精品解析：湖南省永州市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试卷

湖南省永州市2024-2025学年高一上学期末质量检测数学试卷 命题人：杨迪虹（永州一中）周海洋（双牌二中） 刘广奇（祁阳一中）石宇（江华一中） 审题人：席俊雄（永州市教科院） 主意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用全称命题的否定形式，即可得解. 【详解】，则. 故选：B 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断ABC选项，利用作差法可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，在不等式的两边同时除以得，C错； 对于D选项，，故，D对. 故选：D. 4. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义即可得到，从而得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则，的符号不确定. 故选：A 5. 设，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【详解】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 6. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用诱导公式及余弦函数的性质判断C，利用诱导公式及正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递增，所以，故B错误； 对于C：，， 又在上单调递减，所以，即，故C错误； 对于D：，， 又在上单调递增，所以，所以，故D正确. 故选：D 7. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（ ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A. 东汉 B. 三国 C. 西晋 D. 东晋 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得时，，由此可求，再由列方程求判断结论. 【详解】因为大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半， 所以可近似认时，， 又与死亡年数之间的函数关系式为， 所以，故， 所以， 令，可得， 两边取以为底数的对数可得，又， 所以， ， 所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋. 故选：C. 8. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由在上单调递增，可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】令，其中在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由可得， 即，所以，即， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二分法的适用条件可得出合适的选项. 【详解】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点. 故选：AC. 10. 已知函数的图象为，则下列结论正确的是（ ） A. 上所有点向左平移得到函数的图象 B. 上所有点向右平移得到函数的图象 C. 上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象 D. 上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过伸缩变换和平移变换，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，将上所有点向左平移， 则得，故A错误； 对于B，将上所有点向右平移， 则得，故B正确； 对于C，将上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍， 则得，故C正确； 对于D，将上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍， 则得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（ ） A. B. 函数的周期为2 C. D. 若函数与的图象恰有2025个交点，则所有交点的横纵坐标之和为4050 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可得从而判断A；根据和为奇函数可推出从而判断B；由可得到的性质从而判断C；由和图象的对称性可判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，故A正确； B选项，因为是奇函数，所以， 即，又， 所以，所以， 所以，所以函数的周期为2，故B正确； C选项，， 而不一定成立， 所以不成立，故C错误； D选项，由和， 可知和的图象均关于点对称， 若函数与的图象恰有2025个交点， 由对称性可知所有交点的横坐标之和和纵坐标之和均为2025， 故横纵坐标之和为4050，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性和周期性的综合分析，以及函数对称性和零点问题的结合，综合性较强，需要学生具有一定的分析问题和解决问题的能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数的图象过点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据幂函数定义设，由图象过求，将代入函数解析式求结论． 【详解】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 圆心角为，面积为的扇形，则该扇形的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为，由扇形的面积公式列方程即可求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的面积为，圆心角为， 由扇形的面积，可得：，解得：. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，求出的取值范围，根据函数在区间内的零点个数可得出关于的不等式；当时，求出的取值范围，根据函数在区间上的单调性，可得出关于的不等式组，综合可得出的取值范围. 【详解】因为函数在区间上恰有个零点， 令，可得，当时，， 所以，，解得， 又因为函数在区间上单调递减， 当时，， 则，其中， 所以，，解得，， 由解得，故，则， 综上所述，正实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，根据集合的并集的概念运算可得； （2）利用交集的定义可解得结果. 【小问1详解】 当时，，又， 所以. 【小问2详解】 因为， 显然，则， 若， 则或，解得或， 所以a的取值范围为. 16. 已知函数且在上的最大值与最小值之和为5. （1）求； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由代入计算，即可求得； （2）根据题意，令，即可得到的范围，再由对数函数的单调性即可得到结果. 【小问1详解】 因为函数在上单调函数， 由在上的最大值与最小值之和为5可得， 即，即，所以， 即. 【小问2详解】 令， 由不等式可得， 即，解得， 由可得， 即，不等式等价于，即或，且， 所以或， 所以不等式的解集为或. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，对称轴方程为 【解析】 【分析】（1）化简，利用最小正周期的计算公式求解； （2）利用求单调区间和对称轴的方法求解即可. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 令，解得：， 所以函数的单调递增区间为. 令，解得：， 所以图象的对称轴方程为. 18. 表示不超过的最大整数，例如，，已知偶函数和奇函数满足. （1）求的解析式； （2）求证：； （3）若关于的方程有两个不相等的正实数根，当取最小值时，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，与联立即可求得与； （2）根据已知条件，分别计算与的值即可证明； （3）通过换元将方程变形为一元二次方程，根据题意讨论的取值范围，利用基本不等式求得取最小值时的值，代入方程解得方程的两个根，从而求得与的范围即可求解. 【小问1详解】 ，①，， 是偶函数，是奇函数，，② 由②+①得，由②-①得. 【小问2详解】 ， ， ， . 【小问3详解】 ， ， 依题意：为方程两个不相等的实数根，且， 令， 在上单调递增， 当时，， ，， 代入方程得：， 为方程两个不相等的实数根，且，其中， ，解得：， ， ， 当且仅当即时等号成立，取到最小值. 将代入方程得，解得， 即， 在上单调递增， ， 又， ， . 19. 两个非空有限整数集M，N，定义，对，. （1）若中元素之和小于6，求集合； （2）若且，求出所有满足条件的数集； （3）已知，在（2）的条件下，当且时，求函数的值域. 【答案】（1）或或或或或或或或或 （2）或或 （3）时，值域为 时，值域为 时，值域为 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义可求； （2）分析集合间的关系，得到，先求得集合，即可求得集合. （3）在（2）的条件下求出就不同的取值分类计算后可得函数的值域. 【小问1详解】 为三元素集，所以中元素个数为2或3， 所以或或或， 所以或或或 或或或或 或或. 【小问2详解】 由题意得，， 设，且，则， 所以，解得， 所以集合中只能有， 若，则，不符合要求； 若或，则， 若或，则， 所以集合的所有情况为：或或， 所以，因为，所以， 如果，则或或，符合题意； 如果，则，符合题意； 如果，则，符合题意. 综上，或或. 【小问3详解】 由（2）知，，， ①时，，所以值域为； ②时， 所以值域为； ③时，，无解，函数不存在； ④时， ， 所以值域为； 综上，时，值域为； 时，值域为； 时，值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省永州市2024-2025学年高一上学期末质量检测数学试卷 命题人：杨迪虹（永州一中）周海洋（双牌二中） 刘广奇（祁阳一中）石宇（江华一中） 审题人：席俊雄（永州市教科院） 主意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A B. C. D. 4. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 6. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 生物体死亡后，它机体内原有碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（ ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A. 东汉 B. 三国 C. 西晋 D. 东晋 8. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象为，则下列结论正确的是（ ） A. 上所有点向左平移得到函数的图象 B. 上所有点向右平移得到函数的图象 C. 上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象 D. 上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象 11. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（ ） A. B. 函数周期为2 C. D. 若函数与的图象恰有2025个交点，则所有交点的横纵坐标之和为4050 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数的图象过点，则______. 13. 圆心角为，面积为的扇形，则该扇形的半径为______. 14. 已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数且在上的最大值与最小值之和为5. （1）求； （2）求不等式解集. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程. 18. 表示不超过的最大整数，例如，，已知偶函数和奇函数满足. （1）求的解析式； （2）求证：； （3）若关于的方程有两个不相等的正实数根，当取最小值时，求的值. 19. 两个非空有限整数集M，N，定义，对，. （1）若中元素之和小于6，求集合； （2）若且，求出所有满足条件的数集； （3）已知，在（2）的条件下，当且时，求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$