第28讲 与圆有关的位置关系（复习讲义，4考点12题型4重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第六章圆 第28讲 与圆有关的位置关系 目录 01缩折海到瞻… 2 02知航嘀建 2 03账 3 04瑞！ 4 题型01点与圆的位置关系 命题点一点与圆的位置关系 题型02利用点与圆的位置关系求半径 题型01判定直线和圆的位置关系 命题点二直线与圆的位置关系 题型02已知直线和圆的位置关系求半径的求值范围 题型01利用切线的性质求解 题型02证明某直线是圆的切线（有交点） 命题点三切线的判定定理 题型03证明某直线是圆的切线（无交点） 题型04切线的性质与判定综合问题 题型01求特殊三角形外接圆的半径 命题点四三角形的外接圆与内切圆 题型02直角三角形周长面积与内切圆半径的关系 题型03三角形内心有关的应用 题型04三角形外接圆与内切圆综合问题 05周难 6 突破一点与圆上一点的最值问题 突破二与圆有关的新定义型综合问题 突破三圆与平面直角坐标系综合问题 突破四圆与函数的综合问题 06•俑. 基础巩固一→能力提升→全国新趋势 -01- 考情剖析·命题前瞻 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 点与圆的位置 山东济南 山东省卷 山东青岛 理解点和圆的三种位置关系，并能通过比较点 关系 卷T7 T9 卷T8 到圆心的距离d与半径r的大小关系来判定。 理解直线和圆的三种位置关系（相离、相切、 直线与圆的位 山东省卷 山东青岛 山东济南 相交)，掌握利用圆心到直线的距离d与半径” 置关系（判定） T14 卷T11 卷T13 的大小关系进行判定。 1/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 掌握切线的性质定理（圆的切线垂直于过切点 切线的性质与 山东青岛 山东济南 山东省卷 的半径)与判定定理（经过半径外端且垂直于 判定 卷T18 卷T17 T19 这条半径的直线是圆的切线)，并能熟练运用 于证明和计算。 掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 山东省卷 山东青岛 山东济南 切线长定理 它们的切线长相等，且该点和圆心的连线平分 T20 卷T19 卷T18 两条切线的夹角。 了解三角形内切圆、外接圆的概念，掌握其圆 三角形的内切 山东济南 山东省卷 山东青岛 心（内心、外心）的性质，并能进行相关计算 圆与外接圆 卷T22 T21 卷T22 (如求半径、角度)。 1.基础考查：概念辨析，简单应用；基础题将继续稳定考查点、直线与圆位置关系的判 定，通常结合已知距离或简单图形进行判断。对切线基本性质的直接应用（如利用“切 线垂直于过切点的半径”构造直角三角形)也常在选填题中出现。 2.核心考查：切线综合，模型构建；解答题的核心是切线的判定与性质的综合运用。常 见模式为：先证明某直线是切线（判定定理），再利用其性质得到垂直关系，从而在由 半径、切线、弦构成的直角三角形中，结合勾股定理、相似三角形或锐角三角函数进行 综合计算。切线长定理往往与三角形的全等、周长或面积的计算紧密结合，是构建等量 命题预测 关系的重要模型。 3.压轴考查：动态相切，代数几何合；压轴题的区分度将体现在动点、动线与圆相切 的存在性问题上。这类问题要求学生动态分析不同位置情况，将“"相切”这一几何条件 ()精准转化为关于动点坐标或参数的代数方程，从而求解。此外，三角形内心 外心的性质可能进一步与几何变换（如旋转）、最值问题（如利用“垂线段最短”求线 段最值)相结合，形成复杂的几何综合题，全面考查学生的空间想象、分类讨论及代数 运算能力。备考需强化从复杂图形中分解出“"切线半径-弦”基本结构的能力，并熟练 掌握将几何位置关系等价转化为代数等式的通法。 2/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -02- 知识导航·网络构建 1.点在圆内：OP<T 一判断方法 2.点在圆上：OP=r 3.点在圆外：OP>r 点与圆的位置关系 确定圆的条件一 一不共线的三点确定一个圆 圆的内接三角形 相关概念一 三角形的外接圆：圆心为外心 C1.相离：d>r台无公共点 直线与圆的位置关系 一三种位置关系 2.相切：d=r一唯一公共点（切点） 3.相交：d<r台两个公共点 一1.切线垂直于过切点的半径 与圆有关的位置关系 一切线的性质 2.推论：过圆心垂直于切线的直线过切点 3.推论：过切点垂直于切线的直线过圆心 切线的性质与判定 一1.定义法：有唯一公共点 、切线的判定 2.距离法：d=r 3.定理法：过半径外端且垂直于该半径 圆心：外心（三边垂直平分线交点） 一外接圆 性质：到三顶点距离相等 三角形的外接圆与内切圆 圆心： 内心（三条角平分线交点） 内切圆 性质：到三边距离相等 ~半径公式：r=2S/C -03- 考点解析·知识通关 紫系 知识·核心梳理 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 己知⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d, 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内分水x 3/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点在圆上 点P在圆上分正r 点在圆外 点P在圆外分dDr 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半 径的关系，可以确定该点与圆的位置关系， 真题·实战精练 1.(25-26九年级上山东济宁.期末)在平面直角坐标系中，以点0(3,2)为圆心，2为半径作00，则下列 说法错误的是() A.O0与x轴相切 B.⊙0与y轴相离 C.点P(2,2)在00内 D.点Q(4,3)在00外 2.(2025山东淄博中考真题)如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点， 连接AP,CP,将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ,连接AQ.若AB=1,则△APQ的最大面 积是() A. B.2-V3 c.2-1 D.2+1 4 2 2 4 3.(25-26九年级上上海静安·月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,以点A为圆心作0A, 要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么OA的半径长r的取值范围为 4.(2023山东.中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5,AD=4,AD<BC,点E 在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE,则线段BF的最小值为 4/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 知识·核心梳理 直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示： 设⊙O的半径为”，圆心0到直线1的距离为d 直线和圆的位置 相交 相切 相离 关系 直线和圆有两个公共点 直线和圆只有一个公共点 直线和圆没有公共点 定义 时，叫做直线与圆相交 时，叫做直线与圆相切 时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2个 1个 无 圆心到直径的距 离d与圆半径r之 dr dr d>r 间的大小关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 直线1与⊙0相离分 直线1与⊙0相交分dK 直线1与⊙O相切分d正r dr 结论 从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位 置关系的判断。 真题·实战精练 1.(2024山东青岛一模)已知平面内有00和点A,B,若⊙0的半径为3cm,线段0A=4cm, 5/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OB=3cm,则直线AB与⊙0的位置关系为() A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 2.(2024山东菏泽一模)在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3,，BC=4,以点C为圆心作OC, 半径为r，已知直线AB和OC有交点，则r的取值范围为() B A.r>3 B.r>2.4 C.r<4 D.r22.4 3.(25-26九年级上四川广安期末)如图，直线AB、CD相交于点0，∠A0C=45°，0P的半径为V2cm ,且OP=4cm,如果oP以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，则」 秒时OP与直线CD相切. 4.（2023·吉林松原二模)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的0P的圆心P的坐标为(-3,0)，将0P 沿x轴正方向平移，使0P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 P 海 理理 知识·核心梳理 切线的性质定理与切线的判定定理 切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过 切点与圆心的直线) 【补充】1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 6/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 用切线的判定定理时，两个条件缺一不可：1)经过半径的外端；2)垂直于这条半径 3.切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。 真题·实战精练 1.(2025山东青岛模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，点C为圆上一点，且AC=2BC,过点C作O0 的切线，交AB的延长线于点D.则∠BDC的度数为() A.20° B.25° C.30° D.35 2.(2025山东淄博·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的 圆与AC相切于点E.若AD=5,AE=10,则BC的长是()· A.10 B.12 C.13 D.15 3.(2025山东枣庄·二模)如图，己知点M在y轴正半轴上，⊙M与x轴相切于原点O,平行于y轴的直 线交⊙M于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是2，)，则⊙M的半径为， M 4.(2025·山东潍坊.一模)如图，直线AB、CD相交于点O,∠AOD=30°，半径为2cm的0P的圆心在直 线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处.如果0P以2cms的速度沿由A向B的方向移动，那么秒 钟后OP与直线CD相切. 7/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C O B D 5,(2025山东中考真题)如图，在△0AB中，点A在⊙0上，边OB交⊙0于点C,AD⊥0B于点D. AC是∠BAD的平分线， D C B (I)求证：AB为⊙0的切线： (2)若00的半径为2，∠A0B=45°，求CB的长. 6.(2025山东烟台中考真题)如图，ABC内接于⊙0，∠ABC=2∠C,点D在线段CB的延长线上，且 BD=AB,连接AD. A 0 (1)求证：AD是O0的切线： (②)当AB=5,AC=8时，求BC的长及O0的半径. 7.(2025山东威海中考真题)如图，PA是⊙0的切线，点A为切点.点B为⊙0上一点，射线PB,AO交 于点C,连接AB,点D在AB上，过点D作，DF⊥AB,交AP于点F,作DE⊥BP,垂足为点E. AD BE,BD=AF B E (I)求证：PB是OO的切线； Q若4P4,mC-子求00的学径。 8.(2024山东日照.中考真题)如图1，AB为00的直径，AB=12,C是00上异于A,B的任一点，连接 AC,BC,过点A作射线AD⊥AC,D为射线AD上一点，连接CD. 8/32 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【特例感知】 (1)若BC=6,则AC= (2)若点C,D在直线AB同侧，且∠ADC=∠B,求证：四边形ABCD是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC=√3，连接OD. (3)如图2，当CD与⊙0相切时，求0D的长度， (4)求0D长度的取值范围. 知 因園 知识·核心梳理 1.三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交 点 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 2.三角形内切圆与内心 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形， 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点. 三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等。 真题·实战精善 1.(2025·山东菏泽·二模)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心 举例：如图，若PA=PB,则点P为ABC的准外心 探究：已知Rt△ABC中，∠A=90°，BC=5,AB=3,准外心P在AC边上，则PA的长为() 9/32 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.2 c日 D.2或3 2.(2025山东滨州中考真题)如图，E、F、G、H四点分别在正方形ABCD的四条边上， AF=BG=CH=DE.若AB=17,EF=I3,则△GCH的内切圆半径为() H B G A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2024山东淄博二模)如图，在ABC中，LBAC=60°，AD⊥BC于点D,且AD=4,则ABC面积 的最小值为 B 4.(2024山东模拟预测)如图，在直线：y=5x上取一点4，使O4=1.过点4作4B上1，交x轴 3 于点公：在宜线：少=5上找一点4：使48=08，过4作4，交：轴于点公：在直线 P= 3 x上找一点A,使A,B2=OB2.以此类推.若△AOB的内切圆圆心为Q,△4，OB的内切圆圆心为 O,△4，OB,的内切圆圆心为Q.以此类推，△A,OB的内切圆圆心O,的坐标为 10/32 第六章 圆 第28讲 与圆有关的位置关系 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 点与圆的位置关系 题型01点与圆的位置关系 题型02利用点与圆的位置关系求半径 命题点二 直线与圆的位置关系 题型01 判定直线和圆的位置关系 题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的求值范围 命题点三 切线的判定定理 题型01 利用切线的性质求解 题型02 证明某直线是圆的切线（有交点） 题型03 证明某直线是圆的切线（无交点） 题型04 切线的性质与判定综合问题 命题点四 三角形的外接圆与内切圆 题型01 求特殊三角形外接圆的半径 题型02 直角三角形周长面积与内切圆半径的关系 题型03 三角形内心有关的应用 题型04 三角形外接圆与内切圆综合问题 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 点与圆上一点的最值问题 突破二 与圆有关的新定义型综合问题 突破三 圆与平面直角坐标系综合问题 突破四 圆与函数的综合问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 点与圆的位置关系 山东济南卷T7 山东省卷T9 山东青岛卷T8 理解点和圆的三种位置关系，并能通过比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系来判定。 直线与圆的位置关系（判定） 山东省卷T14 山东青岛卷T11 山东济南卷T13 理解直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交），掌握利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系进行判定。 切线的性质与判定 山东青岛卷T18 山东济南卷T17 山东省卷T19 掌握切线的性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径）与判定定理（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线），并能熟练运用于证明和计算。 切线长定理 山东省卷T20 山东青岛卷T19 山东济南卷T18 掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 三角形的内切圆与外接圆 山东济南卷T22 山东省卷T21 山东青岛卷T22 了解三角形内切圆、外接圆的概念，掌握其圆心（内心、外心）的性质，并能进行相关计算（如求半径、角度）。 命题预测 1. 基础考查：概念辨析，简单应用；基础题将继续稳定考查点、直线与圆位置关系的判定，通常结合已知距离或简单图形进行判断。对切线基本性质的直接应用（如利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形）也常在选填题中出现。 2. 核心考查：切线综合，模型构建；解答题的核心是切线的判定与性质的综合运用。常见模式为：先证明某直线是切线（判定定理），再利用其性质得到垂直关系，从而在由半径、切线、弦构成的直角三角形中，结合勾股定理、相似三角形或锐角三角函数进行综合计算。切线长定理往往与三角形的全等、周长或面积的计算紧密结合，是构建等量关系的重要模型。 3. 压轴考查：动态相切，代数几何融合；压轴题的区分度将体现在动点、动线与圆相切的存在性问题上。这类问题要求学生动态分析不同位置情况，将“相切”这一几何条件（d=r）精准转化为关于动点坐标或参数的代数方程，从而求解。此外，三角形内心、外心的性质可能进一步与几何变换（如旋转）、最值问题（如利用“垂线段最短”求线段最值）相结合，形成复杂的几何综合题，全面考查学生的空间想象、分类讨论及代数运算能力。备考需强化从复杂图形中分解出“切线-半径-弦”基本结构的能力，并熟练掌握将几何位置关系等价转化为代数等式的通法。 考点一 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 点P在圆外d>r 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，则下列说法错误的是（   ） A．与轴相切 B．与轴相离 C．点在内 D．点在外 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理，直线与圆和点与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点，根据点的坐标得到圆心到轴的距离是2，到轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案，熟练掌握运用直线与圆和点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作， ∴到轴的距离是2，到轴的距离是3， ∴与轴相切，与轴相离，故选项正确，不符合题意； ∵， 则点在内，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴点在内，故选项错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 3．（25-26九年级上·上海静安·月考）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 4．（2023·山东·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 考点二 直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2个 1个 无 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线l与⊙O相交d<r 直线l与⊙O相切d=r 直线l与⊙O相离d>r 从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位置关系的判断. 1．（2024·山东青岛·一模）已知平面内有和点A，B，若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：的半径为，，， 即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径， 点在外．点在上， 直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 2．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围． 【详解】解：作于D，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴，即圆心C到的距离， ∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：． 故选：D． 3．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则 秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 4．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    考点三 切线的判定定理与切线长定理 切线的性质定理与切线的判定定理 切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线） 【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 用切线的判定定理时,两个条件缺一不可:1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径. 3.切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的直径，点C为圆上一点，且，过点C作的切线，交的延长线于点D．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角与弧的关系，切线的性质．先求得，由切线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 3．（2025·山东枣庄·二模）如图，已知点M在y轴正半轴上，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理，过点作轴，连接，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，连接， ∵， ∴，， ∵与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为： 4．