第29讲 与圆有关的计算（复习讲义，2考点12题型4重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“与圆有关的计算”专题，覆盖弧长、扇形面积、圆锥侧面积、阴影面积等中考核心考点，通过“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-重难突破”五维架构，梳理公式应用、模型构建、实际情境三类考查方向，助力学生系统建立知识网络。 亮点在于“命题点-题型-突破点”三阶设计，如通过“切线证明与弧长计算综合题”培养推理能力，用“摩天轮观赏最佳时长”情境题发展数学眼光，配合分层练习与真题精析，确保学生高效突破难点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第六章圆 第29讲。 与圆有关的计算 目录 01缩折新海瞻… 2 02○知新航嘀建 2 03账 3 04器测 4 题型01求弧长 命题点一弧长公式 题型02求扇形半径 题型03求圆心角 题型04求某点的弧形运动路径长度 题型01求扇形面积 题型02求图形旋转后扫过的面积 命题点二扇形面积公式 题型03求弓形的面积 题型04求其他不规则图形的面积 题型01求圆锥侧面积 命题点三圆锥的侧面展开图及面积 题型02求圆锥底面半径 题型03求圆锥的高 题型04求圆锥侧面展开图的圆心角 05…被无思雅 突破一切线的证明与求弧长综合问题 突破二实际情景中求弧长综合问题 突破三切线的证明与求扇形缅积综合问题 突破四圆锥侧面上最短路径问题 06●老提 6 基础巩固一能力提升一→全国新趋势 -01- 考情剖析·命题前瞻 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 山东济南卷 山东省卷 山东青岛卷 理解孤长公式1需，并能在简单图形 孤长计算 T9 T10 T11 中应用公式进行计算。 山东省卷 山东青岛卷 山东济南卷 理解扇形面积公式S= 扇形面积计算 需和&专R T15 T13 T12 并能在简单图形中应用公式进行计 1/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 算 了解圆锥的侧面展开图是扇形，能计算圆 圆的侧面积 山东青岛卷 山东济南卷 山东省卷 锥的侧面积和全面积。 与全面积 T14 T15 T14 了解正多边形与圆的关系，能进行正多边 山东省卷 山东青岛卷 山东济南卷 圆与正多边形 形边长、边心距、面积等的简单计算。 T16 T15 T14 能综合运用扇形、三角形、四边形等面积 求阴影部分面 山东济南卷 山东省卷 山东青岛卷 公式，通过割补、等积变换等方法求复杂 积 T23 T22 T24 图形（常为阴影部分）的面积。 1.基础考查：公式应用，关注联系；基础题将稳定考查弧长、扇形面积、 圆锥侧面积 等公式的直接套用。命题可能通过设计已知扇形面积反求圆心角或半径等逆向问题， 考查对公式的灵活掌握。此外，将圆锥侧面展开图问题与“两点之间线段最短”等几 何基本原理结合，设计最短路径问题，也将是一个基础但灵活的考查点。 2.核心考查：模型构建，综合转化；解答题的核心将是复杂阴影部分面积的求解。这 类问题不再是对单一公式的考查，而是综合几何知识的“试验田”。预计将更多地出 现“扇形与三角形”、“扇形与矩形”甚至"多个扇形”的组合图形，要求学生能准 确识别基本图形，并熟练运用割补法、等积变换法、整体减空白法等策略进行转化与 命题预测 计算。求解过程中通常需要综合运用垂径定理、勾股定理、三角函数等先求出关键线 段长度。 3.压轴考查：实际情境，跨科融合；压轴题的区分度可能体现在将圆的计算置于真实 新颖的情境之中。例如，结合物理中的滚动问题考查弧长，或将扇形、弓形设计与建 筑设计、艺术图案、运动轨迹相结合，要求学生从中抽象出几何模型。此外，与函数 坐标系的融合将更深入，可能出现分析动点运动形成的扇形面积变化规律，或求满足 特定面积条件时的动点坐标问题，全面考查学生的数学建模、动态分析及代数运算能 力。备考需引导学生提升从复杂、非常规图形中分解、识别基本图形结构的能力，并 加强在真实情境下建立数学模型并精确计算的训练。 2/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 02- 知识导航·网络构建 圆的周长：C=2π 圆的周长与面积 圆的面积：S=πr2 ,弧长公式一公式l=2nmr/360=nmr/180 角度制公式：S=nπr2/360 弧长与扇形面积 扇形面积公式一 C2.弧长公式推导：S=r/2 扇形周长：C=l+2r 扇形相关计算一 弓形面积：扇形面积-三角形面积 侧面展开图：扇形 有关的 扇形半径：圆锥母线长 展开图特征 ,扇形弧长：底面圆周长2π 圆心角： 0=7x360r Cl侧面积：S倒=rrl 算 圆锥的侧面展开图 ,圆锥的计算公式 ,2.全面积： S全=rrl+rr2 (3.圆锥的高：h=√2-r2 直角三角形：由h、【、组成 圆锥中的直角三角形 关系：2=h2+r2 圆柱侧面积： S=2πrh 圆柱的侧面积与全面积 ,圆柱全面积：S=2πrh+2πr2 -03- 考点解析·知识通关 服式 知识·核心梳理 弧长公式：1=πRm为圆心角的度数，R为圆的半径. 180 【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位， 【补充】在弧长公式=器中，已知1，，R中的任意两个量，都可以求出第三个量. 扇形的面积公式：S扇形= nπR2 n为圆心角的度数，R为圆的半径)=R1是n°为圆心角所对的弧长)。 360 【补充】 3/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1)根据扇形面积公式和弧长公式，己知S扇形，1，，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量， 2)在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然 后直接代入公式S扇形器或S扇形专R中求解即可。 真题·实战精练 1.(2023山东青岛中考真题)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°.若 ⊙0的半径为5，则DC的长为() A. C.π 3 2.(2025山东德州中考真题)如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部 分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点A,B,量得 AB的长是5cm,则剩余部分的面积是() B. 25 2 zcm2 4 zcm2 D. 25 A.25πcm2 8 zcm2 3.(2025山东青岛中考真题)如图，在扇形A0B中，∠A0B=30°，OA=2√5，点C在OB上，且0C=AC.延 长CB到D,使CD=CA,以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为 (结 果保留π). BD 4.(2025山东烟台·中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm·点M从点A出 发，沿AC方向以1cms的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以V3cm/s的速度向点D 运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN,DM交于点P.在此过程中，点P的运动路径 长为 m 4/28 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 5.(2023山东东营·中考真题)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0交BC于点D, DE⊥AC,垂足为E. B D A E (I)求证：DE是O0的切线： (2)若LC=30°，CD=2√5，求BD的长. 6.(2025山东东营中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C、D是O0上的两点，AD=DC=CB, DF⊥BC于点F,延长FD交BA的延长线于点E,连接BD, E B A (1)求证：DF是O0的切线； (②)若O0的半径为1，求图中阴影部分的面积. 踅职 知识·核心梳理 母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥侧面积公式S指之-2xr=元1（其中足圆徐的母线长，是国徐的底面半径） 圆锥全面积公式：S圆锥全=元川+πr2=πr(1+r）(圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积) 圆锥的底面半径”，高，母线长1之间可构成一个直角三角形，所以满足r2+h=1尸. 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开 5/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2π器，来 建立圆锥底面圆的半径八、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系 【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念. 真题·实战精练 1.(2023山东东营中考真题)如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是 () A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2023山东聊城中考真题)如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分.若该几 何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO为√2，则其侧面展开图的面积为() 0 A.V3玩 B.2V5π C.33m D.43元 3.(2025山东潍坊中考真题)如图，圆锥的底面圆心为0，顶点为A,母线1长为4，母线1与高A0的夹 角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 309 4.(2024山东烟台·中考真题)如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为 半径作BD,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为】 A 5.(2022山东潍坊·中考真题)在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转 一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 6/28 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B ● 甲 乙 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等.” 你认同小亮的说法吗？请说明理由. -04- 命题洞悉·题型预测 悲服式 ·题型01求弧长 三方法，群易精 方法总结 公式1=nπr/180(角度制)或1=|ar(弧度制)。先明确圆心角与半径，注意单位统一。 易错总结 圆心角n未使用角度制代入公式；弧长公式与扇形面积公式(nπ2/360)混淆。 【典例】(2025山东临沂.一模)如图，己知AB=1,，BC=√3，∠B=90°，BC与弧AC相切于点C,则弧 AC长 A ◇ C 【变式】1.(2025江苏·一模)如图，AB是O0的直径，点C是O0上一点，点D是弧BC的中点，连接 BC,,CD.且∠BCD=25°，若AB=6,则弧AC的长为 (结果保留刀) D 2.(2025·山东滨州·二模)如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶 点为圆心，边长为半径的三段圆弧·若该等边三角形的边长为20m,则这个“莱洛三角形”的周长是」 7/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型02求扇形半径 方法，舞易精 方法总结 己知面积S与圆心角n时，用S=nπ2360求r:已知弧长1与n时，用1nπ/180求r。常需解方程。 易错总结 未统一角度制(n为角度)与公式匹配；已知面积与弧长时，未建立正确方程组导致求解错误。 【典例】(2024黑龙江哈尔滨.中考真题)若90°圆心角所对的弧长是3πcm,则此弧所在圆的半径的长 是 【变式】1. (2025浙江杭州模拟预测)若60°圆心角所对的弧长是5元，则此弧所在圆的半径是 2. (2025福建泉州模拟预测)若弧长为20πcm的扇形的圆心角为120°，则扇形的半径 cm ·题型03求圆心角 点方法 群易 方法总结 己知弧长1用n=180/(π)；已知面积S用n=360S(π2)。亦可通过弦长或圆周角转化求解。 易错总结 弧长与面积公式中的n混用；求出的n是角度制却误当作弧度，导致后续计算错误。 【典例】(2025黑龙江哈尔滨中考真题)一个扇形的弧长是乙cm,半径是3cm,则此扇形的圆心角是 6 【变式】1.(2025·浙江杭州模拟预测)在半径为6cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆周角的度数为】 2.(2025黑龙江哈尔滨·模拟预测)一个扇形的面积为11πcm2,半径为6cm,则扇形的圆心角的度数为 ~题型04求某点的弧形运动路径长度 点方法 舞易精 方法总结 确定圆心、半径与运动轨迹对应的圆心角（常为旋转角）。代入弧长公式1=nπ180计算。 8/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错总结 误将移动的直线距离当作弧长；旋转角未找准，如将补角当作圆心角代入计算。 【典例】(2025山东临沂·二模)如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线1向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为 B B (C) (B) 【变式】1.(2024吉林长春.中考真题)一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与 直线1重合，AB=12c.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C落在直线1上，则点A经过 的路径长至少为 cm.(结果保留π) TTTTTm B 2. (2025江苏扬州中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=4W3,点E是BC边上的动点，将 △ABE沿直线AE翻折得到APE,过点P作PF⊥AD,垂足为F,点Q是线段AP上一点，且AO=PF.当 点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是 试 ·题型01求扇形面积 点方法 舞易精 方法总结 公式S=nπ2/360（角度制）或S=%1r(弧长×半径)。先求圆心角或弧长，再代入计算。 9/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错总结 混淆扇形面积与弧长公式；用“”时未先求出弧长1，或误将弦长当弧长。 【典例】(2023山东济南中考真题)如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧 BE,则阴影部分的面积为 (结果保留π)· D 【变式】1.(2023山东·中考真题)如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长 为半径画圆，则阴影部分的面积为 (结果保留π)· G B 2.(2025山东济南二模)一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的.其中， ∠AOD=150°，OB=1,AB=2,则折扇纸面部分的面积是 D B ~题型02求图形旋转后扫过的面积 点方法，群易借 方法总结 扫过面积常为扇形或扇形组合。确定旋转中心、半径与旋转角度，利用扇形面积公式分段求解。 易错总结 误算成整个圆面积；忽略旋转过程中图形自身覆盖导致的面积重叠或空隙。 【典例】(2024山东淄博二模)如图，在△AOC中，0A=3cm,0C=1cm,将△AOC绕点0顺时针旋 转90°后得到△BOD,则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为」 _cm2. 10/28 第六章 圆 第29讲 与圆有关的计算 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 弧长公式 题型01求弧长 题型02求扇形半径 题型03求圆心角 题型04求某点的弧形运动路径长度 命题点二 扇形面积公式 题型01 求扇形面积 题型02 求图形旋转后扫过的面积 题型03 求弓形的面积 题型04 求其他不规则图形的面积 命题点三 圆锥的侧面展开图及面积 题型01 求圆锥侧面积 题型02 求圆锥底面半径 题型03 求圆锥的高 题型04 求圆锥侧面展开图的圆心角 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 切线的证明与求弧长综合问题 突破二 实际情景中求弧长综合问题 突破三 切线的证明与求扇形面积综合问题 突破四 圆锥侧面上最短路径问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 弧长计算 山东济南卷T9 山东省卷T10 山东青岛卷T11 理解弧长公式l= ，并能在简单图形中应用公式进行计算。 扇形面积计算 山东省卷T15 山东青岛卷T13 山东济南卷T12 理解扇形面积公式S = 和S= lR，并能在简单图形中应用公式进行计算。 圆锥的侧面积与全面积 山东青岛卷T14 山东济南卷T15 山东省卷T14 了解圆锥的侧面展开图是扇形，能计算圆锥的侧面积和全面积。 圆与正多边形 山东省卷T16 山东青岛卷T15 山东济南卷T14 了解正多边形与圆的关系，能进行正多边形边长、边心距、面积等的简单计算。 求阴影部分面积 山东济南卷T23 山东省卷T22 山东青岛卷T24 能综合运用扇形、三角形、四边形等面积公式，通过割补、等积变换等方法求复杂图形（常为阴影部分）的面积。 命题预测 1. 基础考查：公式应用，关注联系；基础题将稳定考查弧长、扇形面积、圆锥侧面积等公式的直接套用。命题可能通过设计已知扇形面积反求圆心角或半径等逆向问题，考查对公式的灵活掌握。此外，将圆锥侧面展开图问题与“两点之间线段最短”等几何基本原理结合，设计最短路径问题，也将是一个基础但灵活的考查点。 2. 核心考查：模型构建，综合转化；解答题的核心将是复杂阴影部分面积的求解。这类问题不再是对单一公式的考查，而是综合几何知识的“试验田”。预计将更多地出现“扇形与三角形”、“扇形与矩形”甚至“多个扇形”的组合图形，要求学生能准确识别基本图形，并熟练运用割补法、等积变换法、整体减空白法等策略进行转化与计算。求解过程中通常需要综合运用垂径定理、勾股定理、三角函数等先求出关键线段长度。 3. 压轴考查：实际情境，跨科融合；压轴题的区分度可能体现在将圆的计算置于真实、新颖的情境之中。例如，结合物理中的滚动问题考查弧长，或将扇形、弓形设计与建筑设计、艺术图案、运动轨迹相结合，要求学生从中抽象出几何模型。此外，与函数、坐标系的融合将更深入，可能出现分析动点运动形成的扇形面积变化规律，或求满足特定面积条件时的动点坐标问题，全面考查学生的数学建模、动态分析及代数运算能力。备考需引导学生提升从复杂、非常规图形中分解、识别基本图形结构的能力，并加强在真实情境下建立数学模型并精确计算的训练。 考点一 弧长公式与扇形面积公式 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． 【补充】在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长). 【补充】 1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C．    2．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴， ∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为； 故答案为： 5．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接    ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∴。 ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图：连接 ∵是的直径， ∴, 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点二 圆锥的侧面展开图及面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 1．（2023·山东东营·中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（        ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可． 【详解】根据题意，补图如下：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴侧面展开图的面积为， 故选C． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴； 故答案为：． 5．（2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 【答案】不认同，理由见详解 【分析】根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案． 【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，， 乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，， ∵， ∴， 故不认同小亮的说法． 命题点一 弧长公式 ►题型01 求弧长 / 方法总结 公式 l = nπr / 180（角度制）或 l = |α|r（弧度制）。先明确圆心角与半径，注意单位统一。 易错总结 圆心角 n 未使用角度制代入公式；弧长公式与扇形面积公式（nπr²/360）混淆。 【典例】（2025·山东临沂·一模）如图，已知，，，与弧相切于点C，则弧长 【答案】/ 【分析】根据直角三角形的边角关系可求出，，再根据切线的性质可求出，进而得到是等边三角形，得出扇形的圆心角度数和半径，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，设所在的圆心为，连接、、， 在中，，，， ， ∴在中，， ， 与相切于点， ， ， 又， 是等边三角形， ，， 的长为， 故答案为：． 【变式】1．（2025·江苏·一模）如图，是的直径，点C是上一点，点D是弧的中点，连接，，．且，若，则弧的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，求得，代入弧长公式解答即可． 本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点D是弧的中点，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东滨州·二模）如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质可知，，根据弧长公式可以求出，从而可得“莱洛三角形”的周长是． 【详解】解：如下图所示， 是等边三角形， ，， ， ， “莱洛三角形”的周长是． 故答案为：． ►题型02 求扇形半径 / 方法总结 已知面积S与圆心角n时，用S=nπr²/360求r；已知弧长l与n时，用l=nπr/180求r。常需解方程。 易错总结 未统一角度制（n为角度）与公式匹配；已知面积与弧长时，未建立正确方程组导致求解错误。 【典例】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 【变式】1．（2025·浙江杭州·模拟预测）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了弧长公式，设此弧所在圆的半径是r，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；设此弧所在圆的半径是r， 由题意得， 解得， ∴此弧所在圆的半径是15， 故答案为：15． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）若弧长为的扇形的圆心角为，则扇形的半径 ． 【答案】30 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，利用弧长公式直接将已知数据代入求出即可．熟练掌握弧长公式是解题关键． 【详解】解：弧长为的扇形的圆心角为， 即， 解得：， 则扇形的半径为． 故答案为：30． ►题型03 求圆心角 / 方法总结 已知弧长l用n=180l/(πr)；已知面积S用n=360S/(πr²)。亦可通过弦长或圆周角转化求解。 易错总结 弧长与面积公式中的n混用；求出的n是角度制却误当作弧度，导致后续计算错误。 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式】1．（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 【详解】根据弧长的公式， 得到： ， 解得， ∴圆周角为， 故答案为：． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于的方程，解方程即可求解，正确理解公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角是， 根据扇形的面积公式得：， 解得， 故答案是：． ►题型04 求某点的弧形运动路径长度 / 方法总结 确定圆心、半径与运动轨迹对应的圆心角（常为旋转角）。代入弧长公式 l = nπr/180 计算。 易错总结 误将移动的直线距离当作弧长；旋转角未找准，如将补角当作圆心角代入计算。 【典例】（2025·山东临沂·二模）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 【变式】1．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 命题点二 扇形面积公式 ►题型01 求扇形面积 / 方法总结 公式 S = nπr² / 360（角度制）或 S = ½ lr（弧长×半径）。先求圆心角或弧长，再代入计算。 易错总结 混淆扇形面积与弧长公式；用“½lr”时未先求出弧长l，或误将弦长当弧长。 【典例】（2023·山东济南·中考真题）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．    【答案】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 【变式】1．（2023·山东·中考真题）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．    【答案】 【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东济南·二模）一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的．其中，，，，则折扇纸面部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积公式，掌握是解题的关键．由折扇纸面部分的面积等于即可求解． 【详解】解：， 由题意得：折扇纸面部分的面积是， 故答案为：． ►题型02 求图形旋转后扫过的面积 / 方法总结 扫过面积常为扇形或扇形组合。确定旋转中心、半径与旋转角度，利用扇形面积公式分段求解。 易错总结 误算成整个圆面积；忽略旋转过程中图形自身覆盖导致的面积重叠或空隙。 【典例】（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，以及扇形的面积，掌握“旋转前后的两个图形全等，旋转前后的面积相等”，以及扇形的面积公式是解题的关键．根据题意可知边在旋转过程中所扫过的面积是扇形的面积减去扇形的面积，根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图， 由旋转的性质得，， 则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积加上减去扇形的面积再减去， 即边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积减去扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 2．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴， 故答案为： ． ►题型03 求弓形面积 / 方法总结 弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积。先求扇形圆心角与半径，再算对应三角形面积作差。 易错总结 未区分优弧弓形与劣弧弓形（面积公式相同但三角形需调整）；圆心角求错导致扇形面积错误。 【典例】（2025·山东滨州·模拟预测）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，则淤泥横截面的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故答案为：． 【变式】1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 2．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为得，，运用圆周角定理得，，则，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则. 故答案为：． ►题型04 求其他不规则图形的面积 / 方法总结 将不规则图形割补为规则图形（扇形、三角形等）组合。利用平移、对称或等积变形间接求解。 易错总结 分割或拼接后漏算、重算部分面积；未充分利用已知条件（如对称性）导致计算复杂。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东聊城·二模）半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．取的中点O，连接，，由题意得，，可知为的中位线，则，，根据，得到，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：取的中点O，连接，， 由题意得，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 命题点三 圆锥的侧面展开图及面积 ►题型01 求圆锥侧面积 / 方法总结 公式 S侧 = πrl（r为底面半径，l为母线）。或展开为扇形，用S = ½ × 弧长 × 母线。 易错总结 混淆母线长与斜高（圆锥中相等），或与高混淆；未将扇形圆心角与底面圆周长正确关联。 【典例】（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为 ． 【答案】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东聊城·模拟预测）我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积， 故答案为：． 2．（2025·山东聊城·一模）圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达，胸径约，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．小然按照其形状制作了如下：母线长为，底面直径长为的圆锥绣球模型，则此圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵底面直径长为， ∴底面圆周长为，即展开图扇形的弧长为， ∵母线长为， 此圆锥的侧面积为． 故答案为：． ►题型02 求圆锥底面半径 / 方法总结 已知侧面积 S 与母线 l 时，用 r = S / (πl)；已知高 h 与母线 l 时，用 r =。常需结合勾股定理。 易错总结 误将圆锥的“高”代入侧面积公式；解方程时未注意半径 r 应为正数，或忽略单位统一。 【典例】（2025·山东临沂·二模）如图，正五边形的边长为4，以为圆心，以为半径作弧，若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，展开图折叠成几何体，圆锥的计算，正确记忆相关知识点是解题关键．设该圆锥的底面半径为，根据正多边形内角和定理求出，再根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的扇形的弧长列出方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， 由题意得， 由题意得，， ， 该圆锥的底面半径为， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东烟台·一模）如图，正方形的边长为4，点O是的中点，以点O为圆心作弧，与相切，交，于点E，F．将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，解直角三角形，先根据相切得到圆的半径，然后根据余弦得到圆心角，然后代入弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形与边切于点G，则， ∵是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 而点为边的中点， ， 在中， ， ∴， 同理可得， ∴， ∴圆锥的底面圆周长为， ∴该圆锥的底面半径长为． 故答案为：． 2．（2024·吉林松原·一模）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是 ． 【答案】5 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为，圆心角为的扇形弧长是：， 设圆锥的底面半径是，则， 解得：． 故答案为：5． ►题型03 求圆锥的高 / 方法总结 利用轴截面直角三角形：高 h、底面半径 r、母线 l 满足 h² + r² = l²。已知其二即可求高。 易错总结 混淆圆锥的高与母线；已知侧面积和半径求高时，未先求出母线导致计算错误。 【典例】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得：． 即圆锥的母线长为， ∴圆锥的高cm， 故答案是：． 【变式】1．（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理， 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母线，结合勾股定理求出答案． 【详解】解：根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 即， 所以圆锥的高为． 故答案为：． 2．（2024·山东临沂·二模）如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、圆锥的计算，解答本题的关键是求出圆锥的半径和母线长． 根据题意作出合适的辅助线，然后根据，可以得到的度数，从而可以得到的度数，然后根据，可以得到的长，再根据圆锥和侧面展开图的关系，即可求得圆锥的高． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 设扇形围成的圆锥的底面半径为， 则， 解得， ∴该圆锥的高为：， 故答案为：． ►题型04 求圆锥侧面展开图的圆心角 / 方法总结 圆锥侧面展开为扇形。圆心角 θ = (r / l) × 360°（r为底面半径，l为母线长）。或用弧长公式推导。 易错总结 记错公式中 r 与 l 的位置，导致 θ 计算错误；未注意角度制与弧度制的区别。 【典例】（2023·山东聊城·三模）某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为，底面圆的半径为，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】/180度 【分析】根据题意可知，圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 根据题意得， ， 解得， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 故答案为：． 【变式】1．（2023·山东聊城·二模）圆锥的底面直径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】/90度 【分析】 根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再进一步求得圆锥展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可． 【详解】圆锥的底面直径为， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为： 圆锥的母线长， 圆锥的侧面展开扇形的面积为： 故答案为： 2．（2024·山东济宁·二模）现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式和圆锥相关计算，熟知两者之间的对应关系是解题关键．圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．据此计算出制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角，即可获得答案． 【详解】解：设制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角为， 由题意，剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽， 可得， 解得， ∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是， ∴剪去的扇形纸片的圆心角为． 故答案为：． 突破一 切线的证明与求弧长综合问题 【典例】（2026·山东潍坊·一模）如图，内接于，是的直径，平分交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)若，，过点作于点，交于点，交于点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】（1）连接，利用直径所对的圆周角为直角，角平分线的定义，圆周角定理，垂直的定义，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，，利用同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，圆周角定理求得的度数，再利用圆的弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵为的半径， ∴与相切． （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴． ∴的长为． 【变式】1．（2024·山东潍坊·一模）如图，内接于，是直径，点E在圆上，连接，，交于点F，过点C作交的延长线于点D，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了切线的判定，弧长公式，正弦函数的定义．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理求得，利用角的转化，求得，即可证明是的切线； （2）利用垂径定理求得，，利用正弦函数求得，证明是等边三角形，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵是直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴的长为． 2．（2025·山东威海·一模）如图1，是的外接圆，为的直径，过点作，交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，，求弧的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，设，由平行线性质、圆周角定理及直径所对的圆周角是直角得到相关角度关系，再等量代换即可得到，进而得证； （2）连接，如图所示，设，由题意，结合等腰三角形性质、圆周角定理及平行线性质求出相关角度，再由直径所对的角是直角，得到，解得，进而由圆周角定理求出，最后由弧长公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 设， ， ， ， ，， 为的直径， ，则在中，， ， ，则在中，，即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ，则， 解得， ， ， ． 3．（2025·山东威海·一模）如图，是的直径，线段，与相切于点，，点是圆上一点，，，三点在同一条直线上，且．过点作于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)证明：； (3)若，的半径为1，则弧的长度为_____．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，切线的性质与判定以及切线长定理，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，，证明得出，根据是的切线，是半径可得出则，即可得证； （2）证明，得出，根据则，同理可证，，根据平行线分线段成比例得出，即可得出则； （3）先求得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， ，，， ． ． 是的切线，是半径， ． ． 是半径， 是的切线． （2）由（1）已证． ，． ． ． ． ， ． ． ， ． ． 同理可证，． ，是的切线， ． ． ， 同理可证，， ． ． ． ． （3）解：∵，， ∴ ，是的切线， ∴ ∵的半径为1，则弧的长度为 故答案为：． 突破二 实际情景中求弧长综合问题 【典例】（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 【答案】(1)米； (2)10分钟；米． 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，作，垂足为，根据勾股定理得（米），又，所以，因为与相切，所以，可得，所以，（米），从而可得，所以（米）； （）过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米，又因为，所以，则（米），然后通过，可得，则，故有最佳观赏风景的时间为（分钟），最后通过弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为与相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； （2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 【变式】1．（2024·河北邯郸·三模）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，，请直接写出的长为 （结果保留根号）； (2)如图2，当时，连接，． ①直接写出的度数． ②求点C到桌面的距离（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2﹣图3）过程中，圆心O移动的距离． 【答案】(1) (2)①30°；② (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键 （1）易得当时，P，O，C三点在一条直线上，则，，，，得出，最后根据即可解答； （2）①根据切线的定义得出，再得出，推出，则．②过点C作于点H，于点K，则 ，根据勾股定理得出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答； （3）从滚动到滚动过程中始终与桌面相切，得出圆心O到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心O移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：当时，P，O，C三点在一条直线上， ∵直径， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：①的度数． ∵半圆O与相切于点Q， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半圆O的中点为点C， ∴， ∴． ②过点C作于点H，于点K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴． ∴点C到桌面MN的距离为． （3）解：从滚动到图2—图3）过程中，圆心O移动的距离为． ∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动， ∴滚动过程中始终与桌面相切， ∴圆心O到桌面的距离总等于圆的半径， ∴从滚动到过程中，圆心O移动的距离为的长度的2倍， 由（2）①知：， ∴圆心O移动的距离． 2．（24-25九年级下·广东东莞·期中）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上． 【计算】（1）如图1，当时，求所在圆的半径； 【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与CN相切，如图2． 【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度； （3）求点M经过的路径的长．（参考数据：） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可； （2）找出圆心O的位置，过点作于点，利用三角函数即可求解； （3）在（2）中利用三角函数求出的度数，再求，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）设所在圆的圆心为点O，如图，连接，， ∵点P是的中点， ∴，， ∵， ∴、、共线， 设所在圆的半径为， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴所在圆的半径为． （2）如图，点O即为所在圆的圆心O的位置， 过点作于点， ∵， ∴ 又 ∴， 即点P上升的高度为cm； （3）∵， ∴，， ∴， ∴点M经过的路径的长为． 3．如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点P，连接与相交于点．水面截线，，． (1)如图（1）求水深； (2)将图（1）中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长； (3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长． 【答案】(1) (2) (3)圆心运动的路径长为的长度 【分析】本题考查圆的实际应用，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． （1）连接，由垂径定理及勾股定理求解即可得到答案； （2）连接，过点作，与的延长线相较于点，利用三角形全等的判定与性质，结合勾股定理求解即可得到答案； （3）根据题意可知，滚动过程中圆心运动的路径长为的长度，求出弧对的圆心角带入公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 半圆与相切于点P， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ； （2）如图，连接，过点作，与的延长线相较于点， ， ， 在和中， ， ， 由（1）知，， ，， ， 在中，由勾股定理可得； （3）如图所示： 由（1）可知，， 在中，， ， ， 由题意可得，圆心运动的路径长为的长度． 突破三 切线的证明与求扇形面积综合问题 【典例】（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接，，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】（1）证明：是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．如图，连接，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：是的直径，如图，连接，，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】1．（2025·山东聊城·二模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ∵， ∴， ∵为的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 2．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长； (3)若，，求图中阴影部分的面积．（直接写出计算的结果） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由，得，由等边对等角得，，进而可得，所以，由平行线的性质得出，即可证明是的切线； （2）连接，，利用勾股定理及三角函数解，求出，由等腰三角形三线合一得出，再通过证明，推出，根据对应边成比例即可求解； （3）过点O作于点M，连接，构造矩形，设，则，，解求出半径，根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，， 为的直径，的半径为3， ，， ， ， 在中，， ， 解得（负值舍去）， 中，，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点O作于点M，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设， ，， 在中，， ， 解得， ，即半径为， ，， ． 3．（2024·山东济宁·三模）（1）【问题探究】 如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线；    （2）【知识迁移】 如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点． ①与的位置关系为 ； ②若，，求阴影部分面积． 【答案】（1）见解析；（2）①相切；② 【分析】（1）如图，过点作于点，根据等边对等角，正方形的性质可得，则，结合为的半径，点在上，即可求解； （2）①如图，过点作于点，连接，根据与相切于点，菱形的性质得到，，结合切线的定义即可求解；②如图，过点作于点，由锐角三角函数的计算设，由菱形的性质可得，则，在中，由勾股定理得，则，，由即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图，过点作于点，    ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴点在上， ∴是的切线； （2）①如图，过点作于点，连接，    ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与相切， 故答案为：相切； ②如图，过点作于点，    在中，， ∴， 设， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 突破四 圆锥侧面上最短路径问题 【典例】（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 【变式】1．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 2．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 1．（2025·山东淄博·一模）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、，由，可知是直径且值为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示：连接、、， ∵， ∴是直径， ∴， 根据网格图形可知： ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴所对的圆心角是， ∴的长为以为直径的圆周长的， 即． 故选：A． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）如图以正六边形的顶点A为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面面积与侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的弧长、正六边形的性质、圆锥的相关知识，得到圆锥的底面周长与扇形的弧长相等是解题的关键，进而再利用底面积与侧面积公式之比解决问题．设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r，由六边形为正六边形，得到，根据圆锥的底面周长与扇形的弧长相等可得 ，再根据与，整理后即可得到答案。 【详解】解：设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r， ∵六边形为正六边形， ， 根据题意得， 。 ，， 即该圆锥的底面面积与圆锥的侧面积之比为． 故选：B． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将一个正方形内接于直径为6的半圆中，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，扇形面积公式等知识点，解题的关键是利用割补的思想将面积进行转化求解． 作出圆心，连接，先运用勾股定理求出正方形边长，再根据阴影部分面积等于半圆面积减去正方形面积求解． 【详解】解：作出圆心，连接， 由题意得， ∵正方形， ∴， ∴， ∵，直径为6 ∴ 解得：（负值舍去）， ∴， ∴阴影部分的面积为： 故答案为：． 4．（2025·四川南充·二模）如图，在扇形纸片中，，，把它沿虚线分割成一个扇形和扇环，在扇环上裁出半径最大的圆，恰好能与扇形与圆围成一个圆锥，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查弧长公式和圆锥的概念，设，则，根据弧长公式和圆锥的概念列出方程式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 5．（2025·山东滨州·二模）数学文化：人们很早就开始研究天文学，以便通过观察天上日月星辰的位置和运行情况，解决有关计时、历法、航海、地理等许多问题．对天体的观察和测量离不开计算，这促进了数学的发展，三角函数的产生和发展与天文学有密切的关系．保存至今的一张古老的“三角函数表”，是2世纪的希腊天文学家、地理学家、数学家托勒密（）所著的《天文学大成》一书中的一张“弦表”，它对当时的天文计算有重要作用． 尝试推导：（1）如下图，点A，B在上，半径为r连接， 过点A作垂直于点C，圆心角，，则利用所学的三角函数和圆的知识，请尝试推导出与r，l的关系． 问题解决：（2）若，，则______，扇形面积为______． 【答案】（1）sin＝；（2）120， 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，扇形面积计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）由垂径定理得到，，再解直角三角形可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求可得，则，，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 在中，，即， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2024·山东临沂·模拟预测）在扇形中，半径，点P在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，若，且与所在的圆相切于点B． ①求的度数． ②求的面积． (2)如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、解直角三角形、弧长公式、全等三角形的判断与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）①由圆的切线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，最后根据平角的定义求解即可．②如图：如图：连接交于T，则，由折叠可知：,然后解三角形求得、，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）如图2中，连接，由弧、弦、圆周角的关系可得，然后证明可得，进而 说明，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：①如图1中，∵是的切线， ∴， 由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图：连接交于T，则， 由折叠可知：, 在中，． 在中，， ∴． ∴， ∴． （2）解：如图2中，连接． ∵， ∴， 由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长． 1．（2025·山东潍坊·三模）已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积计算，先利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆半径再乘以圆周率计算即可． 【详解】解：∵圆锥的高为4，底面圆的半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴该圆锥侧面展开图的面积是， 故选：C． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是边长为等边三角形，以为直径作半圆，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 连接，根据菱形面积公式和扇形面积公式计算得到答案． 【详解】连接， 是边长为的等边三角形， ， ， ， ， 为等边三角形，边长为3， ， ， ， ， 同理可得，， 四边形为菱形， ， ， ． 故选：D． 3．（2025·山东临沂·二模）如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，定滑轮上一点P旋转，则物体上升的高度为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，定滑轮不省力也不省距，而动滑轮省力但是费距，故点P转动的距离是物体上升距离的2倍，据此根据弧长计算公式求出点P转动的距离即可得到答案． 【详解】解：， ∴物体上升的高度为 故答案为：． 4．（2025·山东青岛·二模）如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】先得出，结合半径相等得，则，运用勾股定理算出半径，再证明是等边三角形，根据，得，然后分别求出，，，，再代入阴影面积进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，过点D作，过点O作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵弦的长为， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵，且， ∴， 即， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ ∴阴影面积 ， 故答案为：． 5．（2024·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，． (1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标； (2)连接，，则的度数为______度； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 【答案】(1)见解析，点； (2)； (3)圆锥的底面半径． 【分析】（）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，再写出点坐标即可； （）利用利用网格特点和勾股定理定理和逆定理即可求解； （）设该圆锥的底面半径，根据圆周长和弧长公式即可求解； 本题考查了垂径定理，勾股定理及逆定理，圆周长和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，如图， ∴点即为所求，点， （2）如图， 根据网格可知：，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）设该圆锥的底面半径， ∵， ∴， 则， 解得：． 6．（2025·山东济宁·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点E是边上一点，以为直径的经过点D，并交边于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是的中点，的半径为2，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，解直角三角形，弧，圆心角和圆心角之间的关系等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和等边对等角可证明，则，进而得到，据此可证明结论； （2）可证明得到，解直角三角形得到，再根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 1．（2026·湖北襄阳·二模）一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面积公式为，其中r为底面半径，l为母线长． 根据圆锥的侧面积计算即可． 【详解】解：∵底面直径， ∴半径． ∵母线长， ∴侧面积． 故选：A． 2．（2026·浙江·一模）如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，先证，设，则，由三角形内角和定理得，由菱形对角线互相平分，可得，，再根据，可得，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，， 由题意知， ，， 四边形是菱形， ， ， 又， ， ， 设， 则， ， 与的长之比为， ， ， ， 菱形中， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，矩形对角线、交于点O，E为线段上一点，以点B为圆心，为半径画圆与相切于的中点G，交于点F，若，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，含角的直角三角形的三边关系以及等边三角形的判定与性质． 连接，根据切线性质及G为中点可知垂直平分，再结合矩形性质可证明为等边三角形，从而得到，，再利用角的直角三角形的三边关系求出，然后求出和扇形的面积，两者相减即可得到阴影部分面积． 【详解】连接，由题可知， ∵G为中点， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴，， 在中，， ， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 4．（2025·四川绵阳·一模）如图，如果将一个半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是 m． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆锥的底面半径， 先根据公式求出扇形的弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，进而得出半径． 【详解】解：扇形弧长， ∴圆锥底面半径 ． 故答案为：． 5．（2025·四川广元·一模）如图，在扇形中，，，以为圆心为半径画弧交弧于点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形面积，等边三角形性质和判定，连接，证明为等边三角形，结合等边三角形性质和扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ，， 由题知，， 为等边三角形， ， 图中阴影部分的面积为：扇形的面积扇形的面积， 即； 故答案为：． 6．（2025·新疆·一模）如图，是的直径，M、N是上异于A，B的两点，C是上一动点，的角平分线交于点D，的平分线交于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等；如图，连接，连接交于G，连接交于F，设．求出，证明平分，求出；再证明，则，可得，得到点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于G，连接交于F，连接， 设．则， ∵是直径， ∴， ∵的角平分线交于点，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， 而， ∴， ∴， ∴点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵， ∴设，则， 的长的长， 故答案为：． 7．（2025·江西吉安·二模）如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，结合已知条件可得出，再结合可知，即可得出，进一步即可证明． （2）先利用垂径定理得出，再利用圆周角定理得出，，，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·江西·模拟预测）如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的周长结果保留 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，再根据半径相等得到最后根据弧长公式求出的长，加上和的长，得到阴影部分的周长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2）解：，， ， ， △是等边三角形， ， 的长度， 阴影部分的周长为． 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 10．（2026·安徽阜阳·一模）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 【答案】(1)见解析 (2)①裁出的两块木料的周长之和为；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积． （1）连接半径，通过线段的等量代换，得到，通过圆的半径相等，证明，即可通过圆心角相等推出两个弧的长相等； （2）①连接半径，通过半径相等和90°角，借助一线三等角全等模型，通过证明三角形全等，得到线段的数量关系，再通过等量代换将阴影部分的线段之和转化为的长，即可计算得到周长； ②借助①中的关系，求出的长，从而得到半径的长，再通过等量代换，得到和的关系，借助勾股定理列方程求出线段的长，再通过作差法求面积即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，． ，， ， ，， ，即， 又， ， ， ； （2）解：①如图2，连接， 由题意得， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， 由图可知，， ， 裁出的两块木料的周长之和为； ②由①可知，， ， ， ， 又， 在中，，即， 解得（负值舍去），， ， 由①知，， 由图可知，阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $