2026年九年级数学中考复习 二次函数与角度问题压轴题 考前冲刺专题训练

2026年九年级数学中考复习《二次函数与角度问题压轴题》考前冲刺专题训练 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，并且，动点在过，，三点的抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由； (3)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由； 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，为的中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．已知抛物线：，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得抛物线． (1)抛物线的解析式为： ； (2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点，交抛物线于另一点在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行若的面积为，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系． 4．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）． （1）求这个抛物线的解析式． （2）点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P的坐标． （3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D．连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF．    5．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 6．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)点B的坐标为________，点D的坐标为________；（用含有m的代数式表示） (2)连接CD、BC． ①若CB平分，求二次函数的表达式； ②当时，若为该二次函数图象上不同两点，且，求证：． 7．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标； (3)点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 8．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标． （2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为 ． 9．如图，抛物线与轴交于点A（0，3），与轴交于B（-1，0），两点． （1）求抛物线的解析式； （2） 连接,点为抛物线上一点，且，求点的坐标； （3），是抛物线上两点，当， 时，总有，请直接写出的取值范围． 10．如图，已知抛物线与x轴交于点小B，与y轴分别交于点C，其中点，点． （1）求抛物线的解析式并确定形状； （2）点P是线段上一动点，过P作交于D，当面积最大时，求点P的坐标； （3）点M是位于线段上方的抛物线上一点，当恰好等于中的某个角时，直接写出M的坐标． 11．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为 ； (4)如图②，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线，过点作，垂足为点，动点分别从点同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是 ． 12．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与分别交于E，F两点，求的最大值； (3)将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出满足条件的M点横坐标． 13．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 14．如图，抛物线与x 轴交于点A和点B，与y轴交于点C ，． (1)求抛物线解析式． (2)点D是抛物线上第一象限内一点，连接交y轴于点E，点D的横坐标为t，设线段的长为d，求出d与t的函数关系式（直接写出t的取值范围）． (3)在（2）问的条件下，连接，，点K为线段上一点，连接，若，求线段的长． 15．已知抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，把直线向下平移，平移后的直线交轴于点，交轴左侧的抛物线于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，且位于第四象限，当时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)存在，点的坐标是：或 (3)存在，的坐标是或. 【分析】（1）求出点、的坐标，设抛物线的解析式是，将点、、的坐标代入解方程即可； （2）存在，由题意可知，线段的垂直平分线与抛物线的交点即为点，将代入抛物线解方程即可； （3）假设存在，分别以为直角顶点和点为直角顶点两种情况讨论，第一种情况，当以为直角顶点时，过点作，交抛物线于点．过点作轴的垂线，垂足是，由，通过角的和差可推出，从而得到，设，则，最后解方程即可；第二种情况，当点为直角顶点时，过作交抛物线于点，过点作轴的垂线，垂足是，连接交轴于点，同理可推出，设，则，最后解方程即可． 【详解】（1）解：由，可知， ， ，， ，． 设抛物线的解析式是，将点、、的坐标代入， ， 解得：， 故抛物线的解析式为． （2）解：存在， 作线段的垂直平分线交抛物线于点，    此时 ， ∴的垂直平分线表达式为 将代入抛物线，得 解得： 点的坐标是：或 （3）解：存在， 第一种情况，当以为直角顶点时，过点作，交抛物线于点．过点作轴的垂线，垂足是，如图，    ， ， ， ， 设，则 解得：（舍去）， ， 即． 第二种情况，当点为直角顶点时，过作交抛物线于点，过点作轴的垂线，垂足是，连接交轴于点，如上图， 轴，，， ， ， ， ， 设，则 解得：，（舍去）， 则的坐标是 综上所述，的坐标是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，两函数的交点坐标，解一元二次方程，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．