精品解析：河南平顶山市汝州市2025～2026学年上学期期末质量检测 九年级数学

2025~2026学年上学期期末质量检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的值等于（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选B． 3. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 5. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率． 根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，长方形的面积为， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， 不规则图案的面积大约为． 故选：C． 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量旗杆的高度 测量目标示意图 相关数据 米，， 设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，设旗杆的高度米，根据解直角三角形表示出，的长，根据即可列出方程． 【详解】解：设旗杆的高度米， ∵， ∴在中，（米）， ∵， ∴在中，（米）， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个．经过市场调查发现，若每个商品的单价每提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证获得8000元的利润，则每个商品的售价应定为多少元？小明根据题意列出的方程为（500﹣10x）（10+x）＝8000．下面对该方程的理解错误的是（　　） A. 未知数x的意义是每件商品的售价提高了x元 B. 未知数x的意义是每件商品的售价为x元 C. 式子（500﹣10x）的意义是销售的数量 D. 式子（10+x）的意义是每件商品的利润 【答案】B 【解析】 【分析】设每件涨价x元，则每件利润为（50-40+x）元，销售量为（500+10x）件，等量关系为：每件的利润×数量=8000，据此列方程即可． 【详解】设每件涨价x元，由题意得 （500﹣10x）（10+x）＝8000．． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到提高价格后的销售量是解决本题的难点；得到总利润的等量关系是解决本题的关键． 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点P作轴于点A，连接，下列结论错误的是（ ） A. 的面积是3 B. C. 当时， D. 点在上，当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，求出t和k的值． 根据反比例函数，一次函数的交点问题，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， 则由图像，可知当时，，故C正确，不符合题意； 把代入得：， 解得，故B正确，不符合题意； ∵轴，， ∴的面积是，故A正确，不符合题意； 当时，中，y随x的增大而减小， ∴时，，故D错误，符合题意． 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”中随机选择一个软件验证数学问题，则两人选择软件相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率. 画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：记“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”分别为A，B，C，D，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人选择软件相同的结果有4种， 故两人选择软件相同的概率是． 故答案为：． 12. 如图，小张、婷婷之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小张、婷婷的身高分别为，，则路灯的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心投影，等腰直角三角形性质，解题的关键是掌握等腰直角三角形性质． 根据人的身高和影长一样长，得到等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质列式求出路灯的高，即可解题． 【详解】解：如图，由题知，在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴路灯的高为． 故答案为：． 13. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小；通过计算各点到抛物线对称轴的距离，结合抛物线开口向上的性质，距离对称轴越远函数值越大，从而比较大小． 【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向上， ∴点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ． ∵抛物线开口向上，函数值随点到对称轴距离的增大而增大， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点、、的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为． ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 故答案为：． 15. 某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1，7和1，8和1，9和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为10和1时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系的应用，解一元二次方程，根据题意，新矩形的周长和面积均为原矩形的，设新矩形的两边长，列出方程组，通过解一元二次方程求得两边长，取较短者即可． 【详解】解：原矩形的相邻两边分别为和，则周长为，面积为． 新矩形的周长为，面积为． 设新矩形的两边长分别为和， 则． 以、为根的一元二次方程为， 解得，． 即：新矩形的两边长分别为和，较短边的长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2）的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据判别式，即可解答； （2）根据（1）中得出的k的取值范围，得出整数的值为2、3，分别求出当时，当时，方程的解，即可解答． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 即 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 为整数， 整数的值为2、3， 当时，方程为， 解得，， 当时，此时方程解不为整数， 综上所述，的值为2． 17. 如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． （1）根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； （2）在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长； （3）求这个几何体的侧面积． 【答案】（1） （2） 解：左视图如下图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图、勾股定理，三视图是从几何体的正面、左面、上面观察到的几何体的平面图形． （1）过点作，根据等腰梯形的性质求出，利用勾股定理求出等腰梯形的高； （2）从左面看，左视图是矩形,宽等于（1）中梯形的高，高等于主视图中棱柱的高； （3）几何体的侧面是四个矩形，其中左侧和右侧的矩形的长是宽是，正面的矩形长是宽是，后面的矩形长是宽是，根据矩形的面积公式求出四个矩形的面积之和即为几何体的侧面积． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作， 四边形是等腰梯形， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 这个几何体的侧面积是． 18. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则的长为______． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形，对角线，相交于点O， ，即， ，， ，， ， 四边形是矩形； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得，再根据“三个角是直角的四边形是矩形”即可求证； （2）根据菱形的性质，可得，，再根据勾股定理，可求，最后依据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”和矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， E是边的中点， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】（1）直吊臂的长为10米 （2）上升了5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； 【小问2详解】 解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 20. 如图，已知直线，它与反比例函数相交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象． （3）过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）函数图象如下： （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式及图象，熟练掌握反比例函数的解析式及图象是解题的关键． （1）将点代入直线得点的坐标为，将点代入反比例函数，即可得出答案； （2）根据反比例函数的解析式，选择点、、，并画出图象即可； （3）过点A作轴于点H，设点到的距离为，根据点的坐标及的面积为3，易求，即可得出点的横坐标为或，代入反比例函数解析式即可求出答案． 【小问1详解】 解：将点代入直线得：，即点的坐标为， 将点代入反比例函数得：，即， 则反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 根据反比例函数的解析式，如图所示，选择点、、，先描出这三个点，再画出反比例函数的图象； 【小问3详解】 如图所示，过点A作轴于点H，设点到的距离为， 点坐标为， ， ， ，即点到的距离为， 点的横坐标为， 点的横坐标为或， 分别代入反比例函数可得：或， 点P的坐标为或． 21. 如图，已知锐角中，边为12，高长为8，矩形的边在边上，其余两个顶点E，F分别在，边上，交于点K． （1）求的的值； （2）设，矩形的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值． 【答案】（1） （2），最大值为24 【解析】 【分析】（1）在矩形中，有，即可得，根据相似三角形对应边上的高之比也等于两个三角形的相似比，可得，即有，问题得解； （2）根据，，则有，即易证明四边形是矩形，进而可得．由第一问可知，，即，可得，表示出，则面积为，问题随之得解． 【小问1详解】 在矩形中，有， ∴， ∴，即与是一对对应边， ∵是的边上的高，是的边上的高，，， ∴， ∴， 即值为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 即四边形是矩形， ∴． 由第一问可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为24． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“灭龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为， ①______，______； ②火箭在运行过程中，有两个位置火箭的高度为，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． 故答案为：，． ②当时， 解得（不符合题意，舍去），， ∴， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 综合与实践 【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． 通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想： 猜想①：； 猜想②：； 猜想③：点E在上运动的过程中，四边形的面积不变． （1）上述猜想中正确的有______（填序号）． 【类比探究】 （2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究． 如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． ①请判断线段与的数量关系，并说明理由； ②点E在上运动时，四边形的面积______（填“不变”或“改变”）． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①②③；（2）①，②改变；（3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定与性质可得出结论； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可解答； ②由相似三角形的性质得出结论； （3）分两种情况，①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，，， ， ， 即， ， ， ， 又， ， ， ，， 猜想①、猜想②符合题意． ， ， ， 点在上运动的过程中，四边形的面积不变， 猜想③符合题意． 故答案为：①②③； （2），理由如下： 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． ②改变． 由①可知，且相似比为2， ， ， 点在上运动时，四边形的面积改变， 故答案为：改变． （3）分以下两种情况讨论： ①当四边形关于所在直线对称时，如图，此时交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． ②当四边形为矩形时，如图所示， ，，， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期期末质量检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的值等于（ ） A. B. 3 C. D. 2. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 5. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量旗杆的高度 测量目标示意图 相关数据 米，， 设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个．经过市场调查发现，若每个商品的单价每提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证获得8000元的利润，则每个商品的售价应定为多少元？小明根据题意列出的方程为（500﹣10x）（10+x）＝8000．下面对该方程的理解错误的是（　　） A. 未知数x的意义是每件商品的售价提高了x元 B. 未知数x的意义是每件商品的售价为x元 C. 式子（500﹣10x）的意义是销售的数量 D. 式子（10+x）的意义是每件商品的利润 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点P作轴于点A，连接，下列结论错误的是（ ） A. 的面积是3 B. C. 当时， D. 点在上，当时， 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”中随机选择一个软件验证数学问题，则两人选择软件相同的概率为___________． 12. 如图，小张、婷婷之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小张、婷婷的身高分别为，，则路灯的高为______． 13. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 15. 某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1，7和1，8和1，9和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为10和1时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，且，，都是整数，求的值． 17. 如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． （1）根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； （2）在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长； （3）求这个几何体的侧面积． 18. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则的长为______． 19. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 20. 如图，已知直线，它与反比例函数相交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象． （3）过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标． 21. 如图，已知锐角中，边为12，高长为8，矩形的边在边上，其余两个顶点E，F分别在，边上，交于点K． （1）求的的值； （2）设，矩形的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“灭龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为， ①______，______； ②火箭在运行过程中，有两个位置火箭的高度为，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 综合与实践 【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． 通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想： 猜想①：； 猜想②：； 猜想③：点E在上运动的过程中，四边形的面积不变． （1）上述猜想中正确的有______（填序号）． 【类比探究】 （2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究． 如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． ①请判断线段与的数量关系，并说明理由； ②点E在上运动时，四边形的面积______（填“不变”或“改变”）． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $