1.2.2 第2课时 平行四边形的判定定理3-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

第2课时 【名师导学 >预习先知 同新知梳理 ①对角线 的四边形是平行 四边形. ②两组对角 的四边形是平 行四边形. ☑例题引路 【例】如图，在□ABCD中，点E,F分别 在BC,AD上，AC与EF相交于点O, 且OA=OC. (1)求证：△AOF≌△COE. (2)连接AE,CF,四边形AECF是否为 平行四边形？并说明理由， 【学生解答】 13数学八年级下册配灯版 平行四边形的判定定理3 基础过关 ◆·。逐点击破 知识点1对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.（永州零陵区期末)如图，在下列给出的条件中，不能判 定四边形ABCD为平行四边形的是 A.AB∥CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD C.OA=OC,OD=OB D.AB=CD,BC=AD (第1题图) (第2题图) 2.半开放性题新趋势如图，四边形ABCD中，OA=OC,要 使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是： .(填一个即可) 3.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB,DE交 AC于点O,且OA=OC,连接AE.求证：四边形ADCE是 平行四边形. 知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4.下列给出的四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数 之比，其中能够判定四边形ABCD是平行四边形的是 () A.1:2:3:4 B.2:3:2:3 C.2:2:3:4 D.1:2:2:1 5.在四边形ABCD中，∠A=36°，∠B=144°，∠C=36°， 四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由. 能力提升 ◆>、整合运用 6.如图，在四边形ABCD中，AC,BD交于点 O,且OA=OC.添加下列条件后，仍不能判 定四边形ABCD是平行四边形的是( A.AB∥CD B.BC∥AD C.AB=AD D.OB=OD 7.如图，在△ABC中，AB=AC=5,点E,F,D 分别在边AC,BC,AB上.若∠A=∠DFE, ∠ADF=∠AEF,则四边形AEFD的周 长是 ( A.10 B.15 C.18 D.20 B F (第7题图) (第8题图) 8.如图，在四边形ABCD中，AD=12,对角线AC, BD交于点O,∠ADB=90°，OD=OB=5,AC= 26,则四边形ABCD的面积为 9.如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点 E,AE=CE,点F在BD上，连接AF,CF, AF∥BC. (1)求证：四边形ABCF是平行四边形； (2)若BC=CD,∠ABD=90°，AB=3,EF= 1,求AD的长. 思维拓展 ♪◆强化素养 10.动手操作新趋势（教材P16例7变式）如 图，在□ABCD中，AP⊥BD于点P.请用 尺规作图在BD上求作一点Q,连接AQ, CQ,PC,使四边形APCQ是平行四边形. (1)某数学小组经过讨论，得到如下两种作 法，请选择其中一种作法说明其正确性。 作法一 作法二 连接AC交BD于 在BD上作DQ= 作图 点O,在OD上作 BP,则点Q即为 步骤 OQ=OP,则点Q 所求 即为所求 作图 痕迹 我选择作法 ,请说明理由. (2)请你用不同于(1)中的尺规作图法求作 出点Q.(保留作图痕迹，不写作法) 提示 请完成阶段搬测试（一）[1.1~1.2] 第1章四边形14参考答案 第1章四边形 1.1多边形 第1课时多边形及其内角和 名师导学 ①多边形边对角线内角相等相等②(n一2)·180° 【例1】36°【例2】D 1.C2.A3.84.C5.七6.205 7.解：(1)根据图形可知，x=360一150一90一70=50.(2)根据图形可知，x十(x十30)十 60+x十(x-10)=(5-2)×180,解得x=115. 8.C9.C10.45° 11.解：延长AB,CD交于点G.AE⊥EC,.∠E=90°..∠G=360°-（∠A+∠E+ ∠C)=38°≠40°.∴.该模板不合格. 12.解：(1)①BE∥AD,∠ABE=180°-∠A=30°.BE平分∠ABC,.∠ABC= 2∠ABE=60°..∠C=360°-（∠A+∠D+∠ABC)=70°.②，∠A+∠D+∠ABC+ ∠BCD=360°，.∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D)=130°.，∠ABC和∠BCD的 平分线交于点P,∠PBC=合∠ABC,∠PCB=号∠BCD.·∠PBC+∠PCB (∠ABC+∠BCD)=65.·∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=15.(2)∠P= 2(∠A+∠B+∠E)-90P 第2课时多边形的外角和 名师导学 ①360°②不稳定 【例1】解：∠C=110°，∴.与∠C相邻的外角的度数为180°-110°=70°.∴∠a=360° -120°-120°-70°=50°. 【例2】解：(1)设这个正多边形的边数是n.根据题意，得(n一2)·180°=360°十720°，解 得n=8.∴这个正多边形的边数为8.(2)这个正八边形的内角和为(8-2)×180°= 1080°，.这个正八边形每个内角的度数为1080°÷8=135°. 1.C2.D3.94.2859 5.解：设这个多边形的一个外角为a,则其相邻内角为3a十20°.由题意，得(3a十20)+a =180,解得。=40.∴这个多边形的边数为肥-9。 6.四边形的不稳定性7.B8.B9.A10.D11.6 12.解：(1)所经过的路线正好构成一个外角是15的正多边形，.360°÷15°=24,5× 24=120(m).答：小明一共走了120m.(2)(24-2)×180°=3960°.答：这个多边形的内 角和是3960°. 13.解：(1)，多边形的内角和是180°的正整数倍，而2200°不是180°的整数倍，∴.小明 说不可能.(2)，2200°÷180°=12…40°，.多加的一个外角是40°.12十2=14， 2200°-40°=2160°，.小华求的是十四边形的内角和，内角和是2160°，多加的那个外 角是40°. 1.2平行四边形 1.2.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 名师导学 ①平行②平行不平行公垂线段相等直角③相等④相等 【例】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC.∠D=∠ECF. ∠D=∠ECF, 在△ADE和△FCE中，DE=CE, ∴.△ADE≌△FCE(角边角).(2)解：108° ∠AED=∠FEC, 1.B2.C3.110°4.A5.D6.60 7.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD.∴∠BAE=∠DCF.在 (AB=CD, △ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF,∴.△ABE≌△CDF(边角边).∴.BE=DF. AE=CF, 8.D9.D10.C11.D12.(1)45°(2)3√2-1 13.解：(1)6(2)，四边形ABCD与四边形DCFE是平行四边形，∠BAD=60°，∠F =110°，.∠ADC=180°-∠BAD=120°，∠CDE=∠F=110°..∠ADE=360°- ∠ADC-∠CDE=l30°.□ABCD与□DCFE的周长相等，∴.AD=DE..∠DAE= 2(180°-∠ADE)=25. 14.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD.∴.∠CDE=∠F.,DF平分 ∠ADC,∴∠ADE=∠CDE..∠F=∠ADE.AD=AF.(2)解：过点D作DH⊥ AF,交FA的延长线于点H.AF=AD=6,AB=3,BF=AF-AB=3.,∠BAD =120°，∠DAH=60.∴∠ADH=30.AH=号AD=3.DH=VAD-AF- 3V3.∴SaAe=2AF·DH=9V3. 专题一平行四边形与角平分线结合的有关问题 1.B2.B3.304.2【变式题1】4或2【变式题2】2或14 5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠ABC+∠BCD=180°. :∠ABC,∠BCD的平分线交于边AB上的点E处，∠CBE=∠ABE=号∠ABC, ∠BCE=∠DCE=号∠BCD.·∠CBE+∠BCE=(∠ABC+∠IBCD=9o ∠BEC=90°.BE⊥CE.(2)解：，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=√3， AD=BC,AD∥BC.·∠AEB=∠CBE=∠ABE,∠DEC=∠BCE=∠DCE.∴.AE= AB=W3,DE=CD=W3.∴.BC=AD=AE+DE=2√3.在Rt△BCE中，CE= √/BC2-BE=3. 第2课时平行四边形的对角线的性质 名师导学 平分 【例1】解：(1)，EF⊥AC,AE=13,OA=12,.OE=√AE2-OA2=5.四边形ABCD 是平行四边形，∴.OD=OB,CD∥AB.∴.∠FDO=∠EBO.又，∠FOD=∠EOB, ∴.△FDO≌△EBO(角边角)..OF=OE.∴.EF=2OE=10.(2)过点F作FH⊥AB于 点H.:Swe=2AE·FH=号EF·0A,即2×13XFH=合×10X12,∴FH= 器口ABCD边AB上的高为器 .120 【例2】C 1.B2.B3.C4.125.4 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.AM=CN,.OA- OB=OD, AM=OC-CN,即OM=ON.在△BOM和△DON中，J∠BOM=∠DON,,',△BOM OM=ON, ≌△DON(边角边)..∠OBM=∠ODN..BM∥DN. 7.D8.A9.30 10.(1)解：120°(2)证明：连接AC,交BD于点O.,四边形ABCD是平行四边形， ∠1=∠2， .OA=OC,OB=OD.在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF OA=OC, (角角边)..OE=OF..OE+OD=OF+OB,即DE=BF. 11.解：(1)OE=OF.证明如下：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.,AE⊥ ∠AEO=∠CFO, EF,CF⊥EF,.∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中，∠AOE=∠COF, OA=OC, .△AEO≌△CFO(角角边)..OE=OF.(2)成立.证明如下：延长FO,交AE于点G. AE⊥EF,CF⊥EF,.AE∥CF.∠GAO=∠FCO.在△AGO和△CFO中， ∠GAO=∠FCO, OA=OC, .△AGO2△CFO(角边角)..OG=OF..O为FG的中点.又 ∠AOG=∠COF, 2 ,∠AEF=90°，.OE=OF 专题二过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积模型【回归教材】 1.证明：：AC与BD是□ABCD的对角线，且相交于点O,∴.OA=OC.AD∥BC, .∠MAO=∠NCO.又.∠AOM=∠CON,.∴.△AOM≌△CON(角边角)..OM ON.∴.点O是线段MN的中点. 【变式题1】7【变式题2】2 2.13.124.①③④ 1.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 名师导学 ①平行相等②相等 【例1】证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD.,.∠ABF= ∠ABF=∠CDE, ∠CDE.在△ABF和△CDE中，AB=CD, .△ABF≌△CDE(角边角). ∠BAF=∠DCE, ∴.AF=CE.(2)由(1)得△ABF≌△CDE,.AF=CE,∠AFB=∠CED.∴.AF∥CE .四边形AECF为平行四边形. 【例2】C 1.平行四边2.D 3.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD.E,F分别是边AB, CD的中点，AE=之AB,CF=合CD.AE=CR.四边形ABCF是平行四边形. ∴.AF=CE 4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5.证明：.AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中， (AD=CB:R△ABD2Rt△CDB(斜边、直角边).∴AB=CD.又：AD=BC,四边 BD-=DB, 形ABCD是平行四边形. 6.C7.D 8.解：(1)①证明：，∠B=∠AED,∴.DE∥BC.,AB∥CD,.四边形BCDE为平行 四边形.②证明：，AE=BE,AE=CD,∴.CD=BE.,AB∥CD,.四边形BCDE为 平行四边形.（任选一种即可）(2)由(1)得DE=BC=10,,AD⊥AB,AD=8,∴.AE= √DE2-AD2=6. 9.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠ADB=∠CBD.BE=DF, ,BE+EF=DF+EF,即BF=DE.又，BN=DM,△BNE≌△DMF(边角边)， △BFN≌△DEM(边角边).∴.NE=MF,NF=ME..四边形MENF是平行四边形. 10.解：(1)6一t2t8-2t或2t-8(2).AD∥BC,∴.当PD=QE时，以P,Q,E,D 为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况讨论：当点Q在点E右侧，即0<t<4时， 则6一t=8一2t,解得t=2;当点Q在点E左侧，即4<t<6时，则6一t=2t一8，解得t= 兰综上所述，当=2或=考时，以点P,Q,ED为顶点的四边形是平行四边形. 第2课时平行四边形的判定定理3 名师导学 ①互相平分②分别相等 【例】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠OAF=∠OCE.在 f∠OAF=∠OCE, △AOF和△COE中，OA=OC, ,.△AOF≌△COE(角边角).(2)解：四边形 ∠AOF=∠COE, AECF是平行四边形.理由如下：由(1)知△AOF≌△COE,.OF=OE.,OA=OC, .四边形AECF是平行四边形. 1.A2.OB=OD(答案不唯一) (∠ADO=∠CEO, 3.证明：CE∥AB,.∠ADE=∠CED.在△AOD和△COE中，∠AOD=∠COE, OA=OC, ∴.△AOD≌△COE(角角边)..OD=OE.又，OA=OC,∴.四边形ADCE是平行四边形. 3 4.B 5.解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：在四边形ABCD中，∠A=36°，∠B= 144°，∠C=36°，∴.∠A=∠C,∠D=360°-∠A-∠B-∠C=144°..∠B=∠D..四 边形ABCD是平行四边形. 6.C7.A8.120 I∠FAE=∠BCE, 9.(1)证明：AF∥BC,.∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中，AE=CE, ∠AEF=∠CEB, ∴△AEF≌△CEB(角边角).EF=BE..四边形ABCF是平行四边形.(2)解：四 边形ABCF是平行四边形，∴.BF=2EF=2,AB∥CF.∴∠CFB=∠ABD=90°.∴.CF ⊥BD.BC=CD,BD=2BF=4.∴AD=√AB2+BD=5. 10.解：(1)一理由如下：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC..OP=OQ, 四边形APCQ是平行四边形.二理由如下：连接AC,交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.DQ=BP,∴.OQ=OP.∴.四边形APCQ 是平行四边形.（任选其一即可）(2)如图，点Q即为所求.（答案不唯一） 1.3中心对称和中心对称图形 名师导学 ①180°对称中心②对称中心平分③180°重合④对角线的交点 【例1】B【例2】C 1.A2.D3.W13 4.解：(1)如图①，△DCB即为所求.(2)如图②，四边形A'B'C'D'即为所求， C 图① 图② 5.D6.B7.C8.12 9.解：(1)如图所示.(2)四边形BCB'C是平行四边形.理由如下：由中心对称的性质， 得OB=OB',OC=OC,.四边形BCB'C是平行四边形. B' B 10.解：(1)△ADC和△EDB成中心对称.(2)8(3)由(1)得BE=AC=3.∴.5-3< AE<5+3,即2<AE<8.DE=AD,∴.2<2AD8..1<AD<4. 11.解：(1)=(2)如图①，EF即为所求.(3)如图②，MN即为所求.（答案不唯一） 图① 图② 1.4 三角形的中位线定理 名师导学 ①中点②平行等于 【例】(1)证明：在△ABD中，E,H分别是AB,BD的中点，EH∥AD,EH= 之AD.同 理得FG/AD,FG=AD,∴EH/FG且EH=FG.四边形EFGH是平行四边形. 4 (2)解：由(I)得EF=HG,:AD=7,FG=EH=AD=子，在R△BDC中，∠BDC =90°，∠DBC=30°，CD=3,.BC=2CD=6.在△BDC中，：H,G是BD,CD的中点， :EF=HG=号BC=3.:四边形EFGH的周长为子×2+3×2=13. 1.B2.D3.B4.105.C6.C7.B8.C9.8 10.I)证明：D,E分别是AB,AC中点，DE∥BC,DE=号BC.CF=名BC, .DE=CF.(2)解：由(1)知，DE∥BC,DE=CF,四边形DEFC是平行四边形.CD =EF.,D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，'.AD=BD=1,CD⊥AB,BC =2.∴EF=CD=√BC-BD=√3. 1山.解：DE∥BC,DE=2BC证明如下：过点C作CF∥AB,与DE的延长线交于点 F,∴∠ADE=∠F.,D,E分别是AB,AC的中点，.BD=AD,AE=CE.在△ADE和 (∠ADE=∠F, △CFE中，∠AED=∠CEF,△ADE≌△CFE(角角边)..AD=CF,DE=EF= AE=CE, 之DP.CF∥BD,BD=CR.∴四边形DBCF是平行四边形.DF∥BC,DF-BC又 DE-DF,:.DE/BC,DE-BC. 专题三构造三角形中位线的四种常用技巧 1.B2.号3.C【变式题16【变式题274.C5.46B 7.1<EF≤4【变式题】号 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 名师导学 ①直②直相等相等且互相平分③对角线的交点 【例】(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.AD=BC,CD=AB,∠A=∠B=90°.，E是 AD-BC, AB的中点，∴AE=BE.在△ADE和△BCE中，∠A=∠B,∴.△ADE≌△BCE(边角 AE=BE, 边).(2)解：由(1)知△ADE≌△BCE,.DE=CE.在Rt△ADE中，AD=4,AE= 号AB=3,由勾股定理，得DE=√AD+AE=5,∴△CDE的周长为DE+CE牛CD =2DE+AB=16. 1.C2.B3.C4.25.45 6.解：：∠AOD=120°，.∠AOB=180°-∠AOD=60°.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB..·△AOB是等边三角形.∴.OA=OB=AB=2. ,BD=AC=2OA=4..BC=√AC-AB=2W3.∴.S地形Bcm=AB·BC=2X2V3=4V3. 7.B8.45°9.910.15° 11.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠B=∠ADC=90°..∠AEB= ∠DAF.又DF⊥AE,∠DFA=90°=∠B.又·AD=AE,.△ADF≌△EAB(角角 边).∴.DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA=90°，∴.∠DAF+∠ADF=90°.：∠ADC= 90°，即∠ADF+∠FDC=90°，∴∠DAF=∠FDC=30°..在Rt△ADF中，AD= 2DF.由(1)知DF=AB,∴.AD=2AB=8. 12.(1)证明：四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，.MN∥BC∥ AD.∴.∠CBN=∠MNB.∠PNB=3∠CBN,∴.∠PNM=2∠CBN.(2)解：连接 AN.易得∠ANM=∠MNB.·AD∥MN∥BC,∴.∠PAN=∠ANM,∠CBN= ∠MNB.∴.∠ANM=∠CBN.∴∠PNM=2∠CBN=2∠ANM.∴∠ANM=∠ANP. ∠PAN=∠ANP.∴AP=PN.CD=AB=4,M,N分别为AB,CD的中点，∴.DN =2.设PN=AP=x,则PD=6-x.在Rt△PDN中，PD2+DN=PN,.(6-x)2 -5 十2=，解得x=号AP=碧 专题四矩形中的折叠问题 1.B 2.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC.∠DAC=∠ACB.由折叠的性质， 得∠ACB=∠ACE,∠DAC=∠ACE..AE=CE.∴·△ACE是等腰三角形.(2)解： 四边形ABCD是矩形，.AD=BC=16,CD=AB=8,∠D=90°.：CE=AE,DE= AD-AE=16-AE,.在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即AE2=(16-AE)2十82. AE-10.Sm-AE.CD-X10X8-40. 3.A4.√25.9或25 6.解：(I)由折叠的性质，得∠DEF=∠BEF.:四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠ABC=90°.∴.∠DEF=∠BFE=∠BEF,∠EBF=∠ABC-∠ABE=72°..∠BFE =号(180-∠EBFP)=54.2)设AE=x,则BE=DE=8-x,在R△ABE中，AE+ AB=BE,即2+62=(8-，解得x=子∴AE=子 1.5.2矩形的判定 名师导学 ①直角②直角③相等 【例1】证明：AB=AC,AD是△ABC的中线，AD⊥BC,∠CAD=号∠BAC ∴∠ADC=90.:AN平分∠CAM,∠CAN=号∠CAM.∠DAE=∠CAD+ ∠CAN=2(ZBAC+∠CAM=合X180=90.:CE∥AD,∠AEC=180°- ∠DAE=90°.∴.∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.∴.四边形ADCE是矩形. 【例2】C 1.C2.12 3.证明：AB∥CD,∠BAD=90°，.∠D=180°-∠BAD=90°.在△ABC中，AB=5, BC=12,AC=13,.AB2+BC=AC.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∠BAD =∠D=∠B=90°.∴.四边形ABCD是矩形. 4.AC=BD(答案不唯一) 5.证明：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.∠AOB=∠OAD十 ∠ADO=2∠OAD,∠OAD=∠ADO.∴.OA=OD.∴AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形 6.D7.A 8.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：：四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC, AB=DC, AB=DC.∠A+∠D=180.在△ABM和△DCM中，∠1=∠2，.△ABM≌ BM-CM, △DCM(边角边).∴∠A=∠D=90..□ABCD为矩形. 9.证明：(1)CE∥BF,∴∠BFD=∠CED.D是边BC的中点，BD=CD. ∠BDF=∠CDE,△BDF≌△CDE(角角边).(2)由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF =DE=之EF,又：BD=CD,∴四边形BFCE是平行四边形.：DE=合BC,EF= BC.∴.四边形BFCE是矩形. 10.解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下：由折叠的性质可知∠AFE=∠EFK, ∠BFG=∠KFG.∴.∠EFG-∠EFK+∠KFG=(∠AFK+∠BFK)=9O.同理可 得∠FGH=∠EHG=90°.∴.四边形EFGH是矩形.(2)如图，点M即为所求. 6