专题3.1 概率初步（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级下册

本讲义聚焦概率初步核心知识点，系统梳理随机事件分类（必然、不可能、随机事件）、可能性大小比较、概率定义与计算、频率估计概率及两者区别联系，构建从概念理解到实际应用的递进式学习支架。 资料以12类典型题型为载体，结合生活实例（如摸球、转盘游戏），通过例题与变式题设计，培养学生用数学眼光观察现实世界（如成语辨析事件类型）、用数学思维分析频率与概率关系，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题3.1 概率初步（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 必然事件、不可能事件、随机事件】 2 【题型2 可能性的大小】 4 【题型3 求某事件的频率】 6 【题型4 概率的意义理解】 10 【题型5 判断频率与概率关系说法的正误】 12 【题型6 由频率估计概率】 15 【题型7 判断实验所得结果是否是等可能的】 19 【题型8 简单概率的计算】 21 【题型9 已知概率求数量】 23 【题型10 游戏公平性】 25 【题型11 几何概率】 26 【题型12 概率的应用】 29 知识点1 随机事件的概念 事件类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针 不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼 知识点2 事件发生的可能性大小 1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同． 2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）． 3. 随机事件的可能性大小比较的步骤 （1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； （2）计算：计算每一个要素的数量； （3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小． 知识点3 概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 3. 概率的取值 （1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1； （2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0； （3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1． 知识点4 用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点5 频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【题型1 必然事件、不可能事件、随机事件】 【例1】小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键． 由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根． 【详解】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜， ∴小明先取，第一次取走2根， 故答案为：2． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列词语所描述的事件属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．水到渠成 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件，故不符合题意； B、画饼充饥，是不可能事件，故不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，故符合题意； D、水到渠成，是必然事件，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析. 【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义， 故选：B． 【变式1-3】指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 【答案】 （3） （5） （1）（2）（4） 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据概念逐一判断，即可解题． 【详解】解：（1）掷一枚硬币，不一定出现正面朝上；故（1）是随机事件； （2）买一张彩票有可能中一百万；故（2）是随机事件； （3）；故（3）是必然事件； （4）任意买一张电影票，座位号不一定是双号；故（4）是随机事件； （5）向空中抛一枚硬币，硬币一定会从空中往下掉．故（5）是不可能事件； 综上所述：必然事件有（3），不可能事件有（5），随机事件有（1）（2）（4）， 故答案为：（3）；（5）；（1）（2）（4）． 【题型2 可能性的大小】 【例2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【答案】③ 【分析】此题考查了事件的可能性，根据每个布袋中白球的个数判断即可． 【详解】∵三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，①中有2个白球，②中有3个白球，③中有4个白球， ∴③中白球的个数最多 ∴“摸到白球”的可能性更大的布袋是③． 故答案为：③． 【变式2-1】（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【答案】②①③ 【分析】根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案． 本题主要考查可能性的大小，随机事件，解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件； ②水中捞月，是不可能事件； ③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件． 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②①③． 故答案为：②①③． 【变式2-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 【答案】② ③ ① ④ 【分析】此题考查可能性大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键．只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共种情况： ① 掷得的点数是包含种情况； ② 掷得的点数是奇数包括种情况； ③ 掷得的点数不小于包括种情况； ④ 掷得的点数为包括种情况， 故发生的可能性由大到小的顺序排为② ③ ① ④． 故答案为：② ③ ① ④． 【变式2-3】（2025七年级上·山东·专题练习）用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的可能性比是3的倍数的可能性 ．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】本题考查了3的倍数特征，简单的概率计算． 先列举出0、6、9组成的所有三位数，分析偶数、3的倍数各有几个，再比较个数的多少，根据判断可能性大小的方法，个数多的，可能性就大；个数少的，可能性就小． 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数． 【详解】，15是3的倍数； 由0、6、9组成的三位数有：690、609、906、960，共4个，都是3的倍数； 其中是偶数的有690、960、906，共3个； ，偶数的个数比3的倍数的个数少； 所以，用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的可能性比是3的倍数的可能性小． 故答案为：小． 【题型3 求某事件的频率】 【例3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【答案】(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 【答案】(1)；264 (2)见解析 【分析】本题考查了频率和折线统计图，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得． （2）解：根据题意，折线图画图如下： 【变式3-3】（2025七年级下·全国·专题练习）某篮球运动员在同一条件下进行“定点投篮”练习，结果如下表所示： 投篮总次数n 10 50 100 200 500 进球的次数m 6 39 80 160 400 投篮命中率 0.6 0.78 0.8 (1)补全表格； (2)根据表格，画出该篮球运动员投篮命中率随投篮总次数变化的折线统计图； (3)观察画出的折线统计图，投篮命中率的变化有什么规律？ 【答案】(1)0.8，0.8 (2)见解析 (3)投篮命中率的变化规律是随着投篮总次数的增大，投篮命中率逐渐趋于0.80 【分析】本题考查了利用频率估计概率，画折线统计图及根据统计图总结规律． （1）用对应的m除以n即可求解； （2）根据表格画出该篮球运动员投篮命中率随投篮总次数变化的折线统计图即可； （3）根据统计图思考并回答问题即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：0.8，0.8； （2）解：如图： （3）解：观察画出的折线统计图可知，投篮命中率的变化规律是随着投篮总次数的增大，投篮命中率逐渐趋于0.80． 【题型4 概率的意义理解】 【例4】（25-26九年级上·北京·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率 【答案】D 【分析】本题考查概率的基本概念，包括必然事件、概率的意义、列举法的适用条件以及频率与概率的关系，因此此题可根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵A选项：射击运动员射击一次，命中靶心不是必然事件，可能发生也可能不发生，∴A错误； ∵B选项：彩票中奖概率并不意味着买100张一定中奖，因为每次购买独立，可能都不中奖，∴B错误； ∵C选项：抛掷图钉时，针尖朝上和朝下不是等可能事件，无法用列举法求概率，∴C错误； ∵D选项：在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于常数p，则，符合概率的统计定义，∴D正确． 故选：D． 【变式4-1】（25-26九年级上·河南焦作·期中）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（   ） A．抛掷100次，一定有55次正面朝上 B．抛掷1次，一定是正面朝上 C．抛掷1次，不一定是正面朝上 D．抛掷2次，一定有2次正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，概率反映事件发生的可能性，而非确定性；频率估计概率存在波动，实际结果可能偏离理论值. 概率0.55表示正面朝上的可能性为，但非必然事件，因此单次抛掷结果不确定，据此逐一判断即可 【详解】∵因概率不保证具体次数或结果， ∴抛掷100次，不一定有55次正面朝上， 抛掷1次，不一定是正面朝上，抛掷2次，不一定有2次正面朝上 ，选项A、B、D均错误， ∵每次抛掷正面朝上不是必然事件， ∴抛掷1次，不一定是正面朝上，选项C正确， 故选C 【变式4-2】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图显示了用计算机模拟随机抛一枚硬币的某次试验的结果．下面有三个推断，其中正确的是（   ） ①当抛的次数是 100时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此试验，则当抛的次数为 150时，“正面向上”的频率一定是0.45． A．① B．② C．③ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可． 【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，实验次数过少，不能得到“正面向上”的概率是0.47，故错误； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误． 故选：B． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是（     ） A．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格 B．购买1000个该品牌的吹风机，一定有10个不合格 C．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格 D．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格 【答案】D 【分析】本题考查了对概率意义的理解，合格率表示在大量抽样中合格品的概率为，但每次抽样结果具有随机性，不能保证绝对数量，依此判断每个选项的说法选出正确的选项即可． 【详解】解：A项：购买100个吹风机，合格数不一定恰好99个．合格率是统计结果，实际数量可能波动，故A错误； B项：购买1000个吹风机，不合格数不一定为10个，虽然，但实际可能存在偏差，故B错误； C项：购买10个吹风机，每个均有的不合格概率，可能存在至少1个不合格，故C错误； D项：购买1个吹风机时，仍有的概率不合格，符合概率的基本意义，故D正确． 故选：D． 【题型5 判断频率与概率关系说法的正误】 【例5】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【变式5-1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式5-3】（2025·贵州铜仁·三模）为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【答案】C 【分析】本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由图可知，击中率在上下波动，故可估计击中的频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8，可判断A选项正确，B选项正确,利用击中概率乘以投球次数即可求得投球击中次数，可判断C选项，利用概率的意义，可判断D选项． 【详解】解：由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近， 故A选项正确，B选项正确，不符合题意； 若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次）， 故C选项的说法不正确，符合题意； 若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次， 故D选项的说法正确，不符合题意， 故选：C． 【题型6 由频率估计概率】 【例6】（25-26九年级上·山东烟台·期末）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在“一袋苹果”区域的次数m 落在“一袋苹果”区域的频率 假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是 （保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数很大时，频率的稳定值可以作为概率的估计值． 【详解】解：当很大时，频率将会接近0.7， ∴获得“一袋苹果”的概率大约是0.7， 故答案为：0.7． 【变式6-1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸出黑球的概率为0.8，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的频率稳定在0.8附近， ∴摸出黑球的概率为0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 【变式6-2】（25-26九年级上·四川广安·期末）某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知如图二维码的大正方形边长为2，同学们通过计算机随机点作了大量的重复实验后，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右，由此可以估计二维码白色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答． 【详解】解：根据题意，点落在区域内白色部分的频率稳定在左右， 因为大正方形的面积为， 所以由此可以估计白色部分的面积约为， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 【题型7 判断实验所得结果是否是等可能的】 【例7】（25-26九年级上·河南许昌·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 【变式7-2】下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 【变式7-3】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【答案】(1)不同意，理由见详解； (2)，； (3)0． 【分析】（1）根据白球和红球的个数即可判断； （2）分别用白球和红球的个数除以球的总个数即可得出答案； （3）摸到黄球是不可能事件，据此可得答案． 【详解】（1）不同意，因为白球的个数比红球的个数多，所以摸到白球的可能性大； （2）摸到白球的概率为，红球的概率为； （3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率为0． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【题型8 简单概率的计算】 【例8】（2025~2026学年第一学期期末九年级质量监测数学试题）中国民族乐器多种多样，历史悠久，每个朝代都有独特的民族乐器，是传承我国优秀传统文化的重要载体．某校民乐团培养了一批二胡、笛子、古筝、琵琶的小演奏家，民乐团王老师准备在四种民族乐器中随机选择一种进行表演，则王老师刚好选中“二胡”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单概率计算，掌握概率公式是解题的关键． 根据题意，有二胡、笛子、古筝、琵琶四种乐器，民乐团王老师准备在四种民族乐器中随机选择一种进行表演，从而共有种等可能的选择，由简单概率公式可得选中“二胡”的概率即为． 【详解】解：∵根据题意，有二胡、笛子、古筝、琵琶四种乐器，民乐团王老师准备在四种民族乐器中随机选择一种进行表演，从而共有种等可能的选择， ∴王老师刚好选中“二胡”的概率为， 故答案为：． 【变式8-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在一棋盘中，“马”的位置在图中虚线的下方，“马”移动一次能够到达的所有位置已用“·”标记，则“马”随机移动一次，到达的位置在虚线下方的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：“马”移动一次能够到达的所有位置共有个，在虚线下方的有个， “马”随机移动一次，到达的位置在虚线下方的概率是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了概率公式，解决本题的关键是理解题意，掌握概率公式． 【变式8-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图是一组悬挂在天花板上的创意吊灯，清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个被取下的吊灯是的概率是 ． 【答案】 【分析】先列举出所有的可能情况：，然后根据概率公式进行计算即可． 本题主要考查了列举法求概率，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 【详解】解：由取下顺序可知，共有三种等可能的结果， ∴清洗时第二个取下的吊灯是B的概率是， 故答案为：． 【变式8-3】（25-26九年级上·重庆·期末）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于6的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】解：所有可能的结果有9种：， ， ， ， ， ， ， ， ．其中两次标号的和等于6的结果有， ， 共3种，因此概率为． 故答案为． 【题型9 已知概率求数量】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求情况数÷总情况数是解题的关键． 根据概率=所求情况数÷总情况数的公式，用总扇形数分别乘以红、蓝两种颜色对应的概率，计算出各自需要涂的扇形个数． 【详解】解：设个扇形涂上红色，个扇形涂上蓝色． 由P（指向红色扇形），P（指向蓝色扇形）， 得，， 解得，． 故答案为：4；3． 【变式9-1】（25-26九年级上·全国·期末）一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则蓝球的个数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了概率的应用，弄清题意，熟练掌握概率的求解方法是解题的关键． 设蓝球个数为x，根据摸出红球的概率公式建立方程 【详解】解：设蓝球个数为x，则总球数为， 由概率公式得， 即， ， ， 解得：． 故答案为：6． 【变式9-2】（2026九年级·广西·专题练习）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：∵向上一面出现数字的概率为，出现数字的概率为， ∴个面中要有个面标有，有个面标有， ∴只能有个面标有， ∴该木块不可能是选项A． 故选：A． 【点睛】此题考查了概率公式以及概率的意义，概率所求情况数与总情况数之比．劳记概率公式是解题的关键． 【变式9-3】在一个不透明的袋子里装有若干个形状和大小均相同的红、绿、白三种颜色的小球，现从袋中任意摸出一个球，其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为，已知红色小球的个数为3，那么袋子里共有小球（   ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【答案】C 【分析】本题考查简单概率公式计算．根据题意列式即可求出本题答案． 【详解】解：∵其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为， ∴摸出红色小球的概率为：， 设：袋子里共有小球个， ∵红色小球的个数为3， ∴，解得：， 故选：C． 【题型10 游戏公平性】 【例10】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说， （填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 计算甲获胜和乙获胜的概率，比较两者是否相等． 【详解】解：总牌数为张，甲获胜需抽到至的牌，共张； 乙获胜需抽到以下的牌，共张； 甲获胜概率为，乙获胜概率为，两者不相等，故不公平． 故答案为：不公平． 【变式10-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了游戏公平性． 通过计算数字之和为偶数和奇数的概率，判断游戏是否公平． 【详解】解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种， 数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数， 数字中奇数为1和3，偶数为2， 两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种， 故数字之和为偶数的情况共5种，概率为， 数字之和为奇数的概率为， 两者概率不相等，因此游戏不公平． 故答案为：不公平． 【变式10-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为和的同心圆，如图．他们蒙上眼在一定距离外向同心圆内部掷石子，落在阴影内则小红胜，落在小圆内则小明胜．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】本题考查了概率的应用，根据概率评判游戏是否公平是解题的关键． 求出小明与小红分别胜的概率，如果相等，则游戏公平，否则游戏不公平． 【详解】解：． ， 这个游戏不公平． 故答案为：不公平． 【题型11 几何概率】 【例11】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，由16个相同的小正方形格子组成的图形，在图中任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，该图形由16个相同的小正方形格子组成，且阴影部分的小正方形格子有个，用阴影部分的小正方形格子数除以小正方形格子总数即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵该图形由16个相同的小正方形格子组成，且阴影部分的小正方形格子有个， ∴点落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【变式11-1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【变式11-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，据此计算即可，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（   ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率公式和用几何方法求概率，只需要用阴影部分面积除以整个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 一个阴影小三角形的面积为：， 则阴影部分面积为：， 正方形网格的面积为：， 所以飞镖击中阴影部分的概率为：， 故选：D． 【题型12 概率的应用】 【例12】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了概率和随机事件的概论，根据已知条件，结合指针停在每个扇形的可能性相同，指针停在哪个扇形区域都是随机事件，即可求解． 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 【变式12-1】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 【变式12-2】（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 【变式12-3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不是．理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，正确理解题意求出概率是解题的关键． (1) 根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； (2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可； (3)用概率解释． 【详解】（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）； （3）不是． 理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 概率初步（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 必然事件、不可能事件、随机事件】 2 【题型2 可能性的大小】 3 【题型3 求某事件的频率】 3 【题型4 概率的意义理解】 5 【题型5 判断频率与概率关系说法的正误】 6 【题型6 由频率估计概率】 8 【题型7 判断实验所得结果是否是等可能的】 10 【题型8 简单概率的计算】 10 【题型9 已知概率求数量】 11 【题型10 游戏公平性】 12 【题型11 几何概率】 12 【题型12 概率的应用】 13 知识点1 随机事件的概念 事件类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针 不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼 知识点2 事件发生的可能性大小 1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同． 2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）． 3. 随机事件的可能性大小比较的步骤 （1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； （2）计算：计算每一个要素的数量； （3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小． 知识点3 概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 3. 概率的取值 （1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1； （2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0； （3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1． 知识点4 用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点5 频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【题型1 必然事件、不可能事件、随机事件】 【例1】小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列词语所描述的事件属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．水到渠成 【变式1-2】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（   ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【变式1-3】指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 【题型2 可能性的大小】 【例2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【变式2-1】（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 【变式2-3】（2025七年级上·山东·专题练习）用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的可能性比是3的倍数的可能性 ．（填“大”或“小”） 【题型3 求某事件的频率】 【例3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 【变式3-3】（2025七年级下·全国·专题练习）某篮球运动员在同一条件下进行“定点投篮”练习，结果如下表所示： 投篮总次数n 10 50 100 200 500 进球的次数m 6 39 80 160 400 投篮命中率 0.6 0.78 0.8 (1)补全表格； (2)根据表格，画出该篮球运动员投篮命中率随投篮总次数变化的折线统计图； (3)观察画出的折线统计图，投篮命中率的变化有什么规律？ 【题型4 概率的意义理解】 【例4】（25-26九年级上·北京·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率 【变式4-1】（25-26九年级上·河南焦作·期中）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（   ） A．抛掷100次，一定有55次正面朝上 B．抛掷1次，一定是正面朝上 C．抛掷1次，不一定是正面朝上 D．抛掷2次，一定有2次正面朝上 【变式4-2】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图显示了用计算机模拟随机抛一枚硬币的某次试验的结果．下面有三个推断，其中正确的是（   ） ①当抛的次数是 100时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此试验，则当抛的次数为 150时，“正面向上”的频率一定是0.45． A．① B．② C．③ D．①② 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是（     ） A．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格 B．购买1000个该品牌的吹风机，一定有10个不合格 C．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格 D．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格 【题型5 判断频率与概率关系说法的正误】 【例5】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【变式5-1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【变式5-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【变式5-3】（2025·贵州铜仁·三模）为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【题型6 由频率估计概率】 【例6】（25-26九年级上·山东烟台·期末）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在“一袋苹果”区域的次数m 落在“一袋苹果”区域的频率 假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是 （保留一位小数）． 【变式6-1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【变式6-2】（25-26九年级上·四川广安·期末）某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知如图二维码的大正方形边长为2，同学们通过计算机随机点作了大量的重复实验后，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右，由此可以估计二维码白色部分的面积约为 ． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【题型7 判断实验所得结果是否是等可能的】 【例7】（25-26九年级上·河南许昌·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【变式7-1】（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【变式7-2】下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【变式7-3】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【题型8 简单概率的计算】 【例8】（2025~2026学年第一学期期末九年级质量监测数学试题）中国民族乐器多种多样，历史悠久，每个朝代都有独特的民族乐器，是传承我国优秀传统文化的重要载体．某校民乐团培养了一批二胡、笛子、古筝、琵琶的小演奏家，民乐团王老师准备在四种民族乐器中随机选择一种进行表演，则王老师刚好选中“二胡”的概率为 ． 【变式8-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在一棋盘中，“马”的位置在图中虚线的下方，“马”移动一次能够到达的所有位置已用“·”标记，则“马”随机移动一次，到达的位置在虚线下方的概率是 ． 【变式8-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图是一组悬挂在天花板上的创意吊灯，清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个被取下的吊灯是的概率是 ． 【变式8-3】（25-26九年级上·重庆·期末）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是 ． 【题型9 已知概率求数量】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 【变式9-1】（25-26九年级上·全国·期末）一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则蓝球的个数是 ． 【变式9-2】（2026九年级·广西·专题练习）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】在一个不透明的袋子里装有若干个形状和大小均相同的红、绿、白三种颜色的小球，现从袋中任意摸出一个球，其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为，已知红色小球的个数为3，那么袋子里共有小球（   ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【题型10 游戏公平性】 【例10】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说， （填“公平”或“不公平”） 【变式10-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【变式10-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为和的同心圆，如图．他们蒙上眼在一定距离外向同心圆内部掷石子，落在阴影内则小红胜，落在小圆内则小明胜．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【题型11 几何概率】 【例11】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，由16个相同的小正方形格子组成的图形，在图中任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． 【变式11-1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【变式11-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（   ） A．1 B．4 C． D． 【题型12 概率的应用】 【例12】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式12-1】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【变式12-2】（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【变式12-3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $