1.7 专题5 中点四边形问题&专题6 与正方形有关的三种常考模型模&大单元整合练 特殊四边形的折叠问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

专题五中点四边 一题多问思维递进（教材P49复习题T15变式） 如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 边AB,BC,CD,DA的中点，顺次连接E,F,G, H,得到的四边形EFGH叫作中点四边形 (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如图①，若四边形ABCD是正方形，则四边 形EFGH的形状一定是 图① 图② (3)如图②，若四边形ABCD是矩形，AB=3, AD=4,则四边形EFGH的周长是 面积是； (4)四边形ABCD的对角线AC,BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形； (5)如图③，若AB=AD,BC=CD,求证：四边 形EFGH是矩形. 图③ 31数学八年级下册配XⅪ版 形问题【回归教材】 名师总结：中点四边形的形状由原四边形的对角线 之间的关系决定： ①任意四边形申点四边形平行四边形： @对角线相等的四边形（含等腰梯形）中点四边形菱形； ③对角线互相垂直的四边形中四边形 矩形； ④对角线互相垂直且相等的四边形 中点四边形，正方形 【变式题】本质不变，四点为四边形各边中点→ 一组对边及两条对角线的中点 如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，若 E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点，顺 次连接E,F,G,H四点，得到四边形EFGH, 则下列结论不正确的是 () A.四边形EFGH一定是平行四边形 B.当AB=CD时，四边形EFGH是菱形 C.当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形 D.四边形EFGH可能是正方形 【拓展练】（临湘期中）如图，依次连接第一个矩 形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形 各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续 下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩 形的面积为 B.() c (” 名师总结：中，点四边形的周长是原四边形两条对角 线的长度之和，面积是原四边形面积的一半 专题六与正方形有关的三种常考模型 类型1十字模型 类型2 一线三等角模型 模型总结：连接正方形的两组对边（或其延长线） 直角顶点在正方形 直角顶点在正方形 上任意两点，得到的两条线段（如图①中的AE与 的边上 的对角线上 BF,如图②中的AE与BF,如图③中的AE与 正方形ABCD中， 正方形ABCD中，点 GF,如图④中的EF与HG)满足：若垂直，则相 点F在BC上， P在AC上，点E在 等；若相等，则垂直. AF⊥EF,∠DCE= BC上，PE⊥PD 模型 45° 呈现 图① 图② 图③ 图④ 1.如图，在正方形ABCD中，点E,H,F,G分别 在AB上找点G, 连接BP,过点P作 在边BC,CD,AD,AB上，EF,GH交于点O, 辅助线 使BG=BF MN⊥BC ∠FOH=90°，EF=4,则GH的长为· △AGF≌△FCE, 结论 PD-PB-PE AF-EF 4.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上， △AEF为等腰直角三角形，∠AEF=90°.求 R 2.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC 证：∠DCF=45°. 交BC于点E,F是边AB上一点，连接DF. 若BE=AF,则∠CDF的度数为 3.（汨罗期末)如图，正方形ABCD的边长为12， 点E,F分别在边AD,CD上，且DE=CF=3, 连接BE,BF和AF,BE与AF相交于点O, H为BF的中点，连接OH,则OH的长为 第1章四边形32 5.(岳阳云溪区期中)如图①，在正方形ABCD 中，O是对角线AC的中点，P为线段AO上 的一个动点（不包括两个端点），Q为CD边 上一点，且∠BPQ=90° (1)①∠ACB的度数为 ②求证：PB=PQ; (2)若BC+CQ=6,求四边形BCQP的面积； (3)如图②，连接BQ,交AC于点E,直接写 出线段AP,PE,CE之间的数量关系. 图① 图② 33数学八年级下册配灯版 类型3半角模型 在正方形ABCD 中，点E,F分别在 模型呈现 边BC,CD上， ∠EAF=45° G B E 在EB的延长线上取一点G,使BG= 辅助线 DF,连接AG △ABG≌△ADF,∠BAG=∠DAF; 结论 △AEG≌△AEF,EF=BE+DF 6.如图①，点E,F分别在正方形ABCD的边 BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF,试猜想 EF,BE,DF之间的数量关系. 【思路梳理】 (1)在CD的延长线取一点G,使DG=BE, 连接AG,请根据以上思路推导出EF, BE,DF之间的数量关系； 【类比引申】 (2)如图②，点E,F分别在正方形ABCD的 边CB,DC的延长线上，∠EAF=45°，连 接EF,试直接写出EF,BE,DF之间的 数量关系 B 图① 图② 大单元整合练特殊四边 整合内容：八上第4章《三角形》，八下第1章 学科素养体现：动手操作能力，空间想象能力等 【折叠（轴对称）的性质回顾】 ①折叠前后所得的对应线段 ,对应角 ;两个图形 ②对应点之间的连线被折痕垂直平分，对称线 段所在的直线与折痕的夹角相等， 任务1会利用轴对称解决折叠中的角度问题 1.如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，E是边 AD上的点，沿BE折叠，使点A恰好落在BD 上的点F处，则∠BFC的度数是 (第1题图) (第2题图) 2.(潍坊中考)如图，在□ABCD中，点E在边 BC上.将△ABE沿AE折叠，点B的对应点 B恰好落在边DC上.将△ADB沿AB折叠， 点D的对应点D恰好落在AE上.若∠C=a, 则∠CBE= .(用含a的式子表示) 任务2会利用轴对称十勾股定理解决折叠中 的线段长度问题 3.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形 折叠，使顶点D落在边BC上的点E处，折 痕为GH.若BE:CE=2:1,则线段CH的 长为 B (第3题图) (第4题图) 4.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折 叠，使点D落在点F处，AF与BC相交于点 E.若AB=4,AD=8,则AE的长为 形的折叠问题【落实课标】 任务3尝试利用折叠解决折纸探究问题 5.如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要 作60°，30°，15°等大小的角，就可以采用下面 的方法： 第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重 合，得到折痕EF,把纸片展开，如图①所示； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF 上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时， 得到了线段BN,如图②所示 图① 图② (1)求∠NBC的度数； (2)通过上述折纸操作，还得到了一些不同 角度的角，请写出除∠NBC以外的两个 角，并求它们的度数； (3)请你继续折出15°大小的角，说出折纸步 骤及得到的15°角. 第1章四边形341.6菱形 1.6.1菱形的性质 名师导学 ①平行②相等相等互相垂直平分③对角线的交点两条对角线所在直线 ④两条对角线 【例1】A 【例2】证明：，四边形ABCD是菱形，，AD=CD.在△ADF和△CDE中， (AD=CD, ∠D=∠D,.△ADF≌△CDE(边角边)..∠1=∠2. DF=DE, 1.D2.C3.8 4.(I)证明：，四边形ABCD是菱形，.AD=CD.S菱形ABCD=AD·BE=CD·BF, .BE=BF.(2)解：BE⊥AD,∴.∠BED=90°.∠A=∠BED-∠ABE=80.四 边形ABCD是菱形，：AB=AD.∠ABD=号(180°-∠A)=50.∠EBD= ∠ABD-∠ABE=40°. 5.426.127.A8.D 9.解：(1)如图所示.，四边形ABCD是菱形，.AD=AB=BC=CD,AB∥CD. ∠CDE=∠F,∠C=∠FBE.:BF=AB,CD=BF.△DCE≌△FBE(角边角). CE=BE.∴.E是BC的中点.(2)，△DCE≌△FBE,DE=EF.DF⊥BC,BC 是线段DF的垂直平分线.∴.BD=BF=AB=AD=4. B 10.解：(1)连接AC.四边形ABCD是菱形，∴.BC=AB=5,AB∥CD.∠ABC= 60°，∴.△ABC是等边三角形..∠ACD=∠BAC=60°，AB=AC.∠ACD=∠ABC. :∠EAF=60°，∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,即∠BAE=∠CAF.∴.△ABE ≌△ACF(角边角)..BE=CF...CE+CF=CE十BE=BC=5.(2)CE-CF=5.证明 如下：连接AC.同(1)易证△ABE≌△ACF(角边角).∴.BE=CF.∴.CE-CF=CE- BE=BC=5. 1.6.2菱形的判定 名师导学 ①相等②垂直 【例1】证明：E,F分别是BD,BC的中点，EF=合CD.同理可得，GH=号CD,FG =合AB,EH=号AB.又：AB=CD,EF=FG=GH=EH,四边形EFGH是 菱形. 【例2】证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.,DE=BF,∴AD -DE=BC-BF,即AE=CF.又：AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.：AC⊥ EF,.四边形AECF是菱形. 1.菱 2.证明：AF⊥BC,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，∴AB=AC,EF=AE= 合AC,DF=AD=合AB.DF=AD=EF=AE.∴四边形ADFE是菱形. 3.B4.AD∥BC(答案不唯一) 5.证明：AB=5,OA=4,OB=3,.OA2十OB2=AB.∴∠AOB=90°..AC⊥BD. .□ABCD是菱形. 6.C7.C8.8√3 9.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.,AE=CF,.OA- AE=OC-CF,即OE=OF.∴.四边形EBFD是平行四边形.(2)四边形ABCD是平 行四边形，.AB∥DC.∴.∠BAC=∠DCA.:∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC. ∴AD=CD.四边形ABCD是菱形.∴.DB⊥EF.由(1)知四边形EBFD是平行四边 形，.四边形EBFD是菱形 10.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.AD=BC,AD∥BC,∠A=∠C=90°.由平移 的性质，得B'C'=BC,B'C'∥BC..AD=B'C',AD∥B'C'..四边形AB'CD是平行 四边形，在R△ABD中，：B为BD的中点，∠ABD=30,:AB-号BD,AD- 合BD.AD-AB.四边形ABC'D是菱形.(2)解：连接AC.:四边形ABCD是 菱形，∴.AC⊥B'D.由平移的性质，得AB=CD',AB∥CD',∴.四边形ABCD是平行 四边形.∴.四边形ABCD'是菱形.，BD=2AD=2,∴AB=√BD-AD=√3..四边 形ABCD'的周长为4√3.(3)解：矩形的周长为6+√3或2W3+3. 1.7正方形 名师导学 ①相等直角平行②相等直角相等垂直平分③对角线的交点④相等 ⑤直角 【例】(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴.∠B=∠D=∠C=90°.，∠CEF=45°， .∠CFE=45°=∠CEF.AE=AF,.∠AFE=∠AEF.∴.∠AFD=∠AEB. .△ABE≌△ADF(角角边)..AB=AD..矩形ABCD是正方形.(2)解：.'AE=AF =3√2，BE=1,∴.AB=√AE-BE=√17.∴.正方形ABCD的面积为（√17）2=17. 1.B2.A3.84.22.5 5.证明：，四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠B=∠FCD=90°.又，E,F分 别是AB,BC的中点，∴BE=号AB,CF=号BC.BE=CR.△CEB2△DFC(边角 边)..CE=DF. 【延伸问】CE⊥DF 6.AC=BD(答案不唯一)7.A8.B9.D 10.(1)解：30°(2)证明：·四边形ABCD是正方形，.∠A=∠D=90°.四边形EFGH EH=HG, 是菱形，.EH=GH.在Rt△HAE和Rt△GDH中， .Rt△HAE≌ AH=DG, Rt△GDH(斜边、直角边).∴.∠AHE=∠DGH.,∠DHG+∠DGH=90°，∴.∠DHG +∠AHE=90°.∠GHE=90°.菱形EFGH是正方形. 11.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,.∠EMC=∠ENC= ∠END=90°.，四边形ABCD是正方形，∴·∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA.∴·∠MEN =360°-∠EMC-∠ENC-∠BCD=90°，EM=EN.∴.∠FEM+∠FEN=90°.，EF ⊥DE,∠DEF=90°..∠DEN+∠FEN=90°.∴.∠FEM=∠DEN.∴△FEM≌ △DEN(角边角).，FE=DE..矩形DEFG是正方形.(2)解：CE十CG的长是定值. 由(1)知矩形DEFG是正方形，.DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°.，四边形ABCD是 正方形，∴.AD=CD=AB=4V2,∠ADE+∠EDC=90°.·∠ADE=∠CDG..△ADE≌ △CDG(边角边).∴.AE=CG.∴.CE+CG=CE+AE=AC=√AD+CD=8,是定值. 专题五中点四边形问题【回归教材】 (1)证明：连接BD.,E,H分别是AB,DA的中点，.EH是△ABD的中位线..EH =合BD,EH/BD.同理，FG=合BD,FG/BD.EH=FG,EH/FG.四边形EFGH是 平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O. :E,F分别为AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线.EF∥AC,EF=AC.同 理，得HG∥AC,HG=2AC.∴EF∥HG,EF=HG.·四边形EFGH是平行四边形. ,AB=AD,BC=CD,AC是线段BD的垂直平分线.∴AC⊥BD.:E,H分别为 AB,AD的中点，.EH是△ABD的中位线..EH∥BD.:EF∥AC,∴.EF⊥EH,即 ∠HEF=90°..四边形EFGH是矩形. 【变式题】C【拓展练D 专题六与正方形有关的三种常考模型 1426m.5”33里 4.证明：在AB上取一点G,使AG=EC,连接EG.:四边形ABCD是正方形，∴.AB= BC,∠B=∠BCD=90°.∴.∠AEB+∠EAB=90°.：△AEF为等腰直角三角形，且 一8 ∠AEF=90°，∴.AE=EF,∠AEB+∠CEF=90°.∴.∠EAB=∠CEF.∴△AGE≌ △ECF(边角边).∴∠AGE=∠ECF.AG=CE,∴BG=BE.:∠B=90°，∠BGE =45°.∴.∠ECF=∠AGE=180°-∠BGE=135°.∴.∠DCF=∠ECF-∠BCD=45°. 5.(1)①解：45°②证明：过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.∠PEB= ∠PEC=∠PFC=90°.：四边形ABCD是正方形，.∠ACD=∠ACB,∠ECF=90°. ∴.PE=PF,四边形PECF是矩形.∴四边形PECF是正方形.∠EPF=90°= ∠BPQ.∴∠BPE=∠QPF.∴.△BPE≌△QPF(角边角).∴.PB=PQ.(2)解：由(1)可 知△BPE≌△QPF,四边形PECF是正方形，∴BE=FQ,CE=CF,S△PE=S△aPF· BC+CQ=CE+CQ+FQ=CE+CF=6..CE=CF=3.又：SABPE=S△aPF, .S四边形cQP=S正方形PEr=9.(3)解：PE2=AP2十CE2. 6.解：(1)，四边形ABCD为正方形，∠ADC=∠B=∠ADG=90°，AB=AD.,DG =BE,△ADG≌△ABE(边角边)..∠DAG=∠BAE,AE=AG.∴∠FAG=∠FAD +∠DAG=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°=∠EAF.,AF=AF,∴.△AFG≌ △AFE(边角边)..EF=FG=DG+DF=BE+DF.(2)DF=EF+BE. 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 ①相等相等全等 1.75°2.号344.5 5.解：(1)连接AN.由折叠的性质，得AB=NB,EF垂直平分AB.∴.NA=NB..AB =NA=NB.∴△ABN为等边三角形..∠ABN=60°.，四边形ABCD为矩形， .∠ABC=∠BAD=90°.∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=30°.(2)由折叠可知∠ABM =∠NBM=2∠ABN=30,∠AMB=∠NMB.:∠BAD=9O,:∠AMB=∠NMB =90°-∠ABM=60°.(3)如图，再一次折叠矩形纸片，使点A落在BM上，并使折痕经 过点B,得到折痕BH,则∠ABH=15°. 专题七特殊四边形中的动态探究问题【期末热点】 1.C2.7.2 【变式题】解：(1)1296(2)GE+GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题意， 得Sm=Sm=Sm+Sm,即2X96=号AB·GE+号AD,GR,43= X10(GE+GF).GE+GF=9.6.∴.GE+GF的值不发生变化 3.A 4.(1)证明：在菱形ABCD中，∠BAD=120,∠B=60,∠BAC=∠BAD=60, AB=BC.∴△ABC为等边三角形.∴AB=BC=AC.:△AEF为等边三角形，∴.AE AF,∠EAF=60°.∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF. .△ABE≌△ACF(边角边)..BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变化. :△ABE≌△ACF,.S△ABE=SAACE..S四边形ABCF=S△AEC十S△ACF=SAAEC十S△ABE= Sc,过点A作AH LBC-于点H.:AB=AC=BC=4,BH=分BC=2.在 R△ABH中，AH=VAB-BF=2,S多AB=SaAc=号BC,AH=4VS. 5.(1)证明：DE⊥BC,∴.∠DFB=90°.∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB..AC∥ DE.MN∥AB,即CE∥AD,.四边形ADEC是平行四边形.∴.CE=AD.(2)解：四 边形BECD是菱形.理由如下：D为AB的中点，AD=BD.,CE=AD,BD= CE.,BD∥CE,四边形BECD是平行四边形.DE⊥BC,.四边形BECD是菱形. (3)解：45 6.解：(1)平行四边(2)连接GH.四边形ABCD是矩形，G,H分别是AD,BC的中 点，AG=BH,AG∥BH,∠B=90°..四边形ABHG是矩形..GH=AB=6.由题 意，得AE=CF-t,AC=√AB十BC=10.:四边形EGFH为矩形，∴.EF=GH=6. 分两种情况讨论：①当0≤t<5时，EF=AC-AE-CF=10-2t.∴.10-2t=6,解得t= —9