1.2.1 第1课时 平行四边形边、角的性质&专题1 平行四边形与角平分线结合的有关问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

参考答案 第1章四边形 1.1多边形 第1课时多边形及其内角和 名师导学 ①多边形边对角线内角相等相等②(n一2)·180° 【例1】36°【例2】D 1.C2.A3.84.C5.七6.205 7.解：(1)根据图形可知，x=360一150一90一70=50.(2)根据图形可知，x十(x十30)十 60+x十(x-10)=(5-2)×180,解得x=115. 8.C9.C10.45° 11.解：延长AB,CD交于点G.AE⊥EC,.∠E=90°..∠G=360°-（∠A+∠E+ ∠C)=38°≠40°.∴.该模板不合格. 12.解：(1)①BE∥AD,∠ABE=180°-∠A=30°.BE平分∠ABC,.∠ABC= 2∠ABE=60°..∠C=360°-（∠A+∠D+∠ABC)=70°.②，∠A+∠D+∠ABC+ ∠BCD=360°，.∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D)=130°.，∠ABC和∠BCD的 平分线交于点P,∠PBC=合∠ABC,∠PCB=号∠BCD.·∠PBC+∠PCB (∠ABC+∠BCD)=65.·∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=15.(2)∠P= 2(∠A+∠B+∠E)-90P 第2课时多边形的外角和 名师导学 ①360°②不稳定 【例1】解：∠C=110°，∴.与∠C相邻的外角的度数为180°-110°=70°.∴∠a=360° -120°-120°-70°=50°. 【例2】解：(1)设这个正多边形的边数是n.根据题意，得(n一2)·180°=360°十720°，解 得n=8.∴这个正多边形的边数为8.(2)这个正八边形的内角和为(8-2)×180°= 1080°，.这个正八边形每个内角的度数为1080°÷8=135°. 1.C2.D3.94.2859 5.解：设这个多边形的一个外角为a,则其相邻内角为3a十20°.由题意，得(3a十20)+a =180,解得。=40.∴这个多边形的边数为肥-9。 6.四边形的不稳定性7.B8.B9.A10.D11.6 12.解：(1)所经过的路线正好构成一个外角是15的正多边形，.360°÷15°=24,5× 24=120(m).答：小明一共走了120m.(2)(24-2)×180°=3960°.答：这个多边形的内 角和是3960°. 13.解：(1)，多边形的内角和是180°的正整数倍，而2200°不是180°的整数倍，∴.小明 说不可能.(2)，2200°÷180°=12…40°，.多加的一个外角是40°.12十2=14， 2200°-40°=2160°，.小华求的是十四边形的内角和，内角和是2160°，多加的那个外 角是40°. 1.2平行四边形 1.2.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 名师导学 ①平行②平行不平行公垂线段相等直角③相等④相等 【例】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC.∠D=∠ECF. ∠D=∠ECF, 在△ADE和△FCE中，DE=CE, ∴.△ADE≌△FCE(角边角).(2)解：108° ∠AED=∠FEC, 1.B2.C3.110°4.A5.D6.60 7.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD.∴∠BAE=∠DCF.在 (AB=CD, △ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF,∴.△ABE≌△CDF(边角边).∴.BE=DF. AE=CF, 8.D9.D10.C11.D12.(1)45°(2)3√2-1 13.解：(1)6(2)，四边形ABCD与四边形DCFE是平行四边形，∠BAD=60°，∠F =110°，.∠ADC=180°-∠BAD=120°，∠CDE=∠F=110°..∠ADE=360°- ∠ADC-∠CDE=l30°.□ABCD与□DCFE的周长相等，∴.AD=DE..∠DAE= 2(180°-∠ADE)=25. 14.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD.∴.∠CDE=∠F.,DF平分 ∠ADC,∴∠ADE=∠CDE..∠F=∠ADE.AD=AF.(2)解：过点D作DH⊥ AF,交FA的延长线于点H.AF=AD=6,AB=3,BF=AF-AB=3.,∠BAD =120°，∠DAH=60.∴∠ADH=30.AH=号AD=3.DH=VAD-AF- 3V3.∴SaAe=2AF·DH=9V3. 专题一平行四边形与角平分线结合的有关问题 1.B2.B3.304.2【变式题1】4或2【变式题2】2或14 5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠ABC+∠BCD=180°. :∠ABC,∠BCD的平分线交于边AB上的点E处，∠CBE=∠ABE=号∠ABC, ∠BCE=∠DCE=号∠BCD.·∠CBE+∠BCE=(∠ABC+∠IBCD=9o ∠BEC=90°.BE⊥CE.(2)解：，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=√3， AD=BC,AD∥BC.·∠AEB=∠CBE=∠ABE,∠DEC=∠BCE=∠DCE.∴.AE= AB=W3,DE=CD=W3.∴.BC=AD=AE+DE=2√3.在Rt△BCE中，CE= √/BC2-BE=3. 第2课时平行四边形的对角线的性质 名师导学 平分 【例1】解：(1)，EF⊥AC,AE=13,OA=12,.OE=√AE2-OA2=5.四边形ABCD 是平行四边形，∴.OD=OB,CD∥AB.∴.∠FDO=∠EBO.又，∠FOD=∠EOB, ∴.△FDO≌△EBO(角边角)..OF=OE.∴.EF=2OE=10.(2)过点F作FH⊥AB于 点H.:Swe=2AE·FH=号EF·0A,即2×13XFH=合×10X12,∴FH= 器口ABCD边AB上的高为器 .120 【例2】C 1.B2.B3.C4.125.4 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.AM=CN,.OA- OB=OD, AM=OC-CN,即OM=ON.在△BOM和△DON中，J∠BOM=∠DON,,',△BOM OM=ON, ≌△DON(边角边)..∠OBM=∠ODN..BM∥DN. 7.D8.A9.30 10.(1)解：120°(2)证明：连接AC,交BD于点O.,四边形ABCD是平行四边形， ∠1=∠2， .OA=OC,OB=OD.在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF OA=OC, (角角边)..OE=OF..OE+OD=OF+OB,即DE=BF. 11.解：(1)OE=OF.证明如下：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.,AE⊥ ∠AEO=∠CFO, EF,CF⊥EF,.∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中，∠AOE=∠COF, OA=OC, .△AEO≌△CFO(角角边)..OE=OF.(2)成立.证明如下：延长FO,交AE于点G. AE⊥EF,CF⊥EF,.AE∥CF.∠GAO=∠FCO.在△AGO和△CFO中， ∠GAO=∠FCO, OA=OC, .△AGO2△CFO(角边角)..OG=OF..O为FG的中点.又 ∠AOG=∠COF, 2 ,∠AEF=90°，.OE=OF 专题二过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积模型【回归教材】 1.证明：：AC与BD是□ABCD的对角线，且相交于点O,∴.OA=OC.AD∥BC, .∠MAO=∠NCO.又.∠AOM=∠CON,.∴.△AOM≌△CON(角边角)..OM ON.∴.点O是线段MN的中点. 【变式题1】7【变式题2】2 2.13.124.①③④ 1.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 名师导学 ①平行相等②相等 【例1】证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD.,.∠ABF= ∠ABF=∠CDE, ∠CDE.在△ABF和△CDE中，AB=CD, .△ABF≌△CDE(角边角). ∠BAF=∠DCE, ∴.AF=CE.(2)由(1)得△ABF≌△CDE,.AF=CE,∠AFB=∠CED.∴.AF∥CE .四边形AECF为平行四边形. 【例2】C 1.平行四边2.D 3.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD.E,F分别是边AB, CD的中点，AE=之AB,CF=合CD.AE=CR.四边形ABCF是平行四边形. ∴.AF=CE 4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5.证明：.AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中， (AD=CB:R△ABD2Rt△CDB(斜边、直角边).∴AB=CD.又：AD=BC,四边 BD-=DB, 形ABCD是平行四边形. 6.C7.D 8.解：(1)①证明：，∠B=∠AED,∴.DE∥BC.,AB∥CD,.四边形BCDE为平行 四边形.②证明：，AE=BE,AE=CD,∴.CD=BE.,AB∥CD,.四边形BCDE为 平行四边形.（任选一种即可）(2)由(1)得DE=BC=10,,AD⊥AB,AD=8,∴.AE= √DE2-AD2=6. 9.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠ADB=∠CBD.BE=DF, ,BE+EF=DF+EF,即BF=DE.又，BN=DM,△BNE≌△DMF(边角边)， △BFN≌△DEM(边角边).∴.NE=MF,NF=ME..四边形MENF是平行四边形. 10.解：(1)6一t2t8-2t或2t-8(2).AD∥BC,∴.当PD=QE时，以P,Q,E,D 为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况讨论：当点Q在点E右侧，即0<t<4时， 则6一t=8一2t,解得t=2;当点Q在点E左侧，即4<t<6时，则6一t=2t一8，解得t= 兰综上所述，当=2或=考时，以点P,Q,ED为顶点的四边形是平行四边形. 第2课时平行四边形的判定定理3 名师导学 ①互相平分②分别相等 【例】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠OAF=∠OCE.在 f∠OAF=∠OCE, △AOF和△COE中，OA=OC, ,.△AOF≌△COE(角边角).(2)解：四边形 ∠AOF=∠COE, AECF是平行四边形.理由如下：由(1)知△AOF≌△COE,.OF=OE.,OA=OC, .四边形AECF是平行四边形. 1.A2.OB=OD(答案不唯一) (∠ADO=∠CEO, 3.证明：CE∥AB,.∠ADE=∠CED.在△AOD和△COE中，∠AOD=∠COE, OA=OC, ∴.△AOD≌△COE(角角边)..OD=OE.又，OA=OC,∴.四边形ADCE是平行四边形. 31.2平行四边形 1.2.1平行四边形的性质 第1课时 平行四边形边、角的性质 口名师导学 >◆◆预习先知 基础过关 逐点击破 新知梳理 知识点1平行四边形、梯形的有关概念 ①两组对边分别平行的四边形叫作 1.下列各图是直角梯形的是 四边形. ②一组对边 而另一组对边 的四边形叫作梯形.互相平行的 两边叫作梯形的底，不平行的两边叫作 2.如图，AB∥EF∥CD,AD∥BC,则图中平行四边形的个 梯形的腰，两底的 叫作梯 形的高.两腰 的梯形叫作等腰 数是 梯形，有一个角是 的梯形叫作 A.1 B.2 C.3 D.4 直角梯形. ③平行四边形的对边相等、对角 ④夹在两条平行线间的平行线段 B (第2题图) (第3题图) (第6题图) ☑例题引路 【例】（教材P17习题T3 3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD.若∠C= 变式)如图，在口ABCD 70°，则∠A的度数为 中，DE=CE,连接AE 知识点2平行四边形边、角的性质 并延长，交BC的延长线 于点F 4.在□ABCD中，AD=4cm,AB=3cm,则□ABCD的周 (1)求证：△ADE≌△FCE; 长为 ( (2)若AB=2BC,∠F=36°，则∠B的 A.14 cm B.7 cm C.12 cm D.9 cm 度数为 【名师点拨】(1)利用平行四边形的性 5.(柳州期末)在□ABCD中，若∠A+∠C=90°，则∠B 质，得AD∥BC,AD=BC,从而得出 的度数是 ( ) ∠D=∠ECF,即可证得△ADE≌ A.100° B.45° C.909 D.135° △FCE;(2)易得AB=FB,由等腰三角 形的性质和三角形内角和定理即可得 6.如图，在□ABCD中，AB=13,AD=5,AC⊥BC,则 出答案」 □ABCD的面积为 【学生解答】 7.如图，在□ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且 AE=CF,求证：BE=DF 5数学八年级下册配灯版 知识点3夹在两条平行线间的平行线段相等13.如图，口ABCD与口DCFE的周长相等，且 8.如图，已知11∥12，AB∥CD,CE⊥l2于点E, ∠BAD=60°，∠F=110°，BC=6. FG⊥l2于点G,下列说法错误的是( (1)CF的长为 A.AB=CD (2)连接AE,求∠DAE的度数， B.A,B两点间的距离就是 线段AB的长度 C.CF=EG D.1与L2之间的距离就是线段CD的长度 T能力提升 、◆·整合运用 9.(贵州中考)如图，在□ABCD中，AB=3,BC 5,∠ABC=60°，以点A为圆心，AB长为半 径作弧，交BC于点E,连接AE,则CE的 长为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【思维拓展 强化素养 14.如图，在□ABCD中，DF平分∠ADC,交 B BC于点E,交AB的延长线于点F. (第9题图) (第10题图) (1)求证：AD=AF; 10.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD (2)若AD=6,AB=3,∠A=120°，求BF 5,AB=6,BC=8,过点D作DE∥AB,交 的长和△ADF的面积. BC于点E,则△CDE的周长是( A.3 B.12 C.15 D.19 11.如图，已知AF∥BD,AB∥CD,BE∥DF. 有下列结论：①AB=CD;②BE=DF; ③SAABE=S△CDF;④S四边形ABDC=S四边形BDFE, 其中正确的有 ) A.1个B.2个 C.3个 D.4个 (第11题图) （第12题图) 12.如图，在□ABCD中，BE⊥CD,BF⊥AD, 垂足分别为E,F,已知∠EBF=45°，CE= 3,DF=1. (1)∠C的度数为 (2)AF的长为 第1章四边形6 专题一平行四边形与角平分线结合的有关问题 「常见基本模型呈现：平行四边形十一条内角平分线等腰三角形；平行四边形十两条内角平分线→等腰三角 形十直角三角形，如图，四边形ABCD是平行四边形， AB-AE BC=CF AB-AF-CD-DE AB=AF-CD-DE, AB=AE-CD=DE, CE⊥BF CE⊥BE 1.(宁乡期中)如图，在□ABCD中，AB=6, 【变式题2】边长的长度指向不明时，需分类讨论 AD=11,∠ABC的平分线交AD于点E,交 在一组邻边分别为6和10的口ABCD中， CD的延长线于点F,则DF的长是( ∠DAB和∠ABC的平分线分别交CD所在的 A.4 B.5 C.6 D.7 直线于点E,F,则线段EF的长为 H 5.如图，在□ABCD中，∠ABC,∠BCD的平分 线交于边AB上的点E处，且BE=AB=√3. (1)求证：BE⊥CE; (第1题图) (第2题图)》 (2)求线段CE的长. 2.如图，在□ABCD中，AB=3,AD=10,AE, DF分别平分∠DAB,∠ADC,则EF的长为 ) A.3 B.4 C.5 D.无法确定 3.(教材P10练习T2变式)（衡阳蒸湘区期末） 如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC,AD= 9,BE=3,则□ABCD的周长是 B E (第3题图) (第4题图) 4.如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交 AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F. 若AB=3,AD=4,则EF的长是 【变式题1】无图时，需根据两条角平分线的 位置分类讨论 在□ABCD中，BE,CF分别平分∠ABC, ∠BCD,交AD于点E,F.若AD=6,EF= 2,则AB的长为 7数学八年级下册配灯版