乐” 的频率大约是1一0.7=0.3.在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是0.3× 360°=108°. 10.解：(1)0.1650371715(2)这组学生每天睡眠时长的平均数为6×0.06 +7×0.14十8×0.34十9×0.3+10×0.16=8.36(h).(3)该校八年级学生寒假期间每 天睡眠时长不足8h的人数约为1500×(0.06+0.14)=300： —25 4.5.2频数直方图 名师导学 分组 【例】解：(1)正T7正5(2)频数直方图如图所示.(3)销售额在40≤x<60的饮 料自动售货机最多，有7台；销售额在0≤x<20的饮料自动售货机最少，只有3台；销售 额在20≤x<40和60≤x<80的饮料自动售货机的数量相同.（答案不唯一，合理即可） 频数 10 20406080 销售额/元 1.A2.D3.C4.A5.(1)4(2)0.2(3)126.C 7.解：(1)200450.225(2)，200×25%=50（人），10+40=50（人），.获奖选手的 最低分数线是80分. 8.解：(1)T2补全频数直方图如图所示.(2)该校八年级学生在此段时间内参加公 益活动的次数超过6次的人数约为200×10十2=120.(3)从平均数来看，八年级学生 20 参加公益活动次数的平均数比七年级大，所以八年级学生参加公益活动比七年级积 极.（答案不唯一） 频数 12 10 0246810次数 4.6总体的平均数与方差的估计 1.C2.0.008 3.解：*=0×7X3+8X5+9+10)=8,=0×(9×4+7X2+6×2+8+10) =8..初中部和高中部对“校园餐”的满意度的打分的平均数的估计值分别为8,8.s中 =0×[3×(7-8)+5×(8-802+(9-8)2+(10-8)]=0.8,a=0×[4×(9 8)2+2×(7-8)2+2×(6-8)2+(10-8)2+(8-8)2]=1.8..初中部和高中部对“校 园餐”的满意度的打分的方差的估计值分别为0.8,1.8. 4.B 5解：127285.7(2)达标果径的杨梅数量约为500×员-3750（颗）.(3)我会 选择甲企业，理由是甲企业杨梅果径的方差小，比较均匀.（答案不唯一，合理即可） 4.7统计的简单应用 1.B2.D 3.解：(1)趋势图如图所示.(2)95(3)小明的数学成绩整体呈上升趋势， 成绩/分 120 110 100 90 8O 70 60 01 23456次数 4.B 26 5.解：(1)如图所示.(2)173.3159.7(3)①12~16岁青少年的平均身高都随着年龄 的增长而增长；②13一16岁的男生的平均身高的增长速度比女生快.（合理即可） 平均身高/cm 170 165 159.8 163.4 167.8 160 153.4 3 150 147.4 752.7十55zT56. 157.2 145 1405 145.8 13 14 15 16年龄/岁 。一男生-士-女生 第4章章末复习 思维导图 从小到大中间位置最多大小 考点整合 1.C2.A3.884.45.A6.B7.B8.C9.C10.B 11.解：(1)28584(2)七、八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数约为 120×十品。-480，（③）入年级的学生掌提防溺水知识的总体水平较好，理由是七、A 年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所 以八年级学生的测试成绩的波动性小，更稳定. 12.解：(1)小茗同学计算平均数的方法不恰当.因为对于三家餐厅星级评价的人数不 同，直接计算简单算术平均数会导致结果偏差，此时应使用加权平均数，以评价人数为 权重进行计算.（合理即可）(2)①餐厅应从服务这方面提升.理由：三项打分中，环境和 口味打分的众数都为5分，大于服务打分的众数4.5分，所以该餐厅应从服务这方面提 升.（答案不唯一，合理即可）②z如集-3.5+5+5+4+3十4十5+5+4.5+5=4.4（分）， 10 品=0×[(3.5-4.4)2+5×(5-4.4)2+2X(4-4.4)2+(3-4.402+(4.5-4.4)2] =0.49.,0.3<0.49,环境打分的分数比较稳定.∴王老师的说法正确。 综合评价 第1章综合评价 1.A2.C3.C4.C5.B6.D7.C8.C9.D10.C 11.不稳定性12.8013.对角线相等的平行四边形是矩形14.√515.36° 16.105°17.4818.(1)5(2)6 19.解：设这个正多边形的边数为n.根据题意，得(n一2)×180°=360°十1080°，解得n =10..该正多边形每个内角的度数为(10一2)×180°÷10=144°. 20.证明：DE=DC,∴.∠DEC=∠C.:∠B=∠C,∠DEC=∠B.AB∥DE.又 :AD∥BC,四边形ABED是平行四边形.AD=BE. 21.证明：，四边形ABCD是菱形，.AB=CB=AD=CD,∠A=∠C.由作图可知DE AB=CB, =DF,.AD-DE=CD-DF,即AE=CF.在△ABE和△CBF中，∠A=∠C, AE-CF, .△ABE≌△CBF(边角边)..BE=BF. 22.解：答案不唯一，如：(1)AB=BC(2),AB=BC,BF为AC边上的中线，BF⊥ AC.∠BFC=90°.，四边形BECF为平行四边形，∴.四边形BECF为矩形.，∠ABC =90,BF为AC边上的中线，…BF=CF=号AC.∴四边形BECF为正方形. 23.(1)证明：：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.，∠AOB= ∠OAD+∠ODA=2∠OAD,∠ODA=∠OAD.∴.OA=OD..AC=BD.∴四边形 ABCD是矩形.(2)解：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=90°，AB∥CD,OA=OB. .∠BAO=∠ABO=∠ODC.:∠AOB:∠ODC=4:3,.设∠BAO=∠ABO= ∠ODC=3x,则∠AOB=4x.:∠BAO+∠AB0+∠AOB=180°，∴.3x+3x+4x= 180°，解得x=18.∠AB0=54°..∠AD0=90°-∠AB0=36°. 24.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD..∠ABE= -27 ∠BFC,∠BAE=∠FDE.E是AD的中点，∴.AE=DE..△ABE≌△DFE(角角 边)..BE=EF..四边形ABDF是平行四边形.(2)解：：四边形ABCD是平行四边 形，.OA=OC,AB=CD.AE=DE,OE是△ABD的中位线..AB=2OE=4. ,四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF.∴.CF=CD+DF=2AB=8. 25.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴.AB∥CD,CD=AB=4,∠B=90°.BE=DF =号，AB-BE=CD-DF,即AE=CF=号.四边形AECF是平行四边形.在 Rt△BCE中，CE=√BE+BC=号.CE=AE.∴四边形AECP是菱形.(2)解：连 接AC在R△ABC中，AC=√AB+BC=25.:Sm=号AC·EF=AE·BC, '.EF-2AE BC-/5. AC 26.解：(1)四边形BEFE是正方形.理由如下：由旋转的性质，得∠E=∠AEB=90°， BE=BE,∠EBE=90°.又，∠BEF=180°-∠AEB=90°，.四边形BEFE是正方 形.(2)CF=EF,证明如下：过点D作DH⊥AE于点H.AD=DE,DH⊥AE,.AH =合AE,∠AHD=902.∠ADH+∠DAH=90:四边形ABCD是正方形，AD =BA,∠DAB=90°.∴.∠DAH+∠BAE=90°..∠ADH=∠BAE.在△ADH和 ∠ADH=∠BAE, △BAE中，∠AHD=∠BEA,∴△ADH≌△BAE(角角边).∴BE=AH=号AE.由 AD=BA, 旋转的性质，得AE=CE,BE=号CE.由(I),得四边形BEFE是正方形，∴BE= EF.∴EF=之CE.∴CF=EP.(3)DE的长为3VT.【解析】过点D作DH⊥AE 于点H.同(2)可证△ADH≌△BAE.∴.AH=BE=BE=9,DH=AE.在Rt△ABE 中，根据勾股定理，得AE=√AB-BE=12..EH=AE-AH=12-9=3.在 Rt△DHE中，根据勾股定理，得DE=√DH+EH=√I22十32=3√I7. 第2章综合评价 1.C2.C3.C4.B5.A6.D7.C8.C9.B10.A 1.3(答案不唯-）12.(-1，-6)13.三14.1，-2)15.1,3)16.-号或6 17.(0,-4)18.(1)61(2)③ 19.解：答案不唯一，如：建立平面直角坐标系如图所示，大门的坐标为(0,0)，猴山的坐 标为(0,4)，虎山的坐标为(3,4)，孔雀园的坐标为(3,2)，车站的坐标为(4,0). 猴 山虎出 扎雀园 大门于升 车站 (第19题图) (第21题图) 20.解：(1)A(1,3),B(-3,3),C(-3,-1).(2)P(-3,1). 21.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.A1(-5,4),B1(-3,5),C1(-3,2).(2)如图， △A2B2C2即为所求.A2(-1,-2),B2(-3,-3),C2(-3,0). 22.解：(1)，点M在x轴上，∴a十1=0，解得a=-1.(2)由题意知a-3=-3,解得a =0..a十1=1..点M的坐标为(-3,1). 23.解：(1)A处在B处的北偏东37°方向，距离5km处；C处在B处的南偏东80°方向， 距离6km处.(2)如图，过点B画一条南北方向的直线DE,则∠ABD=∠A=37°， ∠CBE=∠C=80°.∠ABC=180°-∠ABD-∠CBE=63. 28 北 D /371 5km B 6km80 C E (第23题图) (第24题图) 24.解：(1)点F,G,H如图所示，F(-2,-3),G(-4,0),H(-2,4).(2)轴对称如图， 该图形的面积为2X(2×7+号×7×2）=42。 25.解：(1)(1,3)(2)分两种情况讨论：当点P在OC上时，OP=2,.点P移动的时间 为2÷1=2(s);当点P在AB上时，AP=2,∴点P移动的路程为OC+BC+AB-AP =3十2十3一2=6.点P移动的时间为6÷1=6(s).综上所述，点P移动的时间为2s 或6s. 26.解：(1)√6T(2):点A,B在平行于y轴的直线上，∴.AB=|⅓一=|5-(-1)川= 6.(3)△ABC为等腰三角形.理由如下：，A(0,6),B(一3,2)，C(3,2),.AB= √(-3-0)2+(2-6)产=5，BC=|xB-xC|=|-3-3|=6,AC=√(3-0)2+(2-6) =5.AB=AC.∴.△ABC为等腰三角形. 期中综合评价 1.A2.D3.C4.C5.A6.C7.B8.D9.B10.B 11.(1,-2)(答案不唯一)12.40°13.(3，-1)14.36°15.(-3,0)16.50 17.42-1)18.D1,-)(2)-2或号 19.解：x=3,y2=25,x=士3，y=士5.点P(x,y)在第二象限，x=-3,y= 5.点P的坐标为（一3,5）. 20.解：AB∥CD,.∠B十∠C=180°.五边形ABCDE的内角和为(5一2)×180°= 540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°，.140+180+140+x=540,解得x=80. 21.解：(1)画出平面直角坐标系如图所示，坐标原点为中心广场.(2)小明所在的位置 是游乐园，小励所在的位置是望春亭，小华所在的位置是湖心亭. 100 6 5 4 湖心亭 牡丹亭 中心广场 -6-54-3-2-1 123456x 0 D 2 望春亭 游乐园 3 5 E - (第21题图) (第23题图) 22.证明：：四边形ABCD是矩形，.∠A=90°，AD∥BC.由作图知，AF=BE=AB, 四边形ABEF是矩形.，AB=AF,四边形ABEF是正方形 23.解：(1)D(-4,-2),E(0,-4),F(1,-1).(2)如图所示，△DEF即为所求作的图 形.(3)Sae=5X3-号×5×1-号×4×2-号×1×3=15-2.5-4-1.5=7. 24.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，OA=OC,AB=BC.:E是BC的中点，.OE 是△ABC的中位线.OE∥AB,OE=号AB.:BF=号BC=合AB,OE=BR.:OE ∥BF,四边形OBFE是平行四边形.(2)解：四边形ABCD是菱形，OB=BD -6,ACLBD,BC-AB-10.-8.Am-0C OB-24.E 1 是BC的中点，…SaBe=乞SAc=12.”四边形OBFE是平行四边形，…SFE= 2S△0BE=24. -29 25.解：(1)连接OO,过点O作O'N⊥OC于点N.由折叠的性质，得AO=AO=6,OM =OM,∠OAM=∠OAM=30°..∠OAO=60°.∴.△OAO是等边三角形.∠AOO =60,00=A0=6.:∠A0M=90,∠00N=90-∠A00=30.0N=200 =3.∴.ON=√OO-ON=3√3..点O的坐标为(3√5,3).(2)C0∥AM, ∴.∠AMO=∠MCO,∠AMO=∠MOC.由折叠的性质，得∠AMO=∠AMO', ÷∠MC0=∠MOC.MC=M0.∴MC=M0=OM=2OC=3.点M的坐标为 (3,0). 26.解：(1)四边形BEDG是菱形.理由如下：EG垂直平分BD,∴EB=ED,BG= DG.'.∠EBD=∠EDB,∠DBC=∠BDG..BD是∠ABC的平分线，.∠EBD= ∠DBC.∴∠EDB=∠DBC,∠EBD=∠BDG.∴.ED∥BG,EB∥DG..四边形BEDG 是平行四边形.又，EB=ED,∴.四边形BEDG是菱形.(2)由(1)知四边形BEDG是菱 形，.BD垂直平分EG.连接EC,交BD于点H,连接HG,此时HG十HC的值最小. 过点E作EM⊥BC于点M,过点D作DN⊥BC于点N.∴.∠EMB=∠EMC=∠DNC =9O,.在R△EBM中，：∠EBM=30,EB=ED=2VG,∴EM=号EB=V而.：四 边形BEDG是菱形，∴.ED∥BG.,EM⊥BC,DN⊥BC,∴.EM∥DN..四边形EMND 是矩形.∴.DN=EM=√10，MN=ED=2/10.在Rt△DNC中，∠DCN=45°， ∴.∠NDC=90°-∠DCN=45°=∠DCN..NC=DN=√I0..MC=MN+NC= 3√I0.在Rt△EMC中，，EM=√I0,MC=3√I0,∴.EC=√EMP+MC=10..HG +HC的最小值为10. 第3章综合评价 1.C2.B3.C4.C5.D6.D7.C8.C9.D 10.B【解析】连接BD,在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD,.△ABD为等边三角 形.设AB=a,由图象易得Sm=9。=6,解得a=25(负值已含去)，AB= 2√6.故选B. 11.x≥212.y=-x+2(答案不唯一)13.m<314.>15.1 16,6=20-0.06h17.y=-2x-218.(13(2)6或-￥ 19.解：设一次函数的表达式为y=kx+b.将x=1,y=4;x=一1，y=8代入，得 名得信。2该-成西数的表达式为y=一2红+6 20.解：(1)y与x之间的函数关系式为y=20十8x,其中烧水时间是自变量.(2)当y= 100时，20十8x=100,解得x=10..自变量x的取值范围是0≤x≤10. 21.解：1在y=-名x十2中，令=0，得y=2:令y=0,得-名x+2=0,解得x=4 .该一次函数的图象与x轴的交点坐标为(4,0)，与y轴的交点坐标为(0,2).(2)如图 所示.(3)x<4 22.解：(1)将(1,3)代人y=ax+a一1，得3=a+a一1，解得a=2.(2)①若a>0,则当x =4时，y有最大值.把x=4,y=9代人y=ax+a-1,得9=4a十a-1,解得a=2;②若 a<0,则当x=-2时，y有最大值.把x=-2,y=9代入y=ax十a-1,得9=-2a十a -1,解得a=-10..a的值为2或-10. 23.解：(1)当0≤x≤20时，设y与x之间的函数关系式为y=x.把(20,960)代入，得 20k=960,解得k=48..y=48x;当20<x≤51时，设y与x之间的函数关系式为y 、mx+m把(20,960)，(40,1660)代入，得20十-960，解得{260.户y=35z+ 40m+n=1660, 30