1.1 第2课时 多边形的外角和-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

参考答案 第1章四边形 1.1多边形 第1课时多边形及其内角和 名师导学 ①多边形边对角线内角相等相等②(n一2)·180° 【例1】36°【例2】D 1.C2.A3.84.C5.七6.205 7.解：(1)根据图形可知，x=360一150一90一70=50.(2)根据图形可知，x十(x十30)十 60+x十(x-10)=(5-2)×180,解得x=115. 8.C9.C10.45° 11.解：延长AB,CD交于点G.AE⊥EC,.∠E=90°..∠G=360°-（∠A+∠E+ ∠C)=38°≠40°.∴.该模板不合格. 12.解：(1)①BE∥AD,∠ABE=180°-∠A=30°.BE平分∠ABC,.∠ABC= 2∠ABE=60°..∠C=360°-（∠A+∠D+∠ABC)=70°.②，∠A+∠D+∠ABC+ ∠BCD=360°，.∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D)=130°.，∠ABC和∠BCD的 平分线交于点P,∠PBC=合∠ABC,∠PCB=号∠BCD.·∠PBC+∠PCB (∠ABC+∠BCD)=65.·∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=15.(2)∠P= 2(∠A+∠B+∠E)-90P 第2课时多边形的外角和 名师导学 ①360°②不稳定 【例1】解：∠C=110°，∴.与∠C相邻的外角的度数为180°-110°=70°.∴∠a=360° -120°-120°-70°=50°. 【例2】解：(1)设这个正多边形的边数是n.根据题意，得(n一2)·180°=360°十720°，解 得n=8.∴这个正多边形的边数为8.(2)这个正八边形的内角和为(8-2)×180°= 1080°，.这个正八边形每个内角的度数为1080°÷8=135°. 1.C2.D3.94.2859 5.解：设这个多边形的一个外角为a,则其相邻内角为3a十20°.由题意，得(3a十20)+a =180,解得。=40.∴这个多边形的边数为肥-9。 6.四边形的不稳定性7.B8.B9.A10.D11.6 12.解：(1)所经过的路线正好构成一个外角是15的正多边形，.360°÷15°=24,5× 24=120(m).答：小明一共走了120m.(2)(24-2)×180°=3960°.答：这个多边形的内 角和是3960°. 13.解：(1)，多边形的内角和是180°的正整数倍，而2200°不是180°的整数倍，∴.小明 说不可能.(2)，2200°÷180°=12…40°，.多加的一个外角是40°.12十2=14， 2200°-40°=2160°，.小华求的是十四边形的内角和，内角和是2160°，多加的那个外 角是40°. 1.2平行四边形 1.2.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 名师导学 ①平行②平行不平行公垂线段相等直角③相等④相等 【例】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC.∠D=∠ECF. ∠D=∠ECF, 在△ADE和△FCE中，DE=CE, ∴.△ADE≌△FCE(角边角).(2)解：108° ∠AED=∠FEC, 1.B2.C3.110°4.A5.D6.60 7.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD.∴∠BAE=∠DCF.在 (AB=CD, △ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF,∴.△ABE≌△CDF(边角边).∴.BE=DF. AE=CF, 8.D9.D10.C11.D12.(1)45°(2)3√2-1 13.解：(1)6(2)，四边形ABCD与四边形DCFE是平行四边形，∠BAD=60°，∠F =110°，.∠ADC=180°-∠BAD=120°，∠CDE=∠F=110°..∠ADE=360°- ∠ADC-∠CDE=l30°.□ABCD与□DCFE的周长相等，∴.AD=DE..∠DAE= 2(180°-∠ADE)=25. 14.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD.∴.∠CDE=∠F.,DF平分 ∠ADC,∴∠ADE=∠CDE..∠F=∠ADE.AD=AF.(2)解：过点D作DH⊥ AF,交FA的延长线于点H.AF=AD=6,AB=3,BF=AF-AB=3.,∠BAD =120°，∠DAH=60.∴∠ADH=30.AH=号AD=3.DH=VAD-AF- 3V3.∴SaAe=2AF·DH=9V3. 专题一平行四边形与角平分线结合的有关问题 1.B2.B3.304.2【变式题1】4或2【变式题2】2或14 5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠ABC+∠BCD=180°. :∠ABC,∠BCD的平分线交于边AB上的点E处，∠CBE=∠ABE=号∠ABC, ∠BCE=∠DCE=号∠BCD.·∠CBE+∠BCE=(∠ABC+∠IBCD=9o ∠BEC=90°.BE⊥CE.(2)解：，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=√3， AD=BC,AD∥BC.·∠AEB=∠CBE=∠ABE,∠DEC=∠BCE=∠DCE.∴.AE= AB=W3,DE=CD=W3.∴.BC=AD=AE+DE=2√3.在Rt△BCE中，CE= √/BC2-BE=3. 第2课时平行四边形的对角线的性质 名师导学 平分 【例1】解：(1)，EF⊥AC,AE=13,OA=12,.OE=√AE2-OA2=5.四边形ABCD 是平行四边形，∴.OD=OB,CD∥AB.∴.∠FDO=∠EBO.又，∠FOD=∠EOB, ∴.△FDO≌△EBO(角边角)..OF=OE.∴.EF=2OE=10.(2)过点F作FH⊥AB于 点H.:Swe=2AE·FH=号EF·0A,即2×13XFH=合×10X12,∴FH= 器口ABCD边AB上的高为器 .120 【例2】C 1.B2.B3.C4.125.4 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.AM=CN,.OA- OB=OD, AM=OC-CN,即OM=ON.在△BOM和△DON中，J∠BOM=∠DON,,',△BOM OM=ON, ≌△DON(边角边)..∠OBM=∠ODN..BM∥DN. 7.D8.A9.30 10.(1)解：120°(2)证明：连接AC,交BD于点O.,四边形ABCD是平行四边形， ∠1=∠2， .OA=OC,OB=OD.在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF OA=OC, (角角边)..OE=OF..OE+OD=OF+OB,即DE=BF. 11.解：(1)OE=OF.证明如下：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.,AE⊥ ∠AEO=∠CFO, EF,CF⊥EF,.∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中，∠AOE=∠COF, OA=OC, .△AEO≌△CFO(角角边)..OE=OF.(2)成立.证明如下：延长FO,交AE于点G. AE⊥EF,CF⊥EF,.AE∥CF.∠GAO=∠FCO.在△AGO和△CFO中， ∠GAO=∠FCO, OA=OC, .△AGO2△CFO(角边角)..OG=OF..O为FG的中点.又 ∠AOG=∠COF, 2 ,∠AEF=90°，.OE=OF 专题二过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积模型【回归教材】 1.证明：：AC与BD是□ABCD的对角线，且相交于点O,∴.OA=OC.AD∥BC, .∠MAO=∠NCO.又.∠AOM=∠CON,.∴.△AOM≌△CON(角边角)..OM ON.∴.点O是线段MN的中点. 【变式题1】7【变式题2】2 2.13.124.①③④ 1.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 名师导学 ①平行相等②相等 【例1】证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD.,.∠ABF= ∠ABF=∠CDE, ∠CDE.在△ABF和△CDE中，AB=CD, .△ABF≌△CDE(角边角). ∠BAF=∠DCE, ∴.AF=CE.(2)由(1)得△ABF≌△CDE,.AF=CE,∠AFB=∠CED.∴.AF∥CE .四边形AECF为平行四边形. 【例2】C 1.平行四边2.D 3.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD.E,F分别是边AB, CD的中点，AE=之AB,CF=合CD.AE=CR.四边形ABCF是平行四边形. ∴.AF=CE 4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5.证明：.AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中， (AD=CB:R△ABD2Rt△CDB(斜边、直角边).∴AB=CD.又：AD=BC,四边 BD-=DB, 形ABCD是平行四边形. 6.C7.D 8.解：(1)①证明：，∠B=∠AED,∴.DE∥BC.,AB∥CD,.四边形BCDE为平行 四边形.②证明：，AE=BE,AE=CD,∴.CD=BE.,AB∥CD,.四边形BCDE为 平行四边形.（任选一种即可）(2)由(1)得DE=BC=10,,AD⊥AB,AD=8,∴.AE= √DE2-AD2=6. 9.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠ADB=∠CBD.BE=DF, ,BE+EF=DF+EF,即BF=DE.又，BN=DM,△BNE≌△DMF(边角边)， △BFN≌△DEM(边角边).∴.NE=MF,NF=ME..四边形MENF是平行四边形. 10.解：(1)6一t2t8-2t或2t-8(2).AD∥BC,∴.当PD=QE时，以P,Q,E,D 为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况讨论：当点Q在点E右侧，即0<t<4时， 则6一t=8一2t,解得t=2;当点Q在点E左侧，即4<t<6时，则6一t=2t一8，解得t= 兰综上所述，当=2或=考时，以点P,Q,ED为顶点的四边形是平行四边形. 第2课时平行四边形的判定定理3 名师导学 ①互相平分②分别相等 【例】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠OAF=∠OCE.在 f∠OAF=∠OCE, △AOF和△COE中，OA=OC, ,.△AOF≌△COE(角边角).(2)解：四边形 ∠AOF=∠COE, AECF是平行四边形.理由如下：由(1)知△AOF≌△COE,.OF=OE.,OA=OC, .四边形AECF是平行四边形. 1.A2.OB=OD(答案不唯一) (∠ADO=∠CEO, 3.证明：CE∥AB,.∠ADE=∠CED.在△AOD和△COE中，∠AOD=∠COE, OA=OC, ∴.△AOD≌△COE(角角边)..OD=OE.又，OA=OC,∴.四边形ADCE是平行四边形. 3第2 【名师导学 ◆预习先知 同新知梳理 ①任意多边形的外角和等于 ②三角形具有稳定性，四边形具有 性. ☑例题引路 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠C 110°，与∠BAD,∠ABC相邻的外角都 是120°，求∠a的度数. ay1109 120 B A 1200 【名师点拨】先求得与∠C相邻的外角 的度数，再根据多边形的外角和为360 即可求解 【学生解答】 【例2】（教材P6例2变式）若一个正多边 形的内角和比外角和多720° (1)求这个正多边形的边数； (2)求这个正多边形每个内角的度数. 【名师点拨】根据多边形内角和与外角 和列方程求解即可. 【学生解答】 3数学八年级下册配X版 课时 多边形的外角和 基础过关 ●逐点击破 知识点1多边形的外角和 1.正十二边形的外角和为 ) A.30° B.150° C.360° D.1800° 2.如图，在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪 出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边 重合，则∠a的度数为 ) A.54° B.60° C.70° D.72 (第2题图) (第4题图) 3.（衡阳期末)如果一个多边形的每一个外角都是40°，那 么这个多边形的边数为 4.（湘乡期末)如果可以只用一种图形没有重叠、没有间隙 地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这 个平面，“完美五边形”就是这种图形.如图所示的五边 形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种“完美五边 形”.若∠1=75°，则∠2十∠3十∠4+∠5的度数是 5.(教材P7习题T4变式)在一个各内角都相等的多边形 中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，求这个多 边形的边数. 知识点2四边形的不稳定性 6.中国载人航天工程将扎实推进空间站应用 与发展和载人月球探测两大任务，登月探测 器如图所示，它的机械臂伸缩自如，灵活性 强，其原理主要是运用了 7.下列图形不具有稳定性的是 能力提升 ◆P●整合运用 8.(凉山中考)已知一个多边形的内角和是它 外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点 出发可以引对角线 () A.6条B.7条 C.8条 D.9条 9.生产生活情境化如图，工人师傅做了一个长 方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边 上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一 根木条，这根木条可以钉在 A.E,H两点之间 B.E,G两点之间 C.F,H两点之间 D.A,B两点之间 10.某同学用5根相同的小木棍首尾顺次相接 组成了五边形ABCDE,固定边CD,将点A 向下推，使点B,A,E共线，形成四边形 BCDE,如图所示，则此变化过程中() A.内角和减少了360 B.内角和增加了180° C.外角和减少了180° D.外角和不变 (第10题图) (第11题图) 11.(教材P7习题T6变式)如图，这是正n边 形纸片的一部分，其中1，m是正n边形两 条边的一部分.若l,m所在的直线相交形 成的锐角为60°，则n的值是 12.如图，小明从点O出发，前进5m后向右转 15°，再前进5m后又向右转15°…这样一 直下去，直到他第一次回到出发点O为止， 他所走的路径构成了一个多边形 (1)小明一共走了多少米？ (2)这个多边形的内角和是多少度？ L15 思维拓展 >◆P强化素养 13.代数推理新趋势看图解答问题： 这个凸多边形的 什么？不可能吧！你看， 内角和是2200° 你多加了一个外角！ 小华 小明 (1)小明为什么说多边形的内角和不可能 是2200°？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和 是多少度？多加的那个外角是多少度？ 第1章四边形4