1.6.2 菱形的判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

【名师导学 ◆预习先知 同新知梳理 ①四条边都 的四边形是菱形。 ②对角线互相 的平行四边形 是菱形， ☑例题引路 【例1】如图，在四边形ABCD中，AB CD,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD 的中点.求证：四边形EFGH是菱形. 【名师点拨】根据中位线定理得出GH, EF,EH,GF与AB,CD之间的数量关 系，再根据AB=CD,得出GH=EF= EH=GF,即可证四边形EFGH是菱形. 【学生解答】 【例2】如图，在□ABCD中，E,F分别 是AD,BC上的点，且DE=BF,AC⊥ EF.求证：四边形AECF是菱形. 【学生解答】 27数学八年级下册配灯版 6.2菱形的判定 基础过关 》逐点击破 知识点1四条边都相等的四边形是菱形 1.(教材P38习题T4变式)如图，在△ABD 中，AB=AD,分别以点B,D为圆心，AB 的长为半径画弧，两弧交于点C,连接BC, DC,则四边形ABCD是 形 2.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC的中 点，AF⊥BC.求证：四边形ADFE是菱形. 知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.在四边形ABCD中，对角线AC,BD互相平分.添加下 列条件后，能使得四边形ABCD是菱形的是() A.∠ABC=90° B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB∥CD 4.半开放性题新趋势如图，在四边形 ABCD中，AD=BC,AC⊥BD于 A 点O.请添加一个条件： 使四边形ABCD成为菱形.（写出一个即可） 5.(长春中考)如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,AB=5,OA=4,OB=3.求证：□ABCD是菱形. 【能力提升 >·整合运用 6.下列平行四边形中，根据图中所标出的数 据，不一定是菱形的是 i20 609 609 560° 7.(湖南中考)如图，在四边形ABCD中，对角 线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边 形ABCD的周长为 A.6 B.9 C.12 D.18 60 (第7题图) (第8题图) 8.(广西中考)如图，两张宽度均为3cm的纸 条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°， 则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm 9.如图，在□ABCD中，AC,BD交于点O,点 E,F在AC上，AE=CF. (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD 是菱形 【思维拓展 ,强化素养 10.如图①，BD是矩形ABCD的对角线， ∠ABD=30°，AD=1.将△BCD沿射线 BD方向平移到△BCD的位置，使B为 BD的中点，连接AB',CD,AD',BC,如 图②所示， (1)求证：四边形AB'CD是菱形； (2)求四边形ABCD的周长； (3)将四边形ABCD沿它的两条对角线剪 开，用得到的四个三角形拼成与其面积 相等的矩形，直接写出所有可能拼成的 矩形的周长。 图① 图② 第1章四边形281.6菱形 1.6.1菱形的性质 名师导学 ①平行②相等相等互相垂直平分③对角线的交点两条对角线所在直线 ④两条对角线 【例1】A 【例2】证明：，四边形ABCD是菱形，，AD=CD.在△ADF和△CDE中， (AD=CD, ∠D=∠D,.△ADF≌△CDE(边角边)..∠1=∠2. DF=DE, 1.D2.C3.8 4.(I)证明：，四边形ABCD是菱形，.AD=CD.S菱形ABCD=AD·BE=CD·BF, .BE=BF.(2)解：BE⊥AD,∴.∠BED=90°.∠A=∠BED-∠ABE=80.四 边形ABCD是菱形，：AB=AD.∠ABD=号(180°-∠A)=50.∠EBD= ∠ABD-∠ABE=40°. 5.426.127.A8.D 9.解：(1)如图所示.，四边形ABCD是菱形，.AD=AB=BC=CD,AB∥CD. ∠CDE=∠F,∠C=∠FBE.:BF=AB,CD=BF.△DCE≌△FBE(角边角). CE=BE.∴.E是BC的中点.(2)，△DCE≌△FBE,DE=EF.DF⊥BC,BC 是线段DF的垂直平分线.∴.BD=BF=AB=AD=4. B 10.解：(1)连接AC.四边形ABCD是菱形，∴.BC=AB=5,AB∥CD.∠ABC= 60°，∴.△ABC是等边三角形..∠ACD=∠BAC=60°，AB=AC.∠ACD=∠ABC. :∠EAF=60°，∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,即∠BAE=∠CAF.∴.△ABE ≌△ACF(角边角)..BE=CF...CE+CF=CE十BE=BC=5.(2)CE-CF=5.证明 如下：连接AC.同(1)易证△ABE≌△ACF(角边角).∴.BE=CF.∴.CE-CF=CE- BE=BC=5. 1.6.2菱形的判定 名师导学 ①相等②垂直 【例1】证明：E,F分别是BD,BC的中点，EF=合CD.同理可得，GH=号CD,FG =合AB,EH=号AB.又：AB=CD,EF=FG=GH=EH,四边形EFGH是 菱形. 【例2】证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.,DE=BF,∴AD -DE=BC-BF,即AE=CF.又：AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.：AC⊥ EF,.四边形AECF是菱形. 1.菱 2.证明：AF⊥BC,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，∴AB=AC,EF=AE= 合AC,DF=AD=合AB.DF=AD=EF=AE.∴四边形ADFE是菱形. 3.B4.AD∥BC(答案不唯一) 5.证明：AB=5,OA=4,OB=3,.OA2十OB2=AB.∴∠AOB=90°..AC⊥BD. .□ABCD是菱形. 6.C7.C8.8√3 9.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.,AE=CF,.OA- AE=OC-CF,即OE=OF.∴.四边形EBFD是平行四边形.(2)四边形ABCD是平 行四边形，.AB∥DC.∴.∠BAC=∠DCA.:∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC. ∴AD=CD.四边形ABCD是菱形.∴.DB⊥EF.由(1)知四边形EBFD是平行四边 形，.四边形EBFD是菱形 10.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.AD=BC,AD∥BC,∠A=∠C=90°.由平移 的性质，得B'C'=BC,B'C'∥BC..AD=B'C',AD∥B'C'..四边形AB'CD是平行 四边形，在R△ABD中，：B为BD的中点，∠ABD=30,:AB-号BD,AD- 合BD.AD-AB.四边形ABC'D是菱形.(2)解：连接AC.:四边形ABCD是 菱形，∴.AC⊥B'D.由平移的性质，得AB=CD',AB∥CD',∴.四边形ABCD是平行 四边形.∴.四边形ABCD'是菱形.，BD=2AD=2,∴AB=√BD-AD=√3..四边 形ABCD'的周长为4√3.(3)解：矩形的周长为6+√3或2W3+3. 1.7正方形 名师导学 ①相等直角平行②相等直角相等垂直平分③对角线的交点④相等 ⑤直角 【例】(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴.∠B=∠D=∠C=90°.，∠CEF=45°， .∠CFE=45°=∠CEF.AE=AF,.∠AFE=∠AEF.∴.∠AFD=∠AEB. .△ABE≌△ADF(角角边)..AB=AD..矩形ABCD是正方形.(2)解：.'AE=AF =3√2，BE=1,∴.AB=√AE-BE=√17.∴.正方形ABCD的面积为（√17）2=17. 1.B2.A3.84.22.5 5.证明：，四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠B=∠FCD=90°.又，E,F分 别是AB,BC的中点，∴BE=号AB,CF=号BC.BE=CR.△CEB2△DFC(边角 边)..CE=DF. 【延伸问】CE⊥DF 6.AC=BD(答案不唯一)7.A8.B9.D 10.(1)解：30°(2)证明：·四边形ABCD是正方形，.∠A=∠D=90°.四边形EFGH EH=HG, 是菱形，.EH=GH.在Rt△HAE和Rt△GDH中， .Rt△HAE≌ AH=DG, Rt△GDH(斜边、直角边).∴.∠AHE=∠DGH.,∠DHG+∠DGH=90°，∴.∠DHG +∠AHE=90°.∠GHE=90°.菱形EFGH是正方形. 11.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,.∠EMC=∠ENC= ∠END=90°.，四边形ABCD是正方形，∴·∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA.∴·∠MEN =360°-∠EMC-∠ENC-∠BCD=90°，EM=EN.∴.∠FEM+∠FEN=90°.，EF ⊥DE,∠DEF=90°..∠DEN+∠FEN=90°.∴.∠FEM=∠DEN.∴△FEM≌ △DEN(角边角).，FE=DE..矩形DEFG是正方形.(2)解：CE十CG的长是定值. 由(1)知矩形DEFG是正方形，.DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°.，四边形ABCD是 正方形，∴.AD=CD=AB=4V2,∠ADE+∠EDC=90°.·∠ADE=∠CDG..△ADE≌ △CDG(边角边).∴.AE=CG.∴.CE+CG=CE+AE=AC=√AD+CD=8,是定值. 专题五中点四边形问题【回归教材】 (1)证明：连接BD.,E,H分别是AB,DA的中点，.EH是△ABD的中位线..EH =合BD,EH/BD.同理，FG=合BD,FG/BD.EH=FG,EH/FG.四边形EFGH是 平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O. :E,F分别为AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线.EF∥AC,EF=AC.同 理，得HG∥AC,HG=2AC.∴EF∥HG,EF=HG.·四边形EFGH是平行四边形. ,AB=AD,BC=CD,AC是线段BD的垂直平分线.∴AC⊥BD.:E,H分别为 AB,AD的中点，.EH是△ABD的中位线..EH∥BD.:EF∥AC,∴.EF⊥EH,即 ∠HEF=90°..四边形EFGH是矩形. 【变式题】C【拓展练D 专题六与正方形有关的三种常考模型 1426m.5”33里 4.证明：在AB上取一点G,使AG=EC,连接EG.:四边形ABCD是正方形，∴.AB= BC,∠B=∠BCD=90°.∴.∠AEB+∠EAB=90°.：△AEF为等腰直角三角形，且 一8 ∠AEF=90°，∴.AE=EF,∠AEB+∠CEF=90°.∴.∠EAB=∠CEF.∴△AGE≌ △ECF(边角边).∴∠AGE=∠ECF.AG=CE,∴BG=BE.:∠B=90°，∠BGE =45°.∴.∠ECF=∠AGE=180°-∠BGE=135°.∴.∠DCF=∠ECF-∠BCD=45°. 5.(1)①解：45°②证明：过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.∠PEB= ∠PEC=∠PFC=90°.：四边形ABCD是正方形，.∠ACD=∠ACB,∠ECF=90°. ∴.PE=PF,四边形PECF是矩形.∴四边形PECF是正方形.∠EPF=90°= ∠BPQ.∴∠BPE=∠QPF.∴.△BPE≌△QPF(角边角).∴.PB=PQ.(2)解：由(1)可 知△BPE≌△QPF,四边形PECF是正方形，∴BE=FQ,CE=CF,S△PE=S△aPF· BC+CQ=CE+CQ+FQ=CE+CF=6..CE=CF=3.又：SABPE=S△aPF, .S四边形cQP=S正方形PEr=9.(3)解：PE2=AP2十CE2. 6.解：(1)，四边形ABCD为正方形，∠ADC=∠B=∠ADG=90°，AB=AD.,DG =BE,△ADG≌△ABE(边角边)..∠DAG=∠BAE,AE=AG.∴∠FAG=∠FAD +∠DAG=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°=∠EAF.,AF=AF,∴.△AFG≌ △AFE(边角边)..EF=FG=DG+DF=BE+DF.(2)DF=EF+BE. 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 ①相等相等全等 1.75°2.号344.5 5.解：(1)连接AN.由折叠的性质，得AB=NB,EF垂直平分AB.∴.NA=NB..AB =NA=NB.∴△ABN为等边三角形..∠ABN=60°.，四边形ABCD为矩形， .∠ABC=∠BAD=90°.∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=30°.(2)由折叠可知∠ABM =∠NBM=2∠ABN=30,∠AMB=∠NMB.:∠BAD=9O,:∠AMB=∠NMB =90°-∠ABM=60°.(3)如图，再一次折叠矩形纸片，使点A落在BM上，并使折痕经 过点B,得到折痕BH,则∠ABH=15°. 专题七特殊四边形中的动态探究问题【期末热点】 1.C2.7.2 【变式题】解：(1)1296(2)GE+GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题意， 得Sm=Sm=Sm+Sm,即2X96=号AB·GE+号AD,GR,43= X10(GE+GF).GE+GF=9.6.∴.GE+GF的值不发生变化 3.A 4.(1)证明：在菱形ABCD中，∠BAD=120,∠B=60,∠BAC=∠BAD=60, AB=BC.∴△ABC为等边三角形.∴AB=BC=AC.:△AEF为等边三角形，∴.AE AF,∠EAF=60°.∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF. .△ABE≌△ACF(边角边)..BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变化. :△ABE≌△ACF,.S△ABE=SAACE..S四边形ABCF=S△AEC十S△ACF=SAAEC十S△ABE= Sc,过点A作AH LBC-于点H.:AB=AC=BC=4,BH=分BC=2.在 R△ABH中，AH=VAB-BF=2,S多AB=SaAc=号BC,AH=4VS. 5.(1)证明：DE⊥BC,∴.∠DFB=90°.∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB..AC∥ DE.MN∥AB,即CE∥AD,.四边形ADEC是平行四边形.∴.CE=AD.(2)解：四 边形BECD是菱形.理由如下：D为AB的中点，AD=BD.,CE=AD,BD= CE.,BD∥CE,四边形BECD是平行四边形.DE⊥BC,.四边形BECD是菱形. (3)解：45 6.解：(1)平行四边(2)连接GH.四边形ABCD是矩形，G,H分别是AD,BC的中 点，AG=BH,AG∥BH,∠B=90°..四边形ABHG是矩形..GH=AB=6.由题 意，得AE=CF-t,AC=√AB十BC=10.:四边形EGFH为矩形，∴.EF=GH=6. 分两种情况讨论：①当0≤t<5时，EF=AC-AE-CF=10-2t.∴.10-2t=6,解得t= —9