精品解析：湖南省永州市2025-2026学年上学期高一期末考试数学试题

2025年下期高一期末考试 数学 注意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 2. 命题，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用命题否定的规则求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数、一次函数、指数函数和反比例函数的单调性即可直接分析判断得解. 【详解】因为函数在区间上单调递增，函数为增函数， 所以函数在区间上单调递增，故A正确； 函数、在区间上均单调递减， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故BCD错误. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，诱导公式及三角函数值符号比较大小. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：D 5. 某企业初始年利润为1，每年以的增长率递增，至少经过（ ）年后年利润会翻一番？（参考数据：） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列指数方程，化为对数求解. 【详解】由题，，即，两边同时取以为底的对数， 得，由换底公式， 因为年数为整数，当时，，利润尚未翻一番， 故至少经过年后利润会翻一番， 故选：B. 6. 将函数的图象经过平移得到的图象，直线为的图象在轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，解得，再根据正弦函数的平移即可求解． 【详解】当时，，且， 又为的图象在轴右侧的首条对称轴， ，解得， ，， 故可以向左平移个单位得到， 也可以向右平移个单位得到． 故选：C． 7. 已知，非空集合，，若，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合相等，求得的关系式，利用基本不等式可求答案. 【详解】设，则，因为，所以,即； 因为，所以，即. 因为， 当且仅当时，取得最小值. 故选：C 8. 已知，则（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同构可得，故可得正确的选项. 【详解】由可得， 由可得，故， 设， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故， 故即，故. 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法及特殊值法，逐一判断即可. 【详解】对于A：由题可知，，故，故A正确； 对于B：，由题可知，， 故，，则，即，故B正确； 对于C：若，此时，故C错误； 对于D：，由题可知，， 故，则，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 函数，则（ ） A. 函数的最小正周期 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间的值域为 D. 若，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数恒等变换化简，然后根据正弦函数的图象和性质逐项判断即得. 【详解】， 对于A:，A正确； 对于B：当时，， 所以函数的图象不关于点对称，B错误； 对于C：因为，所以， 当，即时，取得最小值, 当 ，即时，取得最大值， 所以在区间的值域为，C正确； 对于D：因为， 所以或， 解得或，D错误； 故选：AC. 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等领域得到广泛应用．已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，当时，，则（ ） A. 双曲正切函数为奇函数 B. 对任意实数，不等式恒成立，则 C. 若，则 D. 存在实数，使得函数有3个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性判断A即可；先确定双曲正弦函数的奇偶性及单调性，再利用奇偶性及单调性得到不等式，结合二次型函数恒成立的等价条件求解即可判断B；，结合可得即可判断C；令，则，结合双曲型函数确定单调性，进而得到解得情况，再因式分解解方程得或，最后由零点个数得到的范围即可判断D． 【详解】对于A，，， 双曲正切函数为奇函数，故A正确； 对于B，， ，为奇函数， 又因为为增函数，为减函数，所以为上的增函数， ，则， ，即在上恒成立， ①时，成立，符合题意； ②时，，解得； 综上，，故B错误； 对于C，， 当时，由整理可得， 即，故，故C正确； 对于D，令，当且仅当时取得， 且当时，单调递减，当时，单调递增， ， 时，无实数解；时，有一个实数根； ，有两个实数根； 又， ， 则或， 又函数有3个零点， 且当时，即，解得， 所以，即有两个实数根， 则，解得，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是偶函数，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及偶函数特性求出. 【详解】幂函数是偶函数，则，解得或， 当时，是偶函数； 而当时，是奇函数，不符合题意， 所以. 故答案为：2 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对含的齐次式化简后解方程即可. 【详解】由知. 对等式的左边分子、分母同时除以得 ，解得. 故答案为：. 14. 已知函数有个零点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据绝对值，先因式分解，得到，分类讨论含绝对值的方程即可通过分析方程根的个数来确定，进而求出结果. 【详解】有4个不同的零点即为有4个不同的实数根. 不妨设， 由①， 可得或， 当时，为， 可得或， 当时，为， 则， 若，即，方程为，得， 此时方程①共有4个不同的零点，故. 若，即， 若，则时的两根不符合，舍去， 又对于时，，最多有两根，加上，不符合题意； 若，对于时，，解得或， 加上，方程①共有三个根，不符合题意； 若，满足时的根， 对于时，有两根，一正一负，其中负根为， 因为，故， 故负根舍去，此时加上，此时方程①最多3根，故不符合题意； 若，时只有一根， 对于时，，或， 加上，此时方程①有4个不同零点，符合题意， 故， 若，时有两根或， 加上，已有三个根， 所以时，有两根，且两根相等， 所以又两根之和为，故其根为，所以，这与矛盾，舍； 综上，或. 故答案为：或 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式的解集为，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合，将代入集合可得集合，依据补集与交集的运算即可求得； （2）由可得集合是集合的子集，分情况讨论，当集合时，可解的取值范围是，当时，可解的取值范围是，综上即可求得所有满足条件的的取值范围. 【小问1详解】 当时，有集合， 解，得，则集合，故， 则有. 【小问2详解】 若，则有集合是集合的子集，由（1）得集合， ①当集合时，有，解得，满足题意， 此时的取值范围是， ②当集合时，有，解得， 因为集合是集合的子集，则有，解得， 此时的取值范围是， 综上，的取值范围是. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）7； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式求出，再利用差角的正切公式求解. （2）由（1）结合二倍角公式求出，利用平方关系求出，再利用和角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由，得， 所以. 17. 2025年湘超足球城市联赛中，永州队问鼎冠军，永州成功出圈.永州某企业利用此契机，并经过市场调研发现：某产品的产量万件与成本万元满足如下关系：，当时，产量为7万件，当时，产量为23万件.固定成本为10万元，已知该产品的售价为10元/件，假设该产品能全部售完，记该产品利润为（单位：万元）. （1）求利润关于的关系式； （2）当为多少时，该产品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当 时，该产品的利润最大，最大利润为240万元. 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出 中 、 的值，再根据利润 = 收入 - 成本，分别求出不同区间内的利润表达式； （2）分别分析不同区间内利润函数的单调性，进而求出最大值，最后比较两个区间内的最大值，得到整个定义域内的最大利润. 【小问1详解】 因为当 时，产量为7万件；当 时，产量为23万件，将其代入 可得方程组： ， 解得 ，， 所以， 已知固定成本为10万元，产品售价为10元/件，根据利润=收入-成本，可得 当 时： ， 当 时： ， 因此； 【小问2详解】 当 时，， 函数图象开口向上，对称轴为， 因为对称轴 ，所以 在 上单调递增， 则当 时， 取得最大值 (万元)， 当 时，， 令 ，则 ，，代入得 ， 由基本不等式，， 当且仅当 ，即 ，（）时取等号， 所以，此时 ， 因为， 所以当 时，该产品的利润最大，最大利润为 240 万元. 18. 已知将函数的图象向右平移1个单位长度，所得函数图象与函数的图象关于直线对称. （1）讨论的零点个数； （2）对任意，存在，使得恒成立，求实数的取值范围； （3）已知两点在函数的图象上，其横坐标分别为，两点在函数的图象上，两点关于直线对称，两点关于直线对称，判断是否存在四边形为正方形，请说明理由. 注： 【答案】（1）1 （2） （3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）判断单调性，结合零点存在定理可判断零点个数； （2）利用单调性等价转化为，分别求解左右两个式子的值域，根据值域的包含关系可得答案； （3）根据正方形邻边相等且垂直得出的关系，结合两者关系可判断是否存在四边形为正方形. 【小问1详解】 因为， ，所以 ， 因为均为增函数，所以 也是增函数， 因为，所以仅有一个零点. 【小问2详解】 因为为增函数，所以， 即，即， 令，因为， 则 ， 因为，所以. 因为，所以，因为，所以， 由题意可得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题意，； ，， 假设存在四边形为正方形，则， 由可得，即，所以； 由可得，即有， 因为，由图可知，所以，代入， 得，令得， 令，因为， 所以在内有解，故存在四边形为正方形. 19. 对于定义域在区间的函数定义：，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值. （1）已知函数，求与的表达式； （2）已知函数，若与为同一函数，求的取值范围； （3）已知函数，对任意恒成立，求正整数的最小值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据题中所给函数新定义，即可求得答案； （2）由题意可判断在上单调递减，结合余弦函数的单调性列不等式求解，即得答案； （3）令，将化为，结合正弦函数的性质可确定的表达式，从而可得的表达式，结合对任意恒成立，列不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可知函数， 故，； 【小问2详解】 由于函数， 若与为同一函数，则 在上单调递减， 因为若函数在某处递增，则存在某个​，使得对某个成立， 此时，矛盾； 因为，故， 要使得在上单调递减，需满足，解得， 故的取值范围为； 【小问3详解】 由题意知， 令，则即为 ， 当时，即时，取得最大值4； 当时，即时，； 当时，即时，；当时，即时，； 故， ， 于是， 对任意恒成立， 当，即时，在时取最大值， 此时，则可得，即； 当，即时，， 此时要使得恒成立，只需； 当，即时，在时取最大值， 此时，则可得，即； 由此可知正整数的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期高一期末考试 数学 注意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 某企业初始年利润为1，每年以的增长率递增，至少经过（ ）年后年利润会翻一番？（参考数据：） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 将函数的图象经过平移得到的图象，直线为的图象在轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 7. 已知，非空集合，，若，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 已知，则（ ） A. 2026 B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则（ ） A. 函数的最小正周期 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间的值域为 D. 若，则或 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等领域得到广泛应用．已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，当时，，则（ ） A. 双曲正切函数为奇函数 B. 对任意实数，不等式恒成立，则 C. 若，则 D. 存在实数，使得函数有3个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是偶函数，则______. 13. 已知，则__________. 14. 已知函数有个零点，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式的解集为，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 2025年湘超足球城市联赛中，永州队问鼎冠军，永州成功出圈.永州某企业利用此契机，并经过市场调研发现：某产品的产量万件与成本万元满足如下关系：，当时，产量为7万件，当时，产量为23万件.固定成本为10万元，已知该产品的售价为10元/件，假设该产品能全部售完，记该产品利润为（单位：万元）. （1）求利润关于的关系式； （2）当为多少时，该产品的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知将函数的图象向右平移1个单位长度，所得函数图象与函数的图象关于直线对称. （1）讨论的零点个数； （2）对任意，存在，使得恒成立，求实数的取值范围； （3）已知两点在函数的图象上，其横坐标分别为，两点在函数的图象上，两点关于直线对称，两点关于直线对称，判断是否存在四边形为正方形，请说明理由. 注： 19. 对于定义域在区间的函数定义：，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值. （1）已知函数，求与的表达式； （2）已知函数，若与为同一函数，求的取值范围； （3）已知函数，对任意恒成立，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $