1.5.1 矩形的性质&专题4 矩形中的折叠问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

口名师导学 >◆。预习先知 新知梳理 ①有一个角是 角的平行四边形 叫作矩形，也称长方形 ②矩形的四个角都是 角，对边 ,对角线 ③矩形是中心对称图形， 是它的对称中心.矩形是轴对称图 形，过每一组对边中点的直线都是矩 形的对称轴 心例题引路 【例】如图，在矩形 D ABCD中，E是AB 的中点，连接DE, CE. (1)求证：△ADE≌△BCE; (2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长 【名师点拨】(1)由全等三角形的判定定 理“边角边”证得结论；(2)由(1)中全等三 角形的对应边相等和勾股定理求得线段 DE的长度，即可求得三角形的周长 【学生解答】 1.5矩形 5.1矩形的性质 基础过关 ●●●逐点击破 知识点1矩形的定义 1.如图，要使☐ABCD成为矩形，可以添加的条件是（ A.AB-BC B.AC⊥BD C.∠1+∠2=90° D.∠1=∠2 知识点2矩形的性质 2.(娄底期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O.若OA=2,则BD的长为 ( A.2 B.4 C.6 D.8 (第2题图) (第4题图) (第5题图) 3.下列说法错误的是 A.矩形是中心对称图形B.矩形的对角线相等 C.矩形有4条对称轴 D.矩形的对边相等 4.如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=10,CD=6,点E 在AD上.若EC平分∠BED,则DE的长为 5.如图，在矩形ABCD中，AC,BD交于点O,M,N分别为 BC,OC的中点.若MN=3,AB=8,则BC的长为 6.(岳阳云溪区期中)如图，矩形ABCD的两条对角线 AC,BD相交于点O,∠AOD=120°，AB=2,求BC的长 和矩形ABCD的面积. 第1章四边形20 【能力提升 ◆>、整合运用 7.(桂平期中)如图，在矩形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分 别交AB,CD于点E,F.若矩形ABCD的面 积为24，则阴影部分的面积是 ( A.4 B.6 C.8 D.10 (第7题图) (第8题图) 8.(南宁江南区期中)如图，在矩形ABCD中， 对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD于点E. 如果∠DAE：∠BAE=3:1,那么∠EAC 的度数为 9.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点， ∠AED=90°，∠EAD=30°，F是AD边的 中点，EF=6cm,则BE的长为 cm. (第9题图) (第10题图) 10.(武冈期中)如图，延长矩形ABCD的边BC 至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB= 30°，则∠E的度数为 11.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上， AE=AD,DF⊥AE,垂足为F. (1)求证：DF=AB; 21数学八年级下册配XⅪ版 (2)若∠FDC=30°，且AB=4,求AD的长. 口思维拓展 ,◆·强化素养 12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6, M,N分别是AB,CD的中点，P是AD上 一点，且∠PNB=3∠CBN. (1)求证：∠PNM=2∠CBN; (2)求AP的长. 专题四 矩形 类型1沿矩形对角线所在直线折叠 1.如图，将矩形ABCD沿BD折叠得到△BCD, CD与AB交于点E.已知∠2=40°，则∠1 的度数为 A.20° B.25° C.30° D.40° 2.(长沙望城区期中)如图，将矩形ABCD沿对 角线AC翻折，点B落在点F处，CF交AD 于点E (1)求证：△ACE是等腰三角形； (2)若AB=8,BC=16,求△ACE的面积. 类型2沿仅过矩形一个顶点的直线折叠 3.如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落 在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6, 则AF的长为 A.4√3 B.2√3 C.4√2 D.8 中的折叠问题 4.如图，将矩形纸片ABCD(AB>AD)沿过点 D的直线折叠，使点A落在CD边上的点F 处，折痕为DE,连接CE,再将△BEC沿直 线CE折叠，使点B落在DE上的点G处. 若BC=√2，则△DEC的面积为 D B (第4题图) (第5题图) 5.分类讨论新理念（宁乡期未）如图，在长方形 ABCD中，AD=15,AB=17,E为射线DC 上一动点（不与点D重合），将△ADE沿AE 翻折得到△AD'E,连接D'B.若△ABD'为 直角三角形，则DE的长为 类型3沿矩形对角线的垂直平分线折叠 6.如图，在矩形纸片ABCD中，AD∥BC,将矩 形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在 点C处，折痕为EF (1)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数； (2)若AB=6,AD=8,求AE的长 第1章四边形224.B 5.解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：在四边形ABCD中，∠A=36°，∠B= 144°，∠C=36°，∴.∠A=∠C,∠D=360°-∠A-∠B-∠C=144°..∠B=∠D..四 边形ABCD是平行四边形. 6.C7.A8.120 I∠FAE=∠BCE, 9.(1)证明：AF∥BC,.∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中，AE=CE, ∠AEF=∠CEB, ∴△AEF≌△CEB(角边角).EF=BE..四边形ABCF是平行四边形.(2)解：四 边形ABCF是平行四边形，∴.BF=2EF=2,AB∥CF.∴∠CFB=∠ABD=90°.∴.CF ⊥BD.BC=CD,BD=2BF=4.∴AD=√AB2+BD=5. 10.解：(1)一理由如下：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC..OP=OQ, 四边形APCQ是平行四边形.二理由如下：连接AC,交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.DQ=BP,∴.OQ=OP.∴.四边形APCQ 是平行四边形.（任选其一即可）(2)如图，点Q即为所求.（答案不唯一） 1.3中心对称和中心对称图形 名师导学 ①180°对称中心②对称中心平分③180°重合④对角线的交点 【例1】B【例2】C 1.A2.D3.W13 4.解：(1)如图①，△DCB即为所求.(2)如图②，四边形A'B'C'D'即为所求， C 图① 图② 5.D6.B7.C8.12 9.解：(1)如图所示.(2)四边形BCB'C是平行四边形.理由如下：由中心对称的性质， 得OB=OB',OC=OC,.四边形BCB'C是平行四边形. B' B 10.解：(1)△ADC和△EDB成中心对称.(2)8(3)由(1)得BE=AC=3.∴.5-3< AE<5+3,即2<AE<8.DE=AD,∴.2<2AD8..1<AD<4. 11.解：(1)=(2)如图①，EF即为所求.(3)如图②，MN即为所求.（答案不唯一） 图① 图② 1.4 三角形的中位线定理 名师导学 ①中点②平行等于 【例】(1)证明：在△ABD中，E,H分别是AB,BD的中点，EH∥AD,EH= 之AD.同 理得FG/AD,FG=AD,∴EH/FG且EH=FG.四边形EFGH是平行四边形. 4 (2)解：由(I)得EF=HG,:AD=7,FG=EH=AD=子，在R△BDC中，∠BDC =90°，∠DBC=30°，CD=3,.BC=2CD=6.在△BDC中，：H,G是BD,CD的中点， :EF=HG=号BC=3.:四边形EFGH的周长为子×2+3×2=13. 1.B2.D3.B4.105.C6.C7.B8.C9.8 10.I)证明：D,E分别是AB,AC中点，DE∥BC,DE=号BC.CF=名BC, .DE=CF.(2)解：由(1)知，DE∥BC,DE=CF,四边形DEFC是平行四边形.CD =EF.,D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，'.AD=BD=1,CD⊥AB,BC =2.∴EF=CD=√BC-BD=√3. 1山.解：DE∥BC,DE=2BC证明如下：过点C作CF∥AB,与DE的延长线交于点 F,∴∠ADE=∠F.,D,E分别是AB,AC的中点，.BD=AD,AE=CE.在△ADE和 (∠ADE=∠F, △CFE中，∠AED=∠CEF,△ADE≌△CFE(角角边)..AD=CF,DE=EF= AE=CE, 之DP.CF∥BD,BD=CR.∴四边形DBCF是平行四边形.DF∥BC,DF-BC又 DE-DF,:.DE/BC,DE-BC. 专题三构造三角形中位线的四种常用技巧 1.B2.号3.C【变式题16【变式题274.C5.46B 7.1<EF≤4【变式题】号 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 名师导学 ①直②直相等相等且互相平分③对角线的交点 【例】(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.AD=BC,CD=AB,∠A=∠B=90°.，E是 AD-BC, AB的中点，∴AE=BE.在△ADE和△BCE中，∠A=∠B,∴.△ADE≌△BCE(边角 AE=BE, 边).(2)解：由(1)知△ADE≌△BCE,.DE=CE.在Rt△ADE中，AD=4,AE= 号AB=3,由勾股定理，得DE=√AD+AE=5,∴△CDE的周长为DE+CE牛CD =2DE+AB=16. 1.C2.B3.C4.25.45 6.解：：∠AOD=120°，.∠AOB=180°-∠AOD=60°.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB..·△AOB是等边三角形.∴.OA=OB=AB=2. ,BD=AC=2OA=4..BC=√AC-AB=2W3.∴.S地形Bcm=AB·BC=2X2V3=4V3. 7.B8.45°9.910.15° 11.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠B=∠ADC=90°..∠AEB= ∠DAF.又DF⊥AE,∠DFA=90°=∠B.又·AD=AE,.△ADF≌△EAB(角角 边).∴.DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA=90°，∴.∠DAF+∠ADF=90°.：∠ADC= 90°，即∠ADF+∠FDC=90°，∴∠DAF=∠FDC=30°..在Rt△ADF中，AD= 2DF.由(1)知DF=AB,∴.AD=2AB=8. 12.(1)证明：四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，.MN∥BC∥ AD.∴.∠CBN=∠MNB.∠PNB=3∠CBN,∴.∠PNM=2∠CBN.(2)解：连接 AN.易得∠ANM=∠MNB.·AD∥MN∥BC,∴.∠PAN=∠ANM,∠CBN= ∠MNB.∴.∠ANM=∠CBN.∴∠PNM=2∠CBN=2∠ANM.∴∠ANM=∠ANP. ∠PAN=∠ANP.∴AP=PN.CD=AB=4,M,N分别为AB,CD的中点，∴.DN =2.设PN=AP=x,则PD=6-x.在Rt△PDN中，PD2+DN=PN,.(6-x)2 -5 十2=，解得x=号AP=碧 专题四矩形中的折叠问题 1.B 2.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC.∠DAC=∠ACB.由折叠的性质， 得∠ACB=∠ACE,∠DAC=∠ACE..AE=CE.∴·△ACE是等腰三角形.(2)解： 四边形ABCD是矩形，.AD=BC=16,CD=AB=8,∠D=90°.：CE=AE,DE= AD-AE=16-AE,.在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即AE2=(16-AE)2十82. AE-10.Sm-AE.CD-X10X8-40. 3.A4.√25.9或25 6.解：(I)由折叠的性质，得∠DEF=∠BEF.:四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠ABC=90°.∴.∠DEF=∠BFE=∠BEF,∠EBF=∠ABC-∠ABE=72°..∠BFE =号(180-∠EBFP)=54.2)设AE=x,则BE=DE=8-x,在R△ABE中，AE+ AB=BE,即2+62=(8-，解得x=子∴AE=子 1.5.2矩形的判定 名师导学 ①直角②直角③相等 【例1】证明：AB=AC,AD是△ABC的中线，AD⊥BC,∠CAD=号∠BAC ∴∠ADC=90.:AN平分∠CAM,∠CAN=号∠CAM.∠DAE=∠CAD+ ∠CAN=2(ZBAC+∠CAM=合X180=90.:CE∥AD,∠AEC=180°- ∠DAE=90°.∴.∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.∴.四边形ADCE是矩形. 【例2】C 1.C2.12 3.证明：AB∥CD,∠BAD=90°，.∠D=180°-∠BAD=90°.在△ABC中，AB=5, BC=12,AC=13,.AB2+BC=AC.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∠BAD =∠D=∠B=90°.∴.四边形ABCD是矩形. 4.AC=BD(答案不唯一) 5.证明：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.∠AOB=∠OAD十 ∠ADO=2∠OAD,∠OAD=∠ADO.∴.OA=OD.∴AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形 6.D7.A 8.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：：四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC, AB=DC, AB=DC.∠A+∠D=180.在△ABM和△DCM中，∠1=∠2，.△ABM≌ BM-CM, △DCM(边角边).∴∠A=∠D=90..□ABCD为矩形. 9.证明：(1)CE∥BF,∴∠BFD=∠CED.D是边BC的中点，BD=CD. ∠BDF=∠CDE,△BDF≌△CDE(角角边).(2)由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF =DE=之EF,又：BD=CD,∴四边形BFCE是平行四边形.：DE=合BC,EF= BC.∴.四边形BFCE是矩形. 10.解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下：由折叠的性质可知∠AFE=∠EFK, ∠BFG=∠KFG.∴.∠EFG-∠EFK+∠KFG=(∠AFK+∠BFK)=9O.同理可 得∠FGH=∠EHG=90°.∴.四边形EFGH是矩形.(2)如图，点M即为所求. 6