(1) (2) (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）利用二次函数解析式可得，进而可得直线的解析式为，设点，过点作轴 ，交直线于点，可得，即得，即可得到，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，又可知四边形是平行四边形，得，即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解； （）由题意可得抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （3）解：∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．(1) (2)存在，点的坐标是 (3) 【分析】（1）利用二次函数平移的规律求出平移后的二次函数的顶点坐标即可求解； （2）设直线交轴于，求出点的坐标，过作交轴于，利用勾股定理求出，由待定系数法求出的解析式，根据平行线的性质求出的解析式，联立抛物线即可求解； （3）设点坐标，设直线的函数解析式，将点坐标代入，与联立，根据题意可得．从而表示出的解析式，同样得出的解析式，从而得出点坐标，进而求得的长，根据三角形面积可得，的关系式． 【详解】（1）抛物线， 其顶点坐标为， 将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位得抛物线， 抛物线的顶点坐标为， 的解析式为， 故答案为：； （2））如图1，设直线交轴于，过作交轴于， ， ， ， ， ， 抛物线与轴正半轴交于点，的解析式为， 当时，，解得或， ， 直线经过点， ，解得， 直线， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， ， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， 联立抛物线得， 解得或， 存在，点的坐标是，； （3）如图2，过点作轴交于， 设的解析式是， ， ， ， ， 由得， ， 直线抛物线有唯一公共点， ， ， ， 同理可得：直线的解析式是， ， ， ，， ，， 的解析式是， 当时，， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数及其图象性质，一次函数及其图象性质，一元二次方程与二次函数之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握函数的相关知识． 4．（1）y=；（2）（，）；（3）证明见解析 【分析】（1）设抛物线的解析式为，然后将点A的坐标代入即可求出结论； （2）先求出点B的坐标，过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G，利用AAS证出△AHB≌△BGQ，即可求出点Q的坐标，利用待定系数法求出直线AQ的解析式，然后联立方程组即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为（m，），利用对称性即可求出点N的坐标，利用待定系数法求出直线AN的解析式，联立方程组即可求出点D的坐标，从而求出直线MD的解析式，从而求出点E、F的坐标，即可证出结论． 【详解】解：（1）由抛物线的顶点坐标C（-2，-1），可设抛物线的解析式为 将点A（-4，0）代入，得 解得： ∴这个抛物线的解析式为=； （2）将x=-1代入中，解得y= ∴点B的坐标为（-1，） 过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G    ∴∠AHB=∠BGQ=∠ABQ=90° ∴∠ABH＋∠GCQ=90°，∠BQG＋∠GCQ=90° ∴∠ABH=∠BQG ∵∠PAB=45°， ∴△ABQ为等腰直角三角形 ∴AB=BQ ∴△AHB≌△BGQ ∴QG=BH=，BG=AH=-1－（-4）=3 ∴GH=BG－BH= ∴点Q的坐标为（-1＋，）=（，） 设直线AQ的解析式为y=kx＋b 将点A和点Q的坐标分别代入，得 解得： ∴直线AQ的解析式为 联立 解得：或（符合点A的坐标） ∴点P的坐标为（，）； （3）设点M的坐标为（m，） ∴点N的坐标为（m，） 设直线AN的解析式为y=cx＋d 将点A和点N的坐标分别代入，得 解得： ∴直线AN的解析式为 联立 解得：或（符合点A的坐标） ∴点D的坐标为（，） 设直线MD的解析式为y=ex＋f 将M、D的坐标分别代入，得 解得： ∴直线MD的解析式为y=x＋ 将x=0代入y=x＋中，解得y=；将y=0代入y=x＋中，解得x= ∴点E的坐标为（0，），点F的坐标为（，0） ∴OE=OF= 【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、联立方程组求点的坐标是解题关键． 5．(1) (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)存在点，使得，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则，求出的长，利用二次函数的性质求出最值即可得； （3）先求出新抛物线的解析式为，再求出，，，直线的解析式为，然后分两种情况：①过点作，交新抛物线于点，则，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得；②作，交新抛物线于点，交直线于点，根据等腰三角形的判定可得，据此可得，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：抛物线， 将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 将代入得：，解得或， ∴， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，且， ∴点的横坐标为， 将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ①如图，过点作，交新抛物线于点，则， ∴可设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得（即为点）或， ∴； ②如图，作，交新抛物线于点，交直线于点， ∴， 设点的坐标为， ∴， ， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得（即为点）或， ∴； 综上，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与图形的综合、二次函数最值问题、二次函数图象的平移、等腰三角形的判定、二次函数与二元一次方程组的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 6．(1)，； (2)①；②见解析 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的根与系数关系，分式的减法，解直角三角形等知识，准确计算和数形结合是关键． （1）在二次函数中，令，即可求出的坐标，将化为顶点式即可写出点的坐标； （2）①过点作，交于点，证，由（1）知，求出，由可列出关于的方程，求出的值即可； ②根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再利用分式的减法计算进行证明即可． 【详解】（1）解：在二次函数中， 当时， ∴， 当时，， ∵点在点的左侧，， ∴， ∵， ∴顶点， ∴故答案为：，； （2）①如图，过点作，交于点E， 则， 平分 由（1）知，， 解得：(舍去)， ∴二次函数的关系式为：； ②当时，二次函数， ∵为该二次函数图象上不同两点， ∴，即， ∴是一元二次方程即的两根， ∴， ∴ ∴ 7．(1)y＝x2﹣x﹣3 (2)或 (3)存在，t＝或或，理由见解析 【分析】(1)由y＝x﹣3求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)满足条件的点E有两种情形，需要分类讨论，情况一：当点E在x轴上方时，设CE与x轴交于A’，则OA’＝OA，情况二：当点E在x轴下方时，延长CE2交x轴于点G，则AC⊥CG，由此即可求解． (3)△AMN的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：情况一：若以AN为菱形对角线，此时AM＝CN＝t，AN＝，由，得5AE＝3AM，建立方程求解即可；情况二：若以MN为菱形对角线，由AM＝AN，建立方程求解即可；情况三：若以AM为菱形对角线，由 ，得5AE＝3AN，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点,分别令x=0得到y=-3，令y=0得到x=3， ∴B(3，0)，C(0，﹣3)， ∵抛物线经过B(3，0)，C(0，﹣3)， ∴， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°， ①当点E在x轴上方时，设CE1与x轴交于A′，如下图1所示： ∵∠E1CB+∠ACO＝45°，∠E1CB+∠A′CO＝45°， ∴∠A′CO＝∠ACO， ∵∠A′OC＝∠AOC＝90°，OC＝OC， ∴△A′OC≌△AOC（ASA）， ∴OA′＝OA， 由，得：，， ∴A， ∴A′， 设直线CA′的解析式为y＝kx+d， ∵C(0，﹣3)，A′， ∴，解得：， ∴直线CA′的解析式为， 联立方程组， 解得：，， ∴E1； ②当点E在x轴下方时，如下图2中E2所示： ∵∠E2CB+∠ACO＝45°，∠BCO＝45°， ∴∠ACE2＝90°， 延长CE2交x轴于点G， ∵∠AOC＝∠COG＝∠ACG＝90°， ∴∠GCO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠GCO＝∠CAO， ∴△GCO∽△CAO， ∴， ∴， ∴OG＝4， ∴G(4，0)， 设直线CG的解析式为y＝mx+n， ∵C(0，﹣3)，G(4，0)， ∴， 解得：， ∴直线CG的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：，， ∴E2； 综上，点E的横坐标为或； （3）解：在Rt△ACO中，OA＝，OC＝3，∠AOC＝90°， ∴AC＝， 设∠CAO＝θ，则tanθ，sinθ＝，cosθ＝， 假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t，且0＜t＜， ①若以AN为菱形对角线，如图2，此时AM＝CN＝t，AN＝， ∵四边形AMND是菱形， ∴AE＝AN＝，∠AEM＝90°， ∴， ∴5AE＝3AM，即， 解得：t＝； ②若以MN为菱形对角线，如图3， ∵AM＝AN， ∴t＝， 解得：t＝； ③若以AM为菱形对角线，如图4，设DN与AM交于点E， ∵四边形ANMD为菱形， ∴AM与DN互相垂直平分，即AE＝AM＝，∠AEN＝90°， ∴＝cosθ＝， ∴5AE＝3AN，即， 解得：t＝； 综上，当t＝或或时，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形． 【点睛】本题是二次函数压轴题，着重考查了分类讨论的数学思想，考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，菱形，一次函数，解方程等知识点，难度较大．第(3)问为存在型与运动型的综合问题，涉及两个动点，注意按照菱形对角线进行分类讨论，做到条理清晰、不重不漏． 8．（1），（-1，-4）；（2）（-2，-3）或（-4，5） 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，抛物线过 A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得：，解方程组，求出解析式配方为顶点式即可； （2）先用待定系数法求出AC解析式，设PB解析式为，过点B（1，0）根据PB∥AC，得出，PB解析式为，联立方程组求解得出点P（-4，5）再根据OA=3，OC=3，∠AOC=90°，OA=OC，△AOC为等腰直角三角形，当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，△EOB为等腰直角三角形，求出PB解析式为，联立方程组即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过 A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得： ， 解得：， 抛物线， 抛物线， 抛物线的顶点（-1，-4）； （2）当PB∥AC时，∠CAO=∠PBO， 设AC解析式为把A、C坐标代入得： ， 解得， AC解析式为， 设PB解析式为，过点B（1，0）， ∵PBAC， ∴， ∴， ∴， ∴PB解析式为， 点P在直线PB与抛物线上， ∴， 消去y得， 解得， ，点P（-4，5）， ，点B（1，0）， ∵OA=3，OC=3，∠AOC＝90°，OA=OC， ∴△AOC为等腰直角三角形， 当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，PB交y轴于E， ∵∠BOE=90°， ∴OE=OB=1， 点E（0，-1）， 设BE解析式为，把B、E坐标代入得： ， 解得， ∴BE解析式为， 点P在直线BE与抛物线上， ， 消去y得， 解得， 当，P（-2，-3）， 当，B（1，0）． 综合得当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为（-2，-3）或（-4，5）． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，配方顶点式，一次函数解析式，联立方程组，解方程组，分类讨论思想，掌握待定系数法求抛物线解析式，配方顶点式，一次函数解析式，联立方程组，解方程组，分类讨论思想是解题关键． 9．（1）y=-x2+2x+3；（2）点P坐标为（，）；（3）m的取值范围为． 【分析】（1）将点A（0，3）、B（-1，0）代入抛物线y=-x2+bx+c中即可求得b、c的值，进而得到解析式； （2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO≌△MAN．继而得到点M坐标，求出直线BM解析式，联立BM解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标； （3）结合抛物线图象，可直观看到当x2≥2时，y2≤3．要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，得0≤x1≤2，从而0≤m−≤x1≤m+≤2，解不等式组即可． 【详解】解：（1）将点A（0，3）、B（-1，0）代入抛物线y=-x2+bx+c中，得： ，解得：， ∴该抛物线解析式为：y=-x2+2x+3； （2）过点A作AM⊥AB交BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N． 又∠ABP=45°， 则△ABM为等腰直角三角形，AM=AB， ∵∠BAO+∠PAO=∠BAM=90°，∠MAO+∠AMN=90°， ∴∠BAO=∠AMN， 在△ABO和△MAN中， ， ∴△ABO≌△MAN（AAS）， ∴AN=BO=1，ON=OA-AN=3-1=2，MN=AO=3， ∴点M坐标为（3，2）． 设直线BM解析式为y=kx+n， 代入点B（-1，0）、M（3，2）得： ，解得：． 故直线BM解析式为y=x+． 解方程x+-x2+2x+3得：， 当时，y=+=， 故点P坐标为（，）； （3）由图可知，当x=2时，y=-x2+2x+3=-4+4+3=3， 当x2≥2时，y2≤3． 要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，即-x2+2x+3≥3， 解得：0≤x≤2，即0≤x1≤2， ∴0≤m−≤x1≤m+≤2， 解不等式0≤m−得：， 解不等式m+≤2得：， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、全等三角形判定与性质、解不等式组等知识，根据题意作出合理辅助线以及数形结合思考问题是解题的关键． 10．（1），直角三角形；（2）；（3）M点坐标为或 【分析】（1）根据射影定理求出点B（4，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点（0，2）代入求出a=-，然后化为一般式即可； （2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，可表示出点E，点D的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况求解：当∠BCM=∠ABC时和当∠CBM=∠ABC时，由相似三角形的性质可求出点M的坐标． 【详解】解：（1）， ， ∴， ， ∵，∠AOC=90° ∴∠ACO+∠BCO=90° 而∠ACO+∠CAO=90° ∴∠CAO=∠BCO 又∠AOC=∠BOC=90° ∴△ACO∽△CBO ∴ ∴， ∴， ∴点， 设抛物线的解析式为：，将点代入上式得： 解得：． 抛物线的解析式为 （2）如图1，过点P作y轴的平行线交于点E， 设直线的解析式为， 把，代入得， ∴． ∴直线的解析式为， ∴， 同样的方法可求得直线的解析式为， 可设直线的解析式为，把代入得， 联立，解得 ∴ ∴ 故当时，S最大，此时 （3）由题意知， ， 当时， ，如图2， ∵点C与点M关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图3，过M作于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K， ，， ∴△ 同理可证：△ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴，代入抛物线解析式可解得， ，（舍去） ∴ 综上得M点坐标为或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式及理解运用分类讨论的思想方法． 11．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）代入点、的坐标，求得系数，即可得到解析式； （2）过点作交轴于点，连接，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线的解析式，再与抛物线解析式联立，即可解得点的坐标； （3）将绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形．由旋转性质可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，可知为直线与抛物线的交点，联立此直线方程与抛物线解析式，结合所处象限，即可得到点的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形的相似判定与性质，分析取最小值和最大值时候点所处的位置，用勾股定理解直角三角形，结合三角形三边关系可求出的最小值，进而可得的范围． 【详解】（1）解：将点分别代入抛物线的解析式， 得解得 拋物线的解析式为． （2）解：过点作交轴于点，连接， 如答图①所示，则， ． ，则． 又 ． ， 直线的解析式为． ， 直线的解析式为． 联立解得 ． （3）解： 将绕点逆时针旋转得到， 为等腰直角三角形， ， 如答图②所示． 又点是第四象限内抛物线上的一点，， 点为延长线与抛物线的交点． 由旋转可知，，故点的坐标为． 由待定系数法可得，直线的解析式为， 联立与， 整理可得， 解得或0（含去）， 故点的坐标为． （4） 由题意知，四边形为矩形，． 连接，交于点，如答图③所示， 故， ， ， ． 作于点，如答图③所示， ， ， ， ， 故． 取中点，连接． ， 根据斜边中线定理可得， 故，当且仅当共线时取等号． 易知点的坐标为，， 故， 则． 当点与点重合时，点与点重合，此时最大，即． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，三角形面积等积变形，角的转化策略，函数与方程的联系，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，斜边中线定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 12．(1)抛物线解析式为： (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）把点的坐标，抛物线对称轴直线代入计算即可求解； （2）根据题意可得是等腰直角三角形，结合轴，轴，可得，设，求出，则，根据二次函数最值的计算方法即可求解； （3）求出新抛物线的解析式为，设点，根据坐标两点间的距离公式求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，把点，对称轴为直线代入抛物线得， ， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由（1）可得抛物线解析式为， ∴令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵点是抛物线上一线，且在直线下方， ∴设， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为，代入直线的解析式得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，有最大值，最大值为：； （3）解：将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线， 则， 设点， ， ， ， 整理得：，即， 解得：， M点横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的综合，涉及待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次含最值的计算方法，勾股定理，掌握二次函数图象的性质，图形结合分析是解题的关键． 13．(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）将代入得，，计算求解，进而可得抛物线的解析式； （2）当时，，即，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，，由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）如图，在上取点，使，连接，证明，则，由，可得，则，如图，作关于直线的对称点，连接，，则，，，可得，即当时，为直线与抛物线的交点，由（2）可知，是抛物线上的点，进而可知重合，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，，， 由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，， ∴， 解得，或（舍去）或（舍去）， ∴； 当时，， ∴轴， 把代入，得， ∴，， ∴，成立； 综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，或； （3）解：如图，在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，为直线与抛物线的交点， 由（2）可知，是抛物线上的点， ∴重合， ∴存在点P，使得，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴和即可求出，即可得到抛物线解析式； （2）求出直线的解析式为，得到，，即可得到； （3）取点，连接作于点G，作于点H，根据即得到则直线的解析式为，点D的坐标为，得到，证明，得到，可设设则，在中，由勾股定理可得，则，得到，由可设则，由得到，则，，得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的对称轴为直线，抛物线与x 轴交于点A和点B，． ∴， ∴抛物线为 （2）由题意可得，，其中， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴； 即； （3）如图， 取点，连接作于点G，作于点H， ∵即 ∴ 解得（舍去），（舍去），（舍去）， ∴ ∴直线的解析式为，点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴可设设 ∴， 在中，由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴可设则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数综合，二次函数与几何综合，解直角三角形、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，准确作出辅助线并充分利用已知条件是解题的关键． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）连接，求出，由平移的性质得到，点到的距离等于点，到的距离，进而得到，求出，再求出，令，即可解答； （3）过作，交于点，分别过点作轴的垂线交过点平行于轴的直线于点，由题意易得，证明，推出，进而得到，求出，令，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， 设抛物线解析式为， 将代入，， 解得， ，即； （2）解：连接， 设， 将代入得，解得， ， 平移， ， 点到的距离等于点，到的距离， ∴， 解得， ， 设，将代入得， ， 令， 解得（舍去）， 把代入， 此时； （3）解：如图：过作，交于点，分别过点作轴的垂线交过点平行于轴的直线于点，则四边形是矩形，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设，将代入得：， 解得， ， 令， 解得（舍）， 将代入得， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数与面积问题，二次函数与特殊三角形问题，涉及待定系数法，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式等，构建全等三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $