1.2.1 第2课时 平行四边形的对角线的性质&专题2 过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

第2课时 【名师导学 ·预习先知 同新知梳理 平行四边形的对角线互相 例题引路 【例1】如图，□ABCD的对角线AC, BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分 别交边AB,CD于点E,F,连接AF, CE.若AE=13,OA=12. (1)求EF的长； (2)求□ABCD的边AB上的高. 【学生解答】 刻易错典例 【例2】如图，在口ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,分别过点A,C作 BD的垂线，垂足分别为E,F,则图中 共有全等三角形 R A.5对B.6对C.7对D.8对 【易错剖析】考虑问题不全面致错. 【学生解答】 平行四边形的对角线的性质 基础过关 ●●●逐点击破 知识点平行四边形的对角线的性质 1.在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.若OA=4, 则AC的长为 ( ) A.4 B.8 C.12 D.6 2.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,则下列 结论正确的是 ( A.ACBD B.OA=OC C.AC=BD D.OA=OD 4 (第2题图) (第3题图) 3.(教材P11例3变式)（张家界永定区期末）如图，在 □ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.若AB=12, AC=16,BD=20,则△OCD的周长为 () A.18 B.24 C.30 D.36 4.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.若 △AOB的面积为3，则口ABCD的面积为 D R (第4题图) (第5题图) 5.(湘西期未)如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点 O,AB⊥AC.若BD=10,AC=6,则CD的长是 6.如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O,点M,N在 对角线AC上，且AM=CN.求证：BM∥DN. 第1章四边形8 口能力提升 ◆>、整合运用 7.已知口ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,若AC=6,BD=8,则AB的长可能是 ( A.10 B.8 C.7 D.6 8.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O, 过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F. 若口ABCD的面积为80，则图中阴影部分的 面积是 A.40 B.41 C.42 D.43 D (第8题图) (第9题图) 9.(邵阳大祥区期末)如图，在口ABCD中，对 角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD,交AD 于点E,连接BE.若△ABE的周长为15，则 □ABCD的周长为 10.如图，四边形ABCD是平行四边形，E,F 是对角线BD上的点，∠1=∠2. (1)若∠ADC=60°，则∠BAD的度数为 (2)求证：DE=BF 9数学八年级下册配版 【思维拓展 ,强化素养 11.已知口ABCD的对角线交于点O,分别过 点A,C作直线l的垂线，垂足为E,F,连接 OE,OF. (1)如图①，若直线1恰好经过点O,试判断 线段OE与OF的数量关系并证明； (2)如图②，若直线1不经过点O,试判断 (1)中的结论是否仍然成立，若成立，请 给出证明；若不成立，请说明理由 图① 图② 专题二过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积模型 【回归教材】 类型1过平行四边形对角线交点的直线问题 类型2与平行四边形相关的常见面积问题 模型：过平行四边形对角线 常见面积模型： 交点的任意一条直线都被 该点平分，如图所示 S=S2=S=S S=S.S=SS=S 1.(教材P11例4原题呈现)如图，在□ABCD S+S:+S;=S;+S,t 中，对角线AC与BD相交于点O,过点O作 一条直线MN,分别交AD,BC于点M,N. 求证：点O是线段MN的中点. S1+S2 S1+S3=S2十 2.(张家界永定区期中)如图，P是□ABCD的 边AB上任意一点，设△APD的面积为S1, △BPC的面积为S2,△CDP的面积为S3, 则5专三的值为 (第2题图) (第3题图) 3.(教材P18习题T7变式)（娄底期末）如图， 【变式题1】如图，口ABCD的对角线AC和 在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, BD相交于点O,EF过点O且与BA,DC的 EF过点O,交AD于点F,交BC于点E.若 延长线分别相交于点E,F,AC=6,△AEO AB=6,AC=8,AD=10,则图中阴影部分的 的周长为10，则CF+OF的值为 面积是 4.如图，在□ABCD中，O是BD的中点，EF 过点O.有下列结论：①AB∥CD;②OE= DE;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDoF, 其中正确的是 .(填序号) (变式题1图) (变式题2图) 【变式题2】如图，□ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,直线EF过点O且与直线AB, CD相交于点E,F,□ABCD的面积为20， CD=10,BC-6,在直线EF绕点O旋转的过 程中，线段EF长的最小值为 第1章四边形10参考答案 第1章四边形 1.1多边形 第1课时多边形及其内角和 名师导学 ①多边形边对角线内角相等相等②(n一2)·180° 【例1】36°【例2】D 1.C2.A3.84.C5.七6.205 7.解：(1)根据图形可知，x=360一150一90一70=50.(2)根据图形可知，x十(x十30)十 60+x十(x-10)=(5-2)×180,解得x=115. 8.C9.C10.45° 11.解：延长AB,CD交于点G.AE⊥EC,.∠E=90°..∠G=360°-（∠A+∠E+ ∠C)=38°≠40°.∴.该模板不合格. 12.解：(1)①BE∥AD,∠ABE=180°-∠A=30°.BE平分∠ABC,.∠ABC= 2∠ABE=60°..∠C=360°-（∠A+∠D+∠ABC)=70°.②，∠A+∠D+∠ABC+ ∠BCD=360°，.∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D)=130°.，∠ABC和∠BCD的 平分线交于点P,∠PBC=合∠ABC,∠PCB=号∠BCD.·∠PBC+∠PCB (∠ABC+∠BCD)=65.·∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=15.(2)∠P= 2(∠A+∠B+∠E)-90P 第2课时多边形的外角和 名师导学 ①360°②不稳定 【例1】解：∠C=110°，∴.与∠C相邻的外角的度数为180°-110°=70°.∴∠a=360° -120°-120°-70°=50°. 【例2】解：(1)设这个正多边形的边数是n.根据题意，得(n一2)·180°=360°十720°，解 得n=8.∴这个正多边形的边数为8.(2)这个正八边形的内角和为(8-2)×180°= 1080°，.这个正八边形每个内角的度数为1080°÷8=135°. 1.C2.D3.94.2859 5.解：设这个多边形的一个外角为a,则其相邻内角为3a十20°.由题意，得(3a十20)+a =180,解得。=40.∴这个多边形的边数为肥-9。 6.四边形的不稳定性7.B8.B9.A10.D11.6 12.解：(1)所经过的路线正好构成一个外角是15的正多边形，.360°÷15°=24,5× 24=120(m).答：小明一共走了120m.(2)(24-2)×180°=3960°.答：这个多边形的内 角和是3960°. 13.解：(1)，多边形的内角和是180°的正整数倍，而2200°不是180°的整数倍，∴.小明 说不可能.(2)，2200°÷180°=12…40°，.多加的一个外角是40°.12十2=14， 2200°-40°=2160°，.小华求的是十四边形的内角和，内角和是2160°，多加的那个外 角是40°. 1.2平行四边形 1.2.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 名师导学 ①平行②平行不平行公垂线段相等直角③相等④相等 【例】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC.∠D=∠ECF. ∠D=∠ECF, 在△ADE和△FCE中，DE=CE, ∴.△ADE≌△FCE(角边角).(2)解：108° ∠AED=∠FEC, 1.B2.C3.110°4.A5.D6.60 7.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD.∴∠BAE=∠DCF.在 (AB=CD, △ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF,∴.△ABE≌△CDF(边角边).∴.BE=DF. AE=CF, 8.D9.D10.C11.D12.(1)45°(2)3√2-1 13.解：(1)6(2)，四边形ABCD与四边形DCFE是平行四边形，∠BAD=60°，∠F =110°，.∠ADC=180°-∠BAD=120°，∠CDE=∠F=110°..∠ADE=360°- ∠ADC-∠CDE=l30°.□ABCD与□DCFE的周长相等，∴.AD=DE..∠DAE= 2(180°-∠ADE)=25. 14.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD.∴.∠CDE=∠F.,DF平分 ∠ADC,∴∠ADE=∠CDE..∠F=∠ADE.AD=AF.(2)解：过点D作DH⊥ AF,交FA的延长线于点H.AF=AD=6,AB=3,BF=AF-AB=3.,∠BAD =120°，∠DAH=60.∴∠ADH=30.AH=号AD=3.DH=VAD-AF- 3V3.∴SaAe=2AF·DH=9V3. 专题一平行四边形与角平分线结合的有关问题 1.B2.B3.304.2【变式题1】4或2【变式题2】2或14 5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠ABC+∠BCD=180°. :∠ABC,∠BCD的平分线交于边AB上的点E处，∠CBE=∠ABE=号∠ABC, ∠BCE=∠DCE=号∠BCD.·∠CBE+∠BCE=(∠ABC+∠IBCD=9o ∠BEC=90°.BE⊥CE.(2)解：，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=√3， AD=BC,AD∥BC.·∠AEB=∠CBE=∠ABE,∠DEC=∠BCE=∠DCE.∴.AE= AB=W3,DE=CD=W3.∴.BC=AD=AE+DE=2√3.在Rt△BCE中，CE= √/BC2-BE=3. 第2课时平行四边形的对角线的性质 名师导学 平分 【例1】解：(1)，EF⊥AC,AE=13,OA=12,.OE=√AE2-OA2=5.四边形ABCD 是平行四边形，∴.OD=OB,CD∥AB.∴.∠FDO=∠EBO.又，∠FOD=∠EOB, ∴.△FDO≌△EBO(角边角)..OF=OE.∴.EF=2OE=10.(2)过点F作FH⊥AB于 点H.:Swe=2AE·FH=号EF·0A,即2×13XFH=合×10X12,∴FH= 器口ABCD边AB上的高为器 .120 【例2】C 1.B2.B3.C4.125.4 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.AM=CN,.OA- OB=OD, AM=OC-CN,即OM=ON.在△BOM和△DON中，J∠BOM=∠DON,,',△BOM OM=ON, ≌△DON(边角边)..∠OBM=∠ODN..BM∥DN. 7.D8.A9.30 10.(1)解：120°(2)证明：连接AC,交BD于点O.,四边形ABCD是平行四边形， ∠1=∠2， .OA=OC,OB=OD.在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF OA=OC, (角角边)..OE=OF..OE+OD=OF+OB,即DE=BF. 11.解：(1)OE=OF.证明如下：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.,AE⊥ ∠AEO=∠CFO, EF,CF⊥EF,.∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中，∠AOE=∠COF, OA=OC, .△AEO≌△CFO(角角边)..OE=OF.(2)成立.证明如下：延长FO,交AE于点G. AE⊥EF,CF⊥EF,.AE∥CF.∠GAO=∠FCO.在△AGO和△CFO中， ∠GAO=∠FCO, OA=OC, .△AGO2△CFO(角边角)..OG=OF..O为FG的中点.又 ∠AOG=∠COF, 2 ,∠AEF=90°，.OE=OF 专题二过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积模型【回归教材】 1.证明：：AC与BD是□ABCD的对角线，且相交于点O,∴.OA=OC.AD∥BC, .∠MAO=∠NCO.又.∠AOM=∠CON,.∴.△AOM≌△CON(角边角)..OM ON.∴.点O是线段MN的中点. 【变式题1】7【变式题2】2 2.13.124.①③④ 1.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 名师导学 ①平行相等②相等 【例1】证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD.,.∠ABF= ∠ABF=∠CDE, ∠CDE.在△ABF和△CDE中，AB=CD, .△ABF≌△CDE(角边角). ∠BAF=∠DCE, ∴.AF=CE.(2)由(1)得△ABF≌△CDE,.AF=CE,∠AFB=∠CED.∴.AF∥CE .四边形AECF为平行四边形. 【例2】C 1.平行四边2.D 3.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD.E,F分别是边AB, CD的中点，AE=之AB,CF=合CD.AE=CR.四边形ABCF是平行四边形. ∴.AF=CE 4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5.证明：.AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中， (AD=CB:R△ABD2Rt△CDB(斜边、直角边).∴AB=CD.又：AD=BC,四边 BD-=DB, 形ABCD是平行四边形. 6.C7.D 8.解：(1)①证明：，∠B=∠AED,∴.DE∥BC.,AB∥CD,.四边形BCDE为平行 四边形.②证明：，AE=BE,AE=CD,∴.CD=BE.,AB∥CD,.四边形BCDE为 平行四边形.（任选一种即可）(2)由(1)得DE=BC=10,,AD⊥AB,AD=8,∴.AE= √DE2-AD2=6. 9.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠ADB=∠CBD.BE=DF, ,BE+EF=DF+EF,即BF=DE.又，BN=DM,△BNE≌△DMF(边角边)， △BFN≌△DEM(边角边).∴.NE=MF,NF=ME..四边形MENF是平行四边形. 10.解：(1)6一t2t8-2t或2t-8(2).AD∥BC,∴.当PD=QE时，以P,Q,E,D 为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况讨论：当点Q在点E右侧，即0<t<4时， 则6一t=8一2t,解得t=2;当点Q在点E左侧，即4<t<6时，则6一t=2t一8，解得t= 兰综上所述，当=2或=考时，以点P,Q,ED为顶点的四边形是平行四边形. 第2课时平行四边形的判定定理3 名师导学 ①互相平分②分别相等 【例】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠OAF=∠OCE.在 f∠OAF=∠OCE, △AOF和△COE中，OA=OC, ,.△AOF≌△COE(角边角).(2)解：四边形 ∠AOF=∠COE, AECF是平行四边形.理由如下：由(1)知△AOF≌△COE,.OF=OE.,OA=OC, .四边形AECF是平行四边形. 1.A2.OB=OD(答案不唯一) (∠ADO=∠CEO, 3.证明：CE∥AB,.∠ADE=∠CED.在△AOD和△COE中，∠AOD=∠COE, OA=OC, ∴.△AOD≌△COE(角角边)..OD=OE.又，OA=OC,∴.四边形ADCE是平行四边形. 3