1.3 中心对称和中心对称图形-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

4.B 5.解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：在四边形ABCD中，∠A=36°，∠B= 144°，∠C=36°，∴.∠A=∠C,∠D=360°-∠A-∠B-∠C=144°..∠B=∠D..四 边形ABCD是平行四边形. 6.C7.A8.120 I∠FAE=∠BCE, 9.(1)证明：AF∥BC,.∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中，AE=CE, ∠AEF=∠CEB, ∴△AEF≌△CEB(角边角).EF=BE..四边形ABCF是平行四边形.(2)解：四 边形ABCF是平行四边形，∴.BF=2EF=2,AB∥CF.∴∠CFB=∠ABD=90°.∴.CF ⊥BD.BC=CD,BD=2BF=4.∴AD=√AB2+BD=5. 10.解：(1)一理由如下：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC..OP=OQ, 四边形APCQ是平行四边形.二理由如下：连接AC,交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.DQ=BP,∴.OQ=OP.∴.四边形APCQ 是平行四边形.（任选其一即可）(2)如图，点Q即为所求.（答案不唯一） 1.3中心对称和中心对称图形 名师导学 ①180°对称中心②对称中心平分③180°重合④对角线的交点 【例1】B【例2】C 1.A2.D3.W13 4.解：(1)如图①，△DCB即为所求.(2)如图②，四边形A'B'C'D'即为所求， C 图① 图② 5.D6.B7.C8.12 9.解：(1)如图所示.(2)四边形BCB'C是平行四边形.理由如下：由中心对称的性质， 得OB=OB',OC=OC,.四边形BCB'C是平行四边形. B' B 10.解：(1)△ADC和△EDB成中心对称.(2)8(3)由(1)得BE=AC=3.∴.5-3< AE<5+3,即2<AE<8.DE=AD,∴.2<2AD8..1<AD<4. 11.解：(1)=(2)如图①，EF即为所求.(3)如图②，MN即为所求.（答案不唯一） 图① 图② 1.4 三角形的中位线定理 名师导学 ①中点②平行等于 【例】(1)证明：在△ABD中，E,H分别是AB,BD的中点，EH∥AD,EH= 之AD.同 理得FG/AD,FG=AD,∴EH/FG且EH=FG.四边形EFGH是平行四边形. 4 (2)解：由(I)得EF=HG,:AD=7,FG=EH=AD=子，在R△BDC中，∠BDC =90°，∠DBC=30°，CD=3,.BC=2CD=6.在△BDC中，：H,G是BD,CD的中点， :EF=HG=号BC=3.:四边形EFGH的周长为子×2+3×2=13. 1.B2.D3.B4.105.C6.C7.B8.C9.8 10.I)证明：D,E分别是AB,AC中点，DE∥BC,DE=号BC.CF=名BC, .DE=CF.(2)解：由(1)知，DE∥BC,DE=CF,四边形DEFC是平行四边形.CD =EF.,D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，'.AD=BD=1,CD⊥AB,BC =2.∴EF=CD=√BC-BD=√3. 1山.解：DE∥BC,DE=2BC证明如下：过点C作CF∥AB,与DE的延长线交于点 F,∴∠ADE=∠F.,D,E分别是AB,AC的中点，.BD=AD,AE=CE.在△ADE和 (∠ADE=∠F, △CFE中，∠AED=∠CEF,△ADE≌△CFE(角角边)..AD=CF,DE=EF= AE=CE, 之DP.CF∥BD,BD=CR.∴四边形DBCF是平行四边形.DF∥BC,DF-BC又 DE-DF,:.DE/BC,DE-BC. 专题三构造三角形中位线的四种常用技巧 1.B2.号3.C【变式题16【变式题274.C5.46B 7.1<EF≤4【变式题】号 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 名师导学 ①直②直相等相等且互相平分③对角线的交点 【例】(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.AD=BC,CD=AB,∠A=∠B=90°.，E是 AD-BC, AB的中点，∴AE=BE.在△ADE和△BCE中，∠A=∠B,∴.△ADE≌△BCE(边角 AE=BE, 边).(2)解：由(1)知△ADE≌△BCE,.DE=CE.在Rt△ADE中，AD=4,AE= 号AB=3,由勾股定理，得DE=√AD+AE=5,∴△CDE的周长为DE+CE牛CD =2DE+AB=16. 1.C2.B3.C4.25.45 6.解：：∠AOD=120°，.∠AOB=180°-∠AOD=60°.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB..·△AOB是等边三角形.∴.OA=OB=AB=2. ,BD=AC=2OA=4..BC=√AC-AB=2W3.∴.S地形Bcm=AB·BC=2X2V3=4V3. 7.B8.45°9.910.15° 11.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠B=∠ADC=90°..∠AEB= ∠DAF.又DF⊥AE,∠DFA=90°=∠B.又·AD=AE,.△ADF≌△EAB(角角 边).∴.DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA=90°，∴.∠DAF+∠ADF=90°.：∠ADC= 90°，即∠ADF+∠FDC=90°，∴∠DAF=∠FDC=30°..在Rt△ADF中，AD= 2DF.由(1)知DF=AB,∴.AD=2AB=8. 12.(1)证明：四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，.MN∥BC∥ AD.∴.∠CBN=∠MNB.∠PNB=3∠CBN,∴.∠PNM=2∠CBN.(2)解：连接 AN.易得∠ANM=∠MNB.·AD∥MN∥BC,∴.∠PAN=∠ANM,∠CBN= ∠MNB.∴.∠ANM=∠CBN.∴∠PNM=2∠CBN=2∠ANM.∴∠ANM=∠ANP. ∠PAN=∠ANP.∴AP=PN.CD=AB=4,M,N分别为AB,CD的中点，∴.DN =2.设PN=AP=x,则PD=6-x.在Rt△PDN中，PD2+DN=PN,.(6-x)2 -5 十2=，解得x=号AP=碧 专题四矩形中的折叠问题 1.B 2.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC.∠DAC=∠ACB.由折叠的性质， 得∠ACB=∠ACE,∠DAC=∠ACE..AE=CE.∴·△ACE是等腰三角形.(2)解： 四边形ABCD是矩形，.AD=BC=16,CD=AB=8,∠D=90°.：CE=AE,DE= AD-AE=16-AE,.在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即AE2=(16-AE)2十82. AE-10.Sm-AE.CD-X10X8-40. 3.A4.√25.9或25 6.解：(I)由折叠的性质，得∠DEF=∠BEF.:四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠ABC=90°.∴.∠DEF=∠BFE=∠BEF,∠EBF=∠ABC-∠ABE=72°..∠BFE =号(180-∠EBFP)=54.2)设AE=x,则BE=DE=8-x,在R△ABE中，AE+ AB=BE,即2+62=(8-，解得x=子∴AE=子 1.5.2矩形的判定 名师导学 ①直角②直角③相等 【例1】证明：AB=AC,AD是△ABC的中线，AD⊥BC,∠CAD=号∠BAC ∴∠ADC=90.:AN平分∠CAM,∠CAN=号∠CAM.∠DAE=∠CAD+ ∠CAN=2(ZBAC+∠CAM=合X180=90.:CE∥AD,∠AEC=180°- ∠DAE=90°.∴.∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.∴.四边形ADCE是矩形. 【例2】C 1.C2.12 3.证明：AB∥CD,∠BAD=90°，.∠D=180°-∠BAD=90°.在△ABC中，AB=5, BC=12,AC=13,.AB2+BC=AC.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∠BAD =∠D=∠B=90°.∴.四边形ABCD是矩形. 4.AC=BD(答案不唯一) 5.证明：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.∠AOB=∠OAD十 ∠ADO=2∠OAD,∠OAD=∠ADO.∴.OA=OD.∴AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形 6.D7.A 8.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：：四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC, AB=DC, AB=DC.∠A+∠D=180.在△ABM和△DCM中，∠1=∠2，.△ABM≌ BM-CM, △DCM(边角边).∴∠A=∠D=90..□ABCD为矩形. 9.证明：(1)CE∥BF,∴∠BFD=∠CED.D是边BC的中点，BD=CD. ∠BDF=∠CDE,△BDF≌△CDE(角角边).(2)由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF =DE=之EF,又：BD=CD,∴四边形BFCE是平行四边形.：DE=合BC,EF= BC.∴.四边形BFCE是矩形. 10.解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下：由折叠的性质可知∠AFE=∠EFK, ∠BFG=∠KFG.∴.∠EFG-∠EFK+∠KFG=(∠AFK+∠BFK)=9O.同理可 得∠FGH=∠EHG=90°.∴.四边形EFGH是矩形.(2)如图，点M即为所求. 61.3 ·名师导学 ·预习先知 新知梳理 ①在平面内，把一个图形绕一个点旋转 ,得到另一个图形，我们把图 形的这种变换称为关于这个点中心 对称，这个点成为 ②成中心对称的两个图形中，对应点的 连线经过 ,且被对称中 心 ③如果一个图形绕一个点旋转 ,所 得到的像与原来的图形互相 那么这个图形叫作中心对称图形，这个 点叫作图形的对称中心. ④平行四边形是中心对称图形， 是它的对称中心 ☑例题引路 【例1】下列生态环保标志中，是中心对 称图形的是 【学生解答】 团易错典例 【例2】如图所示的4组图形中，左边图 形与右边图形成中心对称的有( 96 55225 ③ A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【易错剖析】观察两个图形是否成中心 对称，要看它们的对应点是否交于一 ,点，且其中一个图形绕此，点旋转180°后 是否与另一图形重合】 【学生解答】 15数学八年级下册配XⅪ版 中心对称和中心对称图形 『基础过关 ●●◆逐点击破 知识点1中心对称的概念、性质及作图 1.下列图形中，△AB'C与△ABC成中心对称的是( 2.如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，下列结 论不成立的是 () A.OC=OC' B.OA=OA' C.BC=B'C' D.∠ABC=∠A'C'B B B B (第2题图) （第3题图) 3.如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB=3, AC=1,∠D=90°，连接AE,则AE的长为 4.(教材P21练习T2变式)按要求画出图形， (1)如图①，O是BC的中点，画出△ABC关于点O成中 心对称的图形； (2)如图②，已知四边形ABCD和点O,画出四边形 ABCD关于点O成中心对称的图形 图① 图② 知识点2中心对称图形 5.(山西中考)科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新 质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌 图标中，为中心对称图形的是 6.(长沙中考)下列图形中，既是轴对称图形又 是中心对称图形的是 口能力提升 >◆◆整合运用 7.图①和图②中所有的小正方形都全等，将图 ①的正方形放在图②中①②③④的某一位 置，使它与原来？个小正方形组成的图形是 中心对称图形，这个位置是 ( ) A.① B.② C.③ D.④ ① ② ③ ④ 图① 图② A D (第7题图) (第8题图) 8.如图，直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于 点O成中心对称，点A的对称点是点A', AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=4, OD=3,则阴影部分的面积之和为 9.(教材P21练习T1变式)如图，△ABC与 △A'B'C'关于点O成中心对称，但点O不慎 被涂掉了 (1)请你找到对称中心点O的位置； (2)连接线段BC和线段B'C,试判断四边形 BCB'C的形状，并说明理由. 10.如图，D是△ABC的边BC的中点，连接 AD并延长到点E,使DE=AD,连接BE (1)哪两个图形成中心对称？ (2)如果△ADC的面积为4，那么△ABE 的面积为 (3)已知AB=5,AC=3,求AD的取值范围. ·思维拓展 ♪◆强化素养 11.主题探究新趋势知识背景：过中心对称图 形的对称中心的任意一条直线都将其分成 全等的两个部分， (1)如图①，直线EF经过 口ABCD对角线的交 点O,则S四边形AEFB S四边形DEFC； 图① (填“>”“<”或“=”) (2)如图②，点P在口ABCD内，过点P作 直线EF,使其将口ABCD分成面积相 等的两部分； (3)某校“劳动角”的一块空地如图③所示，其 中AB∥EF∥CD,AF∥DE∥BC,现要用 一条直线将其等分成两块地种植不同品 种的花卉，请你画出两块地的分界线。 图② 图③ 第1章四边形16