（2025·山东潍坊·一模）如图，直线、相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后与直线相切． 【答案】3或7 【分析】本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接，则，，由得到，求得向右移动了，即可求出时间．当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接，同理即可求解． 【详解】解：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接，    ∴， ∵， ∴， ∴， 则向右移动了，所用时间为； 当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接，    ∴， ∵ ∴， ∴， 则向右移动了，所用时间． 故答案为：3或7． 5．（2025·山东·中考真题）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线； （2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即且为半径， ∴为的切线； （2）解：∵，又， ∴等腰直角三角形， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长及的半径． 【答案】(1)见解析 (2)；的半径为 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长交于点，连接，根据已知得出，根据圆周角定理得出，进而等量代换可得即，即可得证； （2）证明，即可得出，过点作于点，得出，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是直径 ∴ ∴即 ∴是的切线； （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 解得： 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴的半径为 7．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，则，而，则，由于是的切线，则，再由等式的性质即可证明； （2）可得，设，则，，由切线长定理得到，则，求出，即可求解半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设， ∴，， ∵是的切线，是的切线， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴半径为． 8．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 【答案】（1）   （2）证明见解析  （3）   （4） 【分析】（1）根据直径性质得到，,根据，，运用勾股定理可得； （2）根据．，得到．得到，结合， 得到，得到，得到四边形是平行四边形； （3）连接．根据，得到，，根据切线性质得到，．得到，．得到，得到，运用勾股定理得； （4）过点A作射线，使，连接．得到，，根据．，可得，根据，得到，得，得到．根据，得到，即得． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴, ∵，， ∴ 故答案为：； （2）证明：∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，连接． ∵在中，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴， 在中，， ∴在中，； （4）解：如图，过点A作，使，连接． 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 考点四 三角形的外接圆与内切圆 1.三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 2.三角形内切圆与内心 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点. 三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等. 1．（2025·山东菏泽·二模）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】运用勾股定理求出的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：，，设，解一元一次方程，即可求得答案．本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义． 【详解】解：∵，，， 根据勾股定理，可得：， ∵准外心P在上， ∴或， ①当时，如图， 设， 则， 即， 解得：； ②当，如图， 设， 则， 此时也是直角三角形， 故， 即， 解得：； 故选：D 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 3．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，   ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 4．（2024·山东·模拟预测）如图，在直线l：上取一点，使．过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使，过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使……以此类推．若的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，的内切圆圆心为……以此类推，的内切圆圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据直线l：，可得，做于点，于点，于点，设半径为，根据内接圆的性质和角平分线的性质易求得的值，从而得到的坐标，再根据以及内角度数易证和为等边三角形，从而可得与的相似比为，进而可得的坐标是的坐标的两倍，同理的坐标是的坐标的两倍，即可得出的内切圆圆心的坐标． 【详解】解：直线l：， ， ，， ， 的内切圆圆心为， 在的角平分线上， 如图，做于点，于点，于点，设半径为， 由作图可得四边形为正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标为， ，，， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 与的相似比为， 又的内切圆圆心为，的内切圆圆心为， 连接，，，， 在的角平分线上， 即，都在的角平分线上， ，， ， ， 则同理可得横、纵坐标的相似比， 的坐标为， 同理：的坐标为， 的坐标为， 的内切圆圆心的坐标为，即， 故答案为：． 命题点一 点与圆的位置关系 ►题型01 点与圆的位置关系 / 方法总结 比较点到圆心距离d与半径r：d<r在圆内，d=r在圆上，d>r在圆外。结合勾股定理计算。 易错总结 混淆距离比较的不等号方向；实际问题中未正确建立d的表达式，或误判半径长度。 【典例】（2025·上海·模拟预测）在中，．过点C作圆B，并作圆A和圆B外切．若圆B内切于圆C，则点A在圆C （填写“内”“上”或“外”）． 【答案】外 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，圆外切性质，熟练掌握是解题的关键．设的半径为，点到圆心的距离为，若，则点在外；若，则点在上；若，则点在内；反之亦然．两圆内切时，圆心距等于半径的差．根据的半径为5，内切于，可得的半径为10．由，比较的半径即可判断点A与的位置关系． 【详解】解：设的半径为，的半径为，与内切于点D，交射线于点E， 则点D在延长线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在外． 故答案为：外． 【变式1】（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 【变式2】（2023·江苏连云港·模拟预测）已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 . 【答案】外 【分析】根据题意，圆的半径为，结合，解答即可，本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握法则是解题的关键. 【详解】根据题意，得圆的半径为， 因为， 故点P在圆的外部， 故答案为：外. 变式2（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在 ． 【答案】外 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故答案为：外． ►题型02 利用点与圆的位置关系求半径 / 方法总结 根据点在圆上/内/外，建立d=r、d<r、d>r的不等式或方程。常结合勾股定理列式求半径范围。 易错总结 忽略多点共圆时需同时满足多个不等式；求范围时遗漏半径必须为正的隐含条件。 【典例】（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 【变式1】（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 【变式2】（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．    【答案】 【分析】首先利用勾股定理得出的长，利用以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，得出r的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵矩形矩形中，，， ∴， ∵以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外， ∴半径r的取值范围是：， 故答案为：． 命题点二 直线与圆的位置关系 ►题型01 判断直线和圆的位置关系 / 方法总结 比较圆心到直线距离d与半径r：d<r相交，d=r相切，d>r相离。常需先求垂线段长。 易错总结 混淆d与r比较的不等号方向；计算垂线段长度时，未用点到直线距离公式导致错误。 【典例】（2023·山东菏泽·二模）已知在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径作，则直线与的位置关系是 （相切、相交或相离）． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据直线与y轴的交点在内部，即可确定直线与圆的位置关系是相交． 【详解】解：当时，， 即直线与y轴的交点为，而此点在内部， ∴直线与的位置关系是相交； 故答案是：相交． 【变式1】（2025·福建福州·二模）如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是 （填“相交”“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，切线的判定定理等知识点，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 过点作交于点，求得，然后得到，利用切线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：将绕点顺时针旋转后为，过点作交于点， ， ， ， 的长度与的半径长度相等，且， 所以，旋转后的与射线相切． 故答案为：相切． 【变式2】（2025·宁夏银川·一模）在中，，，O是上一点，，的半径为2，与的关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，锐角三角函数，根据题意画出图形，过O作于D，可求得圆心到直线的距离与2的大小关系，再根据直线和圆的位置关系，从而确定与的位置关系． 【详解】解：如图，过O作于D，则， ∵在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵的半径为2，， ∴与相交， 故答案为：相交． ►题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 / 方法总结 依据直线与圆位置关系，建立圆心到直线距离d与半径r的方程或不等式（相交d<r，相切d=r，相离d>r），解出半径范围。 易错总结 忽略r>0的隐含条件；解不等式时符号方向错误；多个条件时未取交集。 【典例】（2025·青海西宁·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据直线与相切得出，推出方程有两个相等的实数根，再根据即可求出的值． 【详解】解：的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切， ， 、是方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：4． 【变式1】（2024·上海青浦·二模）在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】过点O作于点E，根据勾股定理得到，然后根据，得到，根据题意分两种情况，当线段在外时和当线段在内时，分别得到r的取值范围即可． 【详解】解：过点O作于点E， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵与有公共点，且与边没有公共点， 当线段在外时，如图，此时， 当线段在内时，如图，此时    ∴的半径r的取值范围是：或 故答案为：或． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期中）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 【答案】或 【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 【详解】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 命题点三 切线的性质与判定 ►题型01 利用切线的性质求解 / 方法总结 切线性质核心：切线垂直于过切点的半径。常连接切点与圆心，构造直角三角形用勾股定理。 易错总结 忽略“过切点”前提，误连圆上其他点作垂直；将切线长定理与切线性质混淆。 【典例】（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，三角形外角性质，圆周角定理等知识，连接，由切线性质可得，又，则，所以，则，根据是的直径，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． ►题型02 证明某直线是圆的切线（有交点） / 方法总结 已知交点（切点）时，连半径证垂直。即连接圆心与交点，证明该半径与给定直线垂直。 易错总结 未明确说明所连线段是半径；证明垂直时理由不充分，如误用等腰三角形性质而非勾股逆定理。 【典例】（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：所对的弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切． （2）解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 【变式1】（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【详解】（1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2024·山东威海·中考真题）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． 【详解】（1）证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． ►题型03 证明某直线是圆的切线（无交点） / 方法总结 作垂直证半径。即过圆心作直线的垂线段，证明该垂线段长度等于圆的半径。 易错总结 未说明所作垂线段是“圆心到直线的距离”；证明垂线段等于半径时，计算或推理错误。 【典例】（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 【变式1】（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是菱形，理由见详解 【分析】（1）先理解题意，结合两位同学的想法，作图，再根据平行四边形的性质以及切线的性质，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质进行分析，即可作答． （2）先理解题意，作图，证明，得，因为四边形是平行四边形，得，即，得，故，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）解：左边同学的思路： 过点O作，连接，，如图所示： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是的切线； 右边同学的思路： 连接，并延长交于点F，如图所示： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是切点， 即直线是的切线； （2）解：是菱形，理由如下： 当与相切时，记切点为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线； （2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）方法一： 证明：过点作于点， ， ， 与相切于点， ， ， ，， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； 方法二： 证明：过点作于点， 与相切于点， ， ， 是的平分线， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； （2），为半径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ． ►题型04 切线的性质与判定综合问题 / 方法总结 判定为先（连半径证垂直或作垂直证半径），性质为用（切线⊥半径）。常结合全等与勾股定理解题。 易错总结 混淆判定与性质，用性质代替判定证切线；综合题中忽略切线的唯一性，导致多解遗漏。 【典例】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图1，图2，在中，，点E为边上一点（包括端点），经过点E，点C作，总满足与相切于点E，设的半径为r．    (1)通过计算判断与的位置关系； (2)如图2，当点O落在上时， ①求r的值； ②求落在内部的弧的弧长（包括端点）； (3)直接写出r的取值范围． 【答案】(1) (2)①3；② (3) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）①连接，先证明切于C点，由和边切于点E，得，，证明，然后利用相似三角形的性质即可求解； ②根据弧长公式计算即可； （3）根据当为直径时，圆O半径最小和当E点与B点重合时，半径最大求出临界值即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， 为直角三角形，且， ． （2）如图，当点O落在上时，连接，设与的另一个交点为点F．    ①， ∴切于C点． 和边切于点E， ， ， ． ， ， ，即， ． ②由于圆心O在上， ， ∴弧的长为． （3）解：． 如图，当为直径时，此时，圆O半径最小． ， ， ∴半径r最小为．    当E点与B点重合时，半径最大， 如图，连接，过O作于H．   ， ． ． 在中，． ， ， ，即r的最大值为． 综上所述，r的取值范围为． 【变式1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，求的半径． (3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）方法一：连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证； 方法二：连接，过点作于点，根据正方形的性质证明得出，同方法一即可得证； 方法三：过点作于点，连接．得出四边形为正方形，则，同方法一即可得证； （2）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求解． （3）方法一：连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出； 方法二：连接，证明得出，进而可得，同理可得 方法三：连接，证明得出，设，则，进而可得，进而同方法一，即可求解． 【详解】（1）方法一：证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ． 四边形是正方形，是正方形的对角线， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法二： 证明：连接，过点作于点， 与相切于点，， ， 四边形是正方形， ， 又， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法三： 证明：过点作于点，连接． 与相切，为半径， ， ， ， ， 又四边形为正方形， ， 四边形为矩形， 又为正方形的对角线， ， ， 矩形为正方形， ． 又为的半径， 为的半径， 又， 与相切． （2）解：为正方形的对角线， ， 与相切于点， ， 由（1）可知，设， 在中， ， ， ，， 又正方形的边长为． 在中， ， ， ， ． ∴的半径为． （3）方法一： 解：连接，设， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又， ． ． 方法二： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 方法三： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ． 又， ， ． 【变式2】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图1，若；求的半径； (3)如图2，连接，交点为H，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，即，再根据等腰三角形性质可得，由半径相等和等边对顶角得出，推出，根据平行线的判定可得，由得出半径，再运用切线的判定即可证得结论； （2）先证得，得出，求得，即可求得答案； （3）先证得是等边三角形，可得，，再利用直角三角形性质可得，推出，进而得出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴的半径为； （3）解：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 命题点四 三角形的外接圆与内切圆 ►题型01 求特殊三角形外接圆的半径 / 方法总结 直角三角形外接圆半径等于斜边一半。等腰或一般三角形用正弦定理 R = a/(2sinA) 或先求外心。 易错总结 混淆不同三角形外接圆半径公式；直角三角形中误将直角边当作直径计算。 【典例】（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 【变式1】（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形外接圆半径的计算，解题的关键是利用等边三角形的性质和三角函数关系求解． 如图，连接、，过点作于，利用等边三角形的性质，由圆周角定理得，得，再借助和三角函数求出外接圆半径． 【详解】如图，连接、，过点作于， ∵为等边三角形， ∴， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形外接圆的半径，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，如图所示： ∵的高，相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的外接圆半径为． 故答案为：． ►题型02 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 / 方法总结 公式 r = (a+b-c)/2 = S / [(a+b+c)/2]。常通过面积法（S = r 半周长）或切线长相等推导。 易错总结 记错公式符号，如将 (a+b-c)/2 误为 (a+b+c)/2；未明确直角边 a, b 与斜边 c 的对应关系。 【典例】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为 【答案】1 【分析】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，正方形的性质与判定，由勾股定理可得，证明四边形是正方形，设，则，由切线长定理可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，，是的内切圆，且与分别切于点D，点E，点F， 由勾股定理得； 由切线的性质可得， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设，则， 由切线长定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的内切圆半径为1， 故答案为：1． 【变式1】（2025·山西阳泉·二模）有一张如图所示的四边形纸片，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，作的角平分线，交于，过E作于点F， 作于点G，根据角平分线性质，证明点E到四边形各边的距离相等，进而确定出圆最大半径时的位置，再利用相似三角形的性质求出半径即可． 【详解】解：如图，连接，作的角平分线，交于，过E作于点F， 作于点G， 则由角平分线性质知，， 又∵， ∴， ∴， ∴同理，由角平分线性质知，点E到四边形各边的距离相等， ∴当以点为圆心，以为半径作圆时，可知与四边形各边相切，此时圆的半径最大，其面积也最大，设圆的半径为r，如下图： ， ∵为直角，，， ∴四边形为正方形， ∴， 由为直角，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 【变式2】（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件证明，，利用三角形面积比解答即可．本题主要考查了三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键． 【详解】解：令，，， 在中，， 可得：， ， ， 又， ， ， 即：， ， 同理可得：， ， ， 即：， ∵，，的内切圆半径分别记为，，， ，，， ； ， ，， ． 故答案为：． ►题型03 三角形内心有关的应用 / 方法总结 内心是角平分线交点，到三边距离相等。常用面积法 S = r 半周长，或利用角平分线性质比。 易错总结 混淆内心与外心性质；应用角平分线定理时，线段比例对应错误。 【典例】（2024·天津·模拟预测）锐角三角形的内心为I，，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，含有角的直角三角形的性质、勾股定理．求出，再求出，解求出及，再根据切线的性质即可求出的周长． 【详解】解：如图， 设的内切圆与三边切于、、， 由切线长定理可知． 连接、、，则． ∵， ． 由题可知、、分别是三角形三个角的角平分线， ， ， ， ∴的周长为 ． 故答案为：． 【变式1】（2025·广东江门·三模）如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为： ． 【答案】3 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点H，因为是的高，所以于点D，由点O是的内心，证明平分，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点H， ∵是的高， ∴于点D， ∵点O是的内心， ∴平分， ∵点O在的平分线上，且于点H，于点D， ∴， ∴点O到边的距离为3， 故答案为：3． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）如图，已知是的直径，为上一点，连接，平分交于点于点，连接交于点，，连接．若，，则 ； ．    【答案】 // 【分析】连接，设，证明点为内心，进而证明为等腰三角形，设，由，可知，由垂径定理可得，即有，在中，结合勾股定理解得的值，即可确定的值；确定，的长度，再证明为等腰三角形，可设，则，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如下图，连接，    设， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，即平分， 又∵平分， ∴，点为内心， ∴平分，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在中，可有， ∴，解得或（舍去）， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∴在中，可有， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，可有， ∴，解得，即， ∴． 故答案为：，． ►题型04 三角形外接圆与内切圆综合问题 / 方法总结 外心是垂直平分线交点，内心是角平分线交点。分清性质：外接圆半径R用于对角，内切圆半径r用于面积。 易错总结 混淆外心与内心的定义和性质；综合题中未区分“垂直平分线”与“角平分线”的应用场景。 【典例】（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）欲证明，只要证明； （2）连接，由，可得，设，，则，，同法可证：，推出，推出，推出，设，，由，可得，推出，即解得，由此即可解决问题； 【详解】（1）是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ， ； （2）连接． ， ， ， ，， ， ，设，，则，， 同法可证：， ， ， ：：，设，， ，， ， ， ， 或舍弃， ，， ， ， ． 【变式1】（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使． (1)请直接写出的正切函数值，即______； (2)求证：是的切线； (3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角得到，再根据正切函数定义 ，代入、计算得出结果． （2）先由得出，结合证明，得到，再通过圆的性质及等量代换推出，即，从而证明结论． （3）过点作，先利用平行线性质得出，结合三角函数值求出长度，再通过相似三角形得出长度，进而得到，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质证明 ． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， 在中，，，， ∴． （2）证明：如图，连接， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 是⊙的直径， ， ， ，即， ． 是的半径， 是的切线． （3），理由如下：   如图，过点作，垂足为，与交于点， ， ， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 【变式2】（2025·广东广州·三模）已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，点P是与抛物线对称轴的交点，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②2或3或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①利用待定系数法求得的解析式为，进而可得：，即是等腰直角三角形，则外接圆半径，再利用面积法求得内切圆半径为，即可求得答案；②分三种情况：当点F在的平分线上时，当点F在的平分线上时，当点F在的平分线上时，分别求得的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设的解析式为， ∵B的坐标为，C的坐标为， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴的外接圆半径， ∵内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴， 当点F在的平分线上时，如图，则， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点F在的平分线上时，如图， ∵， ∴直线与x轴的夹角为，则，此时点E，F均与点O重合， ∴； 当点F在的平分线上时，如图，过点F作于H， 设，则， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 解得： ， ∴， ∴； 综上，的面积为2或3或． 突破一 点与圆上一点的最值问题 【典例】（2025·四川宜宾·三模）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧．连接交于，当点P运动到时，取到最小值． 【详解】解：如图所示，∵边长为6的等边， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 此时， 连接交于，当点P运动到时，取到最小值， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，点在边上，且，若为平面内一点，且满足，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的外接圆，线段的最值问题，将线段的最值问题转化为点与圆上的点的最值问题是解题的关键； 取的中点F，连接，由可得点P在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系求线段的最小值和最大值． 【详解】如图，取的中点F，连接，以为直径作圆， ， 点P在以为直径的圆上， 四边形为正方形，且边长为4， ，， ， 又，由勾股定理得， 点P在以为直径的圆上， 的最小值为，最大值为． 故答案为：；． 【变式2】（2025·河南郑州·三模）如图，在边长为4的菱形中，，点E为边的中点，点F为边上一动点，连接，将沿折叠，得到，连接，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，由菱形的性质得到，，由折叠的性质可得，则可证明点G在以点D为圆心，4为半径圆上运动（在上运动），则当点F与点B重合，此时点G与点A重合时，有最大值，当点E在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为4， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴点G在以点D为圆心，4为半径圆上运动（在上运动）， ∴当点F与点B重合，此时点G与点A重合时，有最大值， 如图所示，过点E作交延长线于H， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； ∵， ∴当点E在线段上时，有最小值，最小值为的值， 由菱形的性质可得， ∴是等边三角形， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 突破二 与圆有关的新定义型综合问题 【典例】（2024·陕西西安·模拟预测）与的半径分别为R、r，如果在直线取一点P，使，那么称与关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作与的位似比（规定：同心圆关于圆心位似）． (1)如图①，已知和点P，画，使与关于点P位似，且与的位似比为； (2)如图②，已知和关于点P位似，直线l经过点P且与相切，切点为A，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线l是的切线，理由见解析 【分析】本题主要考查了画位似图形，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定： （1）根据题意可得，，据此作图即可； （2）连接，作于点C，设和的半径分别为．由切线的性质得到，则可证明，得到，再由和的关于点P位似，得到，则，据此可证明直线l是的切线． 【详解】（1）解：如图所示，和即为所求； 由题意得，， 由，得到，； （2）解：直线l是的切线，理由如下： 如图，连接，作于点C， 设和的半径分别为． ∵直线l是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的关于点P位似， ∴， ∴， ∵，是的半径， ∴直线l是的切线． 【变式1】（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，是的一条弦，以为边作平行四边形．对于平行四边形和弦，给出如下定义：若边所在直线是的切线，则称四边形是弦的“弦切四边形”． (1)若点，，四边形是弦的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”，并直接写出点的坐标； (2)若弦的“弦切四边形”为正方形，求的长； (3)已知图形和图形是弦的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形与不重合．，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记的长为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）因为四边形是弦的“弦切四边形”故是的切线，因为，四边形是平行四边形，故线段是在直线上，且垂直于轴，根据平行四边形的性质可得，所以垂直轴，因为是的一条弦，在上，，由图象可得点坐标为，所以，因为， ，，所以由图象可得点的坐标为． （2）当弦的“弦切四边形”为正方形时，则以为边作出的四边形为正方形，可得线段与相切，交点为点，连接并延长交于点G，故可得出正方形，因为线段与相切，交点为点，为的圆心，所以，因为，所以，，四边形为矩形，设为，因为，所以，又因为，，所以点是AB的中点，即，故在中，，带入数值为，解得：或（舍），所以． （3）分情况讨论：①由题意可得，圆上任意点（与轴轴交点除外），关于轴的对称点B，作菱形与，分别为菱形和菱形，且和与圆相切于点，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接交轴于点，连接，交轴于点，连接，故是直角三角形，设，因为，所以，因为，，和分别是和的中点，所以，，，所以，因为，和分别是和的中点，所以，因为，，所以，故在中，，带入数值为，故当时，，因为，所以，即，因为，所以．②当点在圆上与轴轴交点上时，关于轴的对称点B，作菱形和菱形， ，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即．同理可得作菱形和菱形，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即．综上所述，的取值范围为或． 【详解】（1）解：∵四边形是弦的“弦切四边形” ∴是的切线， ∵，四边形是平行四边形， 故线段是在直线上，且垂直于轴， 根据平行四边形的性质可得， ∴垂直轴， ∵是的一条弦，在上，， 由图象可得点坐标为， ∴， ∵， ，， ