精品解析：河南省开封市五县联考2025-2026学年高三上学期2月期末数学试题

高三数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知复数，若在复平面内对应的点位于第三象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知平面向量，满足，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 在中，角所对的边分别为，已知成等差数列，，则的面积为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 16 5. 若函数在点处的切线斜率为1，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上有不同的4个点到直线：的距离等于1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在处取得极小值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的最小值是 D. 方程在区间内恰有个实数解 10. 已知函数（）有三个不同零点 ， ，，其中，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若 ， ，成等差数列，则 C. D. 11. 已知双曲线的离心率为，分别是左、右焦点，是该双曲线右支上一点，点满足，则下列结论正确的为（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. C. 的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 13. 数列中，且满足，，则数列的前2024项的和为_____. 14. 随机变量，且，则__________． 四、解答题 ：本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足（ ，），且，． （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求的最小值． 16. 已知等差数列与正项等比数列满足，， （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前 项和. 17. 在三棱锥中，底面，，，.点满足. （1）求点到平面的距离； （2）点 在线段上，若与平面所成角为 ，求的最大值. 18. 已知双曲线的离心率为2，的右焦点与点的连线与的一条渐近线垂直． （1）求的标准方程． （2）经过点且斜率不为零的直线与的两支分别交于点， ． ①若 为坐标原点，求的取值范围； ②若是点 关于 轴的对称点，证明：直线过定点． 19. 已知 （1）讨论的单调性 （2）对于恒成立；求 的取值范围 （3）设，为函数的两个零点；证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的运算法则求解即可． 【详解】因为， 所以． 故选：B． 2. 已知复数，若在复平面内对应的点位于第三象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由复数乘法运算以及复数的几何意义列不等式即可求解. 【详解】，则，即，. 故选：C. 3. 已知平面向量，满足，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，结合计算即可求解. 【详解】由题意知，， ， 所以. 故选：D 4. 在 中，角所对的边分别为，已知成等差数列，，则 的面积为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为成等差数列，可得， 又因为， 由余弦定理得：， 整理得，即， 所以 的面积为. 故选：B. 5. 若函数在点处的切线斜率为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，由已知得 列出方程，求解即可． 【详解】因为， 所以在点处的切线斜率为，解得， 故选：D． 6. 已知 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式可得，设，令，结合导数求出的单调区间以及最值即可. 【详解】因为为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立. 设，令则 ，当时，， 当  时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 当，即时取得最大值为，则的最大值为. 故选：C. 7. 已知圆上有不同的4个点到直线：的距离等于1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，由题意可知，代入运算求解即可. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则到直线：的距离， 若圆 上有不同的4个点到直线的距离等于1，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导并计算得出，分析可知，存在，对任意的恒成立，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出结果. 【详解】由题意，得，则， 因为在处取得极小值，所以，， 且存在，使得当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增，且函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 则问题等价于：对任意的恒成立， 令，则， 若对任意的恒成立，则，解得， 此时函数在上单调递增，当时，，合乎题意； 若对任意的恒成立，则，解得， 此时函数在上单调递减，当时，，不合乎题意； 当时，因为函数在上单调递增， 且，，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，函数在单调递减，， 从而可知，函数在上单调递减，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的最小值是 D. 方程在区间内恰有个实数解 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为函数的定义域为，又，所以， 又，得到，所以是奇函数，故选项A正确， 对于选项B，因为，所以，得到的周期为 ， 所以，故选项B正确， 对于选项C，当时，，又是奇函数， 所以当时，，所以选项C错误， 对于选项D， 当时，，则，得到， 因为，所以函数关于直线对称，所以在上的图像如图所示， 由图知，在有4个交点，又的周期为 ，且在区间上共有506个周期， 所以方程在区间内恰有个实数解，故选项D错误， 故选：AB. 10. 已知函数（）有三个不同零点，， ，其中，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若，， 成等差数列，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将题设等价转化成直线与函数图像有三个不同的交点，作出函数图像，数形结合即可分析求解判断AB；利用求出得到，接着由方程的根与系数关系分析得到即可判断C；由C得到，通分即可求解判断D. 【详解】由题可得方程（）有三个不同的根、、 ，其中， 则直线与函数图像有三个不同的交点， ，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 且时，时， 作出函数图像如下图所示， 由图可知 的取值范围为，故A错误； 因为导函数关于直线对称， 所以如图所示函数图像关于点对称， 所以由图可知若、、 成等差数列，则，故B正确； 由图可知， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 又由题方程即的根为、、 ， 且方程的根为、、 ， 所以即，由图可知，所以， 所以，故C正确； 由C可知，所以.故D正确. 故选：BCD 11. 已知双曲线的离心率为，分别是左、右焦点， 是该双曲线右支上一点，点 满足，则下列结论正确的为（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. C. 的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根据离心率和可求出，则实轴长可知；B：根据向量关系判断出 的位置，结合双曲线定义可求；C：根据双曲线定义以及勾股定理可求，则的面积可求；D：根据可求结果. 【详解】因为，解得，所以实轴长为，故A正确； 因为，所以 为的中点且， 又因为 为的中点，所以， 所以，故B错误； 因为，可得， 所以，故C正确； 因为， 所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】通过换元将已知角与目标角关联，利用诱导公式把转化为，再用二倍角公式代入已知值计算. 【详解】令，则，且； 代入目标表达式：； 利用诱导公式，得：； 用二倍角公式，代入，则. 故答案为： 13. 数列中，且满足，，则数列的前2024项的和为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，，，，以及，，，分别是公比为的等比数列，再分奇偶讨论，结合分组求和计算即可. 【详解】解析：由，，得，，得 所以，，，以及，，，分别是公比为的等比数列， 当 为奇数时，，当 为偶数时， 所以，当 为奇数时，， 当 为偶数时，， . 故答案为：. 14. 随机变量，且，则__________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性有，即可求. 【详解】因为，即，且， 所以， 则. 故答案为： 四、解答题 ：本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足（，），且，． （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系，把递推关系变形得出，可证明数列为等差数列，并按等差数列通项公式求解，进而得到数列的通项公式． （2）先求得的表达式，再求得，分析出的的范围，得到的最小值． 【小问1详解】 因为，（，）， 化简，同除以， 得（，）， 又时，，所以， 数列为首项为，公差为3的等差数列，所以， 所以. 【小问2详解】 ，， ，， 当时，，所以，则， 则当且 取偶数时，， 当且 取奇数时，， 所以的最小值为 16. 已知等差数列与正项等比数列满足，， （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前 项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差、等比数列的基本量表示已知条件求出，得到通项公式； （2）裂项相消法求和. 【小问1详解】 设等差数列公差为 ，等比数列公比为，则， 且，即，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）， 设数列的前 项和为， 则. 17. 在三棱锥中，底面，，，.点 满足. （1）求点 到平面的距离； （2）点 在线段上，若与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用棱锥体积的等积性进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为底面，底面， 所以，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 设点 到平面的距离为， 则 【小问2详解】 根据（1）的结论，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 设， 由， 因为点 在线段上， 所以设，设， 所以由， ，， 设平面的法向量为， 所以，取， 所以是平面的一个法向量， 所以 ， 因为，所以对于来说都是增函数， 所以最大，同样最大， 设， 所以当时，该二次函数有最小值，所以函数有最大值， 最大值为，即， 所以， 因此， 所以的最大值为 18. 已知双曲线的离心率为2， 的右焦点 与点的连线与 的一条渐近线垂直． （1）求 的标准方程． （2）经过点 且斜率不为零的直线与 的两支分别交于点 ，． ①若 为坐标原点，求的取值范围； ②若 是点关于轴的对称点，证明：直线 过定点． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得其渐近线方程，因为，得到的值，即可求解； （2）①设其方程为 ，，联立直线与 的方程，结合，求得， 设，，则，，，结合向量的运算得到，即可求得的取值范围； ②求得直线 的方程为，令，求得，即可求得 直线 过定点． 【小问1详解】 解：由题意得，其中，则，所以，即， 所以 的渐近线方程为． 因为，与 的一条渐近线垂直，所以，解得，所以，所以 的标准方程为． 【小问2详解】 解：显然直线的斜率存在，设其方程为 ，，联立直线与 的方程，消去得，因为直线与 的两支分别交于点 ，， 所以，得， 设，，则，，．①， 所以的取值范围是． ②因为，所以直线 的方程为， 由对称性可知，若直线 过定点，则定点在轴上， 在直线 的方程中，令，得 ， 所以直线 过定点，定点坐标为． 19. 已知 （1）讨论的单调性 （2）对于恒成立；求的取值范围 （3）设，为函数的两个零点；证明． 【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. （2）； （3）证明：由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0， 的最大值为， 令，解得， 则存在两零点，可得， 设，为函数的两个零点，则，， 解得①，②， ①减去②得到， 解得，要证明，只需证明， 设， ， 则在上是单调递增函数，故， 设，，，， ，， ，，，. 【解析】 【分析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间； （2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围； （3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明. 【小问1详解】 定义域，； 当时，的解为，则在上为单调递增函数； ，的解为，的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 综上可知，当时，在上为单调递增函数； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，， 不满足，故不成立； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 则当时，取最大值为，令，解得， 故对于恒成立的的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $