4.2全等三角形＆4.3探索三角形全等的条件寒假预习讲义（3知识点+16大题型+过关检测） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

4.2全等三角形＆4.3探索三角形全等的条件寒假预习讲义 （3知识点+16大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 全等三角形的概念】 1 【题型2 全等三角形的性质】 2 【题型3 用SSS证明三角形全等】 4 【题型4 用SSS间接证明三角形全等】 5 【题型5 全等的性质和SSS综合】 8 【题型6 尺规作图——作三角形】 9 【题型7 三角形的稳定性及应用】 11 【题型8 四边形的不稳定性】 13 【题型9 用ASA（AAS）证明三角形全等】 14 【题型10 全等的性质和ASA(AAS)综合】 16 【题型11 用SAS证明三角形全等】 19 【题型12 用SAS间接证明三角形全等】 20 【题型13 全等的性质和SAS综合】 24 【题型14 灵活选用判定方法证全等】 26 【题型15 结合尺规作图的全等问题】 28 【题型16 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 31 1.能准确说出全等图形、全等三角形的定义，识别生活中的全等图形。 2.记住全等三角形的表示方法，明确对应顶点、对应边、对应角的含义及标注规则。 3.掌握全等三角形的基本性质，能结合简单图形运用性质得出对应边、对应角相等。 4.明确“判定两个三角形全等，不需要逐一验证所有边和角相等”，理解探索全等条件的核心思路（从“多元素”到“少元素”筛选）。 5.记住三角形全等的4种基本判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），明确每种方法的条件要求。 6.能结合简单图形，运用判定方法判断两个三角形是否全等，掌握简单的书写格式。 模块三 知识点梳理 知识点1 全等三角形 1. 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2. 表示方法：用符号“≌”表示，读作“全等于”。例如，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，注意：标注时，对应顶点的字母必须写在对应位置上（如A对应D、B对应E、C对应F），这样能快速确定对应边和对应角。 3. 对应元素的判定方法（预习重点）： · 平移变换：两个三角形平移后重合，对应边平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，对应顶点顺序不变。 · 旋转变换：两个三角形绕某一点旋转后重合，对应边、对应角的大小不变，对应顶点到旋转中心的距离相等。 · 翻折变换：两个三角形沿某一条直线翻折后重合，翻折前后的对应边、对应角相等，对应点的连线被翻折轴垂直平分。 · 简单规律：最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角。 4. 全等三角形的性质（核心）：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（可简写为“全等三角形，对应边、对应角分别相等”） 5. 性质应用：已知一个三角形的边长、角度，若它与另一个三角形全等，则可直接得出另一个三角形对应的边和角的大小。 知识点2 探索全等条件的核心思路 两个三角形全等，需要3条边、3个角都对应相等（共6个条件），但实际不需要逐一验证。通过逐步减少验证的元素（从1个、2个到3个），筛选出能唯一确定三角形形状和大小的条件，即为三角形全等的判定条件。 关键结论：1个元素（1条边或1个角）、2个元素（2条边、2个角或1条边1个角），都不能唯一确定三角形的形状和大小，无法判定全等；3个合适的元素，能唯一确定三角形的形状和大小，可以判定全等。 知识点3 三角形全等的4种基本判定方法（重点+难点） 1. 边边边（SSS） · 条件：三边对应相等的两个三角形全等。 · 简写：SSS（Side-Side-Side）。 · 说明：只要两个三角形的三条边对应相等，无论形状看起来如何，一定能完全重合（可通过尺规作图验证：已知三边，只能画出唯一的三角形）。 · 简单书写格式：在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）。 2. 边角边（SAS） · 条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 · 简写：SAS（Side-Angle-Side）。 · 关键提醒：“夹角”是指两条对应边之间的角，不是其中一条边的对角（易错点：避免误把“两边及其中一边的对角”当作判定条件，这种情况不能判定全等，即“SSA”无效）。 · 简单书写格式：在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。 3. 角边角（ASA） · 条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 · 简写：ASA（Angle-Side-Angle）。 · 关键提醒：“夹边”是指两个对应角之间的边，与“边角边”的“夹角”逻辑一致，都是“两元素之间的第三元素”。 · 简单书写格式：在△ABC和△DEF中，∵∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）。 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 4. 角角边（AAS） · 条件：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 · 简写：AAS（Angle-Angle-Side）。 · 推导：由三角形内角和为180°可知，若两个三角形的两个角对应相等，则第三个角也必然对应相等，因此“AAS”可看作“ASA”的推论，同样能判定全等。 · 简单书写格式：在△ABC和△DEF中，∵∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS）。 易错点梳理（预习必看） · 混淆“对应边、对应角”与“任意边、任意角”：判定全等时，必须强调“对应”，非对应边、非对应角相等，不能判定全等。 · 误用“SSA”判定全等：“两边及其中一边的对角对应相等”（如AB=DE，BC=EF，∠A=∠D），不能保证两个三角形全等，预习时可通过画图对比验证。 · 混淆“全等判定方法”与“全等性质”：判定方法用于“证明两个三角形全等”，性质用于“已知两个三角形全等，求对应边、对应角的大小”，二者用途相反。 · 书写不规范：标注全等时，对应顶点字母顺序错误；书写判定过程时，遗漏“∵”“∴”，或不标注判定方法（如SSS、SAS）。 模块四 题型汇总 【题型1 全等三角形的概念】 【典例1】．下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 【变式1-1】．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【变式1-2】．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【题型2 全等三角形的性质】 【典例2】．如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，通过全等三角形得到对应边相等是解题的关键． 首先根据全等三角形得到，，即可求解的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式2-1】．如图， ， 则 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解答本题的关键． 根据三角形全等的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2-2】．如图，，点在线段上，，则的度数为 ． 【答案】/44度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，所以，从而得到，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 用SSS证明三角形全等】 【典例3】．如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴． 故选：B． 【变式3-1】．如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，具体步骤如下： ①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②画射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，与上一步所画弧交于点； ④过点画射线，则． 从作图过程中，能判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由作图可知，然后问题可求解． 【详解】解：由作图可知， ∴； 故选D． 【变式3-2】．如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，以为公共边可以画3个三角形，以为公共边可以画2个三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边， 故选：B． 【题型4 用SSS间接证明三角形全等】 【典例4】．角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作图方法与作图原理，解题的关键是要理解作图过程得出，，． 连接、，由作图可证，则，而证明的条件就是作图的依据． 【详解】解：如图④所示：连接、 在与中，由作图可知： 故答案为：． 【变式4-1】．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 【变式4-2】．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 【题型5 全等的性质和SSS综合】 【典例5】．如图，在中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】在和， ， ， ． 故选：B． 【变式5-1】．如图，在四边形中，，点E、F在边上，且，连接AF、DE，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．先根据，得出，再利用“”证明，最后利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：，且点E、F在边上， ， ． 又，， ， ． 【变式5-2】．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的“”判定方法是解决本题的关键． 先证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ． ． 【题型6 尺规作图——作三角形】 【典例6】．（1）已知的直角边和斜边分别等于如图所示的线段a、c的长，请用直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在下面的网格图中的顶点都在格点上，请在网格图中找出所有符合条件的点D，使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作三角形， （1）作直线l，在直线l上取点C，以点C为圆心，a为半径画弧，交l于点B，D，然后作出的垂直平分线，以点B为圆心，以c为半径画弧，交的垂直平分线于点A，连接即可； （2）根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点D即为所求． 【变式6-1】．已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 【变式6-2】．已知线段a，求作，使． 【答案】画图见详解． 【分析】本题考查的是几何作图，灵活运用圆的半径相等的性质是解题的关键．根据圆的半径相等的性质得到、，进而作出三边相等的． 【详解】解：首先作射线，并在上取线段，再分别以、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，然后连接、，即可得到． 如图所示，即为所求． 【题型7 三角形的稳定性及应用】 【典例7】．下列生活中的实例应用了三角形的稳定性的是（    ） A．学校大门口的伸缩门 B．用两颗钉子把木条固定在墙上 C．自行车的三角车架 D．把弯曲的河道改直 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用．根据三角形的特性，判断各选项是否利用了三角形的稳定性． 【详解】解：A． 学校大门口的伸缩门应用了四边形的不稳定性； B． 用两颗钉子把木条固定在墙上应用了两点确定一条直线； C． 自行车的三角车架应用了三角形的稳定性； D． 把弯曲的河道改直应用了两点之间线段最短； ∴ 应用了三角形的稳定性的是C， 故选：C． 【变式7-1】．如图，具有稳定性的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，判断图形是否由三角形构成即可确定其稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，判断每个图形是否由三角形构成，从而确定其稳定性． 【详解】解：观察题目中的四个图形： ①：是一个被一条对边上两点连线分割的四边形，整体结构仍由四边形构成，不具有整体稳定性； ②：是一个被两条对角线分割的四边形，形成了四个三角形，由于完全由三角形构成，具有稳定性； ③：是一个被分割成多个三角形的多边形，所有基本单元都是三角形，因此具有稳定性； ④：是一个梯形，未被分割，属于四边形，不具备稳定性； 因此，具有稳定性的图形是 ②和③． 故选：B． 【变式7-2】．如图，在木门板钉一个斜的加固板，这样做的道理是（   ） A．利用三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解三角形具有稳定性，是解题的关键．根据三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】解：木门板是四边形，钉上一个加固板，变成了两个三角形，根据三角形的稳定性，可得答案是A． 故选：A． 【题型8 四边形的不稳定性】 【典例8】．下列图形不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性．三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项． 故选：A． 【变式8-1】．如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是 ． 【答案】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的性质，掌握四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性是解题的关键． 观察伸缩校门的结构，它由多个四边形组成，能够伸缩变形，结合四边形的特性，判断其利用的性质． 【详解】解：伸缩校门可以通过改变形状实现伸缩，这是因为四边形具有不稳定性，容易发生变形，因此它利用的四边形的性质是：四边形的不稳定性． 故答案为：四边形的不稳定性． 【变式8-2】．如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有 ． 【答案】不稳定性 【分析】本题考查四边形的不稳定性，根据四边形具有不稳定性，进行作答即可． 【详解】解：由题意，四边形具有不稳定性； 故答案为：不稳定性 【题型9 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【典例9】．如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 根据判断三角形全等可得结论． 【详解】解：，， ， 在△和△中， ， ， ． 故选：C． 【变式9-1】．如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，由利用线段和推出，再利用易证得，即可得到答案． 【详解】证明： 即 在与中 ． ． 【变式9-2】．如图，，交于点O，且O是中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先根据平行线的性质得，，再根据中点的定义得，然后证明即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵点O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型10 全等的性质和ASA(AAS)综合】 【典例10】．如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法. 【变式10-1】．如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据证明，则可得，，进而可解答． 【详解】解：∵、是的高， ， ，， ， ∵在和中， ， ， ，， ∴， ． 故答案为：7． 【变式10-2】．如图，已知，点A，B，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，可得，最后根据平行线的判定，即可证明结论； （2）根据线段的和差，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 【题型11 用SAS证明三角形全等】 【典例11】．如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题关键． 由中点得两组对应边相等，由对顶角相等得到一组对应角相等，根据判定定理证出． 【详解】解：为两根木条的中点， ，， ， 在与中， ， ． 故选：． 【变式11-1】．如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． 【变式11-2】．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，． 求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“边角边”的判定定理是解题的关键． 依题意可推出，然后根据“边角边”即可判定全等． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【题型12 用SAS间接证明三角形全等】 【典例12】．如图，，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【变式12-1】．如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定， （1）先根据已知条件和中点定义证出：，然后根据平行线的性质证出：，最后利用即可证出：，根据全等三角形的性质即可得，再由角的转化可得，即可证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：，，理由如下 ，是的中点， ，， ， ，， ， ， 在和中 ； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：，， ， ∵，， ． 【变式12-2】．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有___________； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲方案、乙方案 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）结合（1）解答即可． 【详解】（1）解：根据“边角边”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“角边角”证明，可得，所以方案乙可行， 故答案为：甲，乙； （2）证明：甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， （）． ． 【题型13 全等的性质和SAS综合】 【典例13】．如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在与， ∵， ∴， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 【变式13-1】．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．要测量工件内槽宽，可以根据，测量即可，这里判定全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 连接，，证明，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图， ∵点O分别是、的中点， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 故选：B． 【变式13-2】．如图，与相等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用． 利用判定，从而根据全等三角形的对应角相等得出． 【详解】解：相等，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴． 【题型14 灵活选用判定方法证全等】 【典例14】．下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据、、、等判定唯一三角形，同时考虑情况可能不唯一即可解答． 【详解】解：选项A：（两角及夹边，），能唯一画出； 选项B：（两角及一边，），能唯一画出； 选项C：（两边及非夹角，），有两个交点，不能唯一画出； 选项D：（三边，），满足三角形三边关系，能唯一画出； 故选C． 【变式14-1】．已知的六个元素如图，则甲、乙、丙三个三角形中和属于全等的图形是（   ）． A．甲、乙 B．乙、丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，结合图形，依次判断甲、乙、丙是否和已知图形全等，即可求解． 【详解】解：甲和已知图形有一条边相等，且边的对角相等，不能判定两个三角形全等； 乙和已知图形有两条边相等，且夹角相等，能判定两个三角形全等； 丙图和已知图形有两个角相等，一条边相等，能判定两个三角形全等； 综上所述，乙、丙和属于全等的图形． 故选：B． 【变式14-2】．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 【答案】甲同学的方案可行，理由见解析 【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学的方案只有一组角相等，一组公共边相等，不能证明两三角形全等．本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键． 【详解】甲同学的方案可行，乙同学方案不可行，理由如下： 甲同学方案：在和中，， ∴， ∴； 乙同学方案：只有，，不能证明两个三角形全等 ∴乙同学方案不可行 ∴只有甲同学的方案可行． 【题型15 结合尺规作图的全等问题】 【典例15】．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 【变式15-1】．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的判定定理证明，则，可得射线是角平分线． 【详解】证明：由作图过程可得， 在和中， ， ， ， 射线是角平分线． 故选：D． 【变式15-2】．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【详解】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， 如图1所示；    （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， 如图2所示；    （3）角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的；   角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 【题型16 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 【典例16】．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式16-1】．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 【变式16-2】．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 1．已知下图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则 的度数是（   ）模块五 过关检测 A． 或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 观察两个三角形的对应情况，直接求解即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 2．如图，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，准确识图确定出对应边是解题的关键． 先求出的长，再根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A 3．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解，包括等，不能保证唯一三角形；本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选项A：已知，但不是和的夹角，属于情况，不能唯一确定三角形； 选项B：已知三边的长度，符合定理，能唯一确定三角形； 选项C：已知，是和的夹角，符合定理，能唯一确定三角形； 选项D：已知，符合定理，能唯一确定三角形； 故选：A． 4．空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．全等三角形的对应角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的特性，即三角形具有稳定性．利用三角形具有稳定性的特性，空调外机的支架能够牢固地固定在墙上，不易变形，从而保证空调外机的稳定和安全． 【详解】解：空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的稳定性， ∴B、C、D错误，A正确， 故选：A． 5．如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，发现隐含条件是解题的关键．由已知条件可得，，再结合隐含条件即可解答． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 6．如图，在与中，给出以下六个条件：①；②：③；④；⑤；⑥．以其中三个作为已知条件，不能判定与全等的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑥ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、符合判定方法，能判定与全等； B、不符合全等三角形的判定方法，不能判定与全等； C、符合判定方法，能判定与全等； D、符合全等三角形的判定方法，能判定与全等． 故选：B． 7．如图，已知直线及直线外一点C，李明同学现进行如下操作： ①过点C作一条直线与直线相交于点E； ②以E为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，连接； ③以C为圆心，为半径作弧，在点C的上方交于点F； ④以F为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D； ⑤作直线．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，连接，由作图可得，，，证明，得出，再逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， 由作图可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴，故能由上述操作结果得出， ∴，故能由上述操作结果得出； 若，则，故能由上述操作结果得出； 是等边三角形，不能由上述操作结果得出，故符合题意； 故选：C． 8．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． 证明可判断①②正确；根据证明可判断④正确；无法判断③正确． 【详解】解：，，， ， ，，，故②正确； ， 即，故①正确； ，，， ，故④正确； 根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误． 故选：B． 9．如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，李林首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由角角边的判定定理证明与全等，再由即可求解． 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．如图所示的大正方形是由4个相同的小正方形组成的，则与的度数和为 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵在和中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…， （1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是 ； （2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 ． 【答案】 10 【分析】本题考查了全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． （1）根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果； （2）根据（1）中规律得出当有个点时，图中有对全等三角形即可确定答案． 【详解】解：（1）∵D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴， ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第4个图中有对全等三角形． 故答案为：； （2）由（1）知当有个点时，图中有对全等三角形， 故答案为：． 12．为测量一池塘不能直线到达的两端A，B间的距离，某数学兴趣小组同学设计了如下方案．如图，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E．测出的长为，请根据以上方案写出该距离，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可解答． 【详解】解：，理由如下： 根据题意得：，， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 13．已知：如图，与相交于点，与相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 14．如图，，，， 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，，得到，利用证明，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 15．如图1，中，．点D、E、F分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 16．已知是经过的顶点的一条直线，分别在上，且，是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面的问题： ①如图1，若，请探索三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件：__________，使①中的结论仍然成立． (2)如图3，若直线经过的外部，在的左侧，，请写出三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析；② (2)，证明见解析 【分析】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似． （1）①求出，根据证，推出即可； ②求出，根据证，推出即可； （2）求出，根据证，推出即可． 【详解】（1）解：（1）①，理由如下： 当点在点的左侧时， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 当在的右侧时， 同理可证， ． ②时，①中结论仍然成立； 证明：如图2中， ，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 当在的右侧时，如图4， 同理可证， ， 故答案为：； （2）解：． 理由是：如图3中， ， 又 ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 17．如图，在锐角中，分别以为腰作等腰和等腰，且与交于点． (1)求证：； (2)请用等式表示与的数量关系，并给予证明； (3)以为底边作等腰，若，则点这三点是否共线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)三点共线，理由见解析 【分析】（1）先证明，即可求证； （2）法一：由，得到，进一步得到，即可求证；法二：过点作，垂足分别为，则，求出，证明后逐步求证即可； （3）过点作，垂足分别为，则，依次求出，，，证明，得到，进一步得到，即可求证． 【详解】（1）证明：，，， ， 在和中， ， ； （2）解：法一： ， ， 记交于点， ，， ， ， ； 法二：过点作，垂足分别为， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：点三点共线，理由如下： 过点作，垂足分别为， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点三点共线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及到了等腰三角形与三点共线等问题，本题较综合，考查了学生的综合分析能力，属于压轴题类型． 18．【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 19．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 【答案】（1）①A，②；（2）40；（3）见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明； ②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解； （2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解； （3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）延长交于， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 20．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造辅助线． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，再判定，可得出． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴． 故答案为：； （2）成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2全等三角形＆4.3探索三角形全等的条件寒假预习讲义 （3知识点+16大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 全等三角形的概念】 4 【题型2 全等三角形的性质】 5 【题型3 用SSS证明三角形全等】 5 【题型4 用SSS间接证明三角形全等】 6 【题型5 全等的性质和SSS综合】 7 【题型6 尺规作图——作三角形】 8 【题型7 三角形的稳定性及应用】 9 【题型8 四边形的不稳定性】 9 【题型9 用ASA（AAS）证明三角形全等】 10 【题型10 全等的性质和ASA(AAS)综合】 10 【题型11 用SAS证明三角形全等】 11 【题型12 用SAS间接证明三角形全等】 12 【题型13 全等的性质和SAS综合】 13 【题型14 灵活选用判定方法证全等】 14 【题型15 结合尺规作图的全等问题】 15 【题型16 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 16 1.能准确说出全等图形、全等三角形的定义，识别生活中的全等图形。 2.记住全等三角形的表示方法，明确对应顶点、对应边、对应角的含义及标注规则。 3.掌握全等三角形的基本性质，能结合简单图形运用性质得出对应边、对应角相等。 4.明确“判定两个三角形全等，不需要逐一验证所有边和角相等”，理解探索全等条件的核心思路（从“多元素”到“少元素”筛选）。 5.记住三角形全等的4种基本判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），明确每种方法的条件要求。 6.能结合简单图形，运用判定方法判断两个三角形是否全等，掌握简单的书写格式。 模块三 知识点梳理 知识点1 全等三角形 1. 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2. 表示方法：用符号“≌”表示，读作“全等于”。例如，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，注意：标注时，对应顶点的字母必须写在对应位置上（如A对应D、B对应E、C对应F），这样能快速确定对应边和对应角。 3. 对应元素的判定方法（预习重点）： · 平移变换：两个三角形平移后重合，对应边平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，对应顶点顺序不变。 · 旋转变换：两个三角形绕某一点旋转后重合，对应边、对应角的大小不变，对应顶点到旋转中心的距离相等。 · 翻折变换：两个三角形沿某一条直线翻折后重合，翻折前后的对应边、对应角相等，对应点的连线被翻折轴垂直平分。 · 简单规律：最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角。 4. 全等三角形的性质（核心）：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（可简写为“全等三角形，对应边、对应角分别相等”） 5. 性质应用：已知一个三角形的边长、角度，若它与另一个三角形全等，则可直接得出另一个三角形对应的边和角的大小。 知识点2 探索全等条件的核心思路 两个三角形全等，需要3条边、3个角都对应相等（共6个条件），但实际不需要逐一验证。通过逐步减少验证的元素（从1个、2个到3个），筛选出能唯一确定三角形形状和大小的条件，即为三角形全等的判定条件。 关键结论：1个元素（1条边或1个角）、2个元素（2条边、2个角或1条边1个角），都不能唯一确定三角形的形状和大小，无法判定全等；3个合适的元素，能唯一确定三角形的形状和大小，可以判定全等。 知识点3 三角形全等的4种基本判定方法（重点+难点） 1. 边边边（SSS） · 条件：三边对应相等的两个三角形全等。 · 简写：SSS（Side-Side-Side）。 · 说明：只要两个三角形的三条边对应相等，无论形状看起来如何，一定能完全重合（可通过尺规作图验证：已知三边，只能画出唯一的三角形）。 · 简单书写格式：在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）。 2. 边角边（SAS） · 条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 · 简写：SAS（Side-Angle-Side）。 · 关键提醒：“夹角”是指两条对应边之间的角，不是其中一条边的对角（易错点：避免误把“两边及其中一边的对角”当作判定条件，这种情况不能判定全等，即“SSA”无效）。 · 简单书写格式：在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。 3. 角边角（ASA） · 条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 · 简写：ASA（Angle-Side-Angle）。 · 关键提醒：“夹边”是指两个对应角之间的边，与“边角边”的“夹角”逻辑一致，都是“两元素之间的第三元素”。 · 简单书写格式：在△ABC和△DEF中，∵∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）。 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 4. 角角边（AAS） · 条件：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 · 简写：AAS（Angle-Angle-Side）。 · 推导：由三角形内角和为180°可知，若两个三角形的两个角对应相等，则第三个角也必然对应相等，因此“AAS”可看作“ASA”的推论，同样能判定全等。 · 简单书写格式：在△ABC和△DEF中，∵∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS）。 易错点梳理（预习必看） · 混淆“对应边、对应角”与“任意边、任意角”：判定全等时，必须强调“对应”，非对应边、非对应角相等，不能判定全等。 · 误用“SSA”判定全等：“两边及其中一边的对角对应相等”（如AB=DE，BC=EF，∠A=∠D），不能保证两个三角形全等，预习时可通过画图对比验证。 · 混淆“全等判定方法”与“全等性质”：判定方法用于“证明两个三角形全等”，性质用于“已知两个三角形全等，求对应边、对应角的大小”，二者用途相反。 · 书写不规范：标注全等时，对应顶点字母顺序错误；书写判定过程时，遗漏“∵”“∴”，或不标注判定方法（如SSS、SAS）。 模块四 题型汇总 【题型1 全等三角形的概念】 【典例1】．下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【变式1-1】．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【变式1-2】．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【题型2 全等三角形的性质】 【典例2】．如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【变式2-1】．如图， ， 则 的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，，点在线段上，，则的度数为 ． 【题型3 用SSS证明三角形全等】 【典例3】．如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，具体步骤如下： ①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②画射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，与上一步所画弧交于点； ④过点画射线，则． 从作图过程中，能判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【题型4 用SSS间接证明三角形全等】 【典例4】．角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 【变式4-1】．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【变式4-2】．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【题型5 全等的性质和SSS综合】 【典例5】．如图，在中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．8 D．2 【变式5-1】．如图，在四边形中，，点E、F在边上，且，连接AF、DE，．求证：． 【变式5-2】．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【题型6 尺规作图——作三角形】 【典例6】．（1）已知的直角边和斜边分别等于如图所示的线段a、c的长，请用直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在下面的网格图中的顶点都在格点上，请在网格图中找出所有符合条件的点D，使得． 【变式6-1】．已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 步（填序号）． 【变式6-2】．已知线段a，求作，使． 【题型7 三角形的稳定性及应用】 【典例7】．下列生活中的实例应用了三角形的稳定性的是（    ） A．学校大门口的伸缩门 B．用两颗钉子把木条固定在墙上 C．自行车的三角车架 D．把弯曲的河道改直 【变式7-1】．如图，具有稳定性的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【变式7-2】．如图，在木门板钉一个斜的加固板，这样做的道理是（   ） A．利用三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 【题型8 四边形的不稳定性】 【典例8】．下列图形不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】．如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是 ． 【变式8-2】．如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有 ． 【题型9 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【典例9】．如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】．如图，已知，，，求证：． 【变式9-2】．如图，，交于点O，且O是中点，求证：． 【题型10 全等的性质和ASA(AAS)综合】 【典例10】．如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【变式10-1】．如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为 ． 【变式10-2】．如图，已知，点A，B，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型11 用SAS证明三角形全等】 【典例11】．如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】．如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 【变式11-2】．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，． 求证：； 【题型12 用SAS间接证明三角形全等】 【典例12】．如图，，，求证：平分． 【变式12-1】．如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 【变式12-2】．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有___________； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【题型13 全等的性质和SAS综合】 【典例13】．如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．要测量工件内槽宽，可以根据，测量即可，这里判定全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】．如图，与相等吗？请说明理由． 【题型14 灵活选用判定方法证全等】 【典例14】．下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】．已知的六个元素如图，则甲、乙、丙三个三角形中和属于全等的图形是（   ）． A．甲、乙 B．乙、丙 C．只有乙 D．只有丙 【变式14-2】．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 【题型15 结合尺规作图的全等问题】 【典例15】．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为 ． 【变式15-1】．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【变式15-2】．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【题型16 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 【典例16】．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【变式16-1】．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【变式16-2】．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 1．已知下图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则 的度数是（   ）模块五 过关检测 A． 或 B． C． D． 2．如图，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 4．空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．全等三角形的对应角相等 D．两点确定一条直线 5．如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在与中，给出以下六个条件：①；②：③；④；⑤；⑥．以其中三个作为已知条件，不能判定与全等的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑥ D．①②⑤ 7．如图，已知直线及直线外一点C，李明同学现进行如下操作： ①过点C作一条直线与直线相交于点E； ②以E为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，连接； ③以C为圆心，为半径作弧，在点C的上方交于点F； ④以F为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D； ⑤作直线．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．若，则 8．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，李林首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为 ． 10．如图所示的大正方形是由4个相同的小正方形组成的，则与的度数和为 ． 11．如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…， （1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是 ； （2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 ． 12．为测量一池塘不能直线到达的两端A，B间的距离，某数学兴趣小组同学设计了如下方案．如图，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E．测出的长为，请根据以上方案写出该距离，并说明理由． 13．已知：如图，与相交于点，与相交于点，，．求证：． 14．如图，，，， 求证：． 15．如图1，中，．点D、E、F分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)若，求的长． 16．已知是经过的顶点的一条直线，分别在上，且，是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面的问题： ①如图1，若，请探索三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件：__________，使①中的结论仍然成立． (2)如图3，若直线经过的外部，在的左侧，，请写出三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 17．如图，在锐角中，分别以为腰作等腰和等腰，且与交于点． (1)求证：； (2)请用等式表示与的数量关系，并给予证明； (3)以为底边作等腰，若，则点这三点是否共线？请说明理由． 18．【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 19．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 20．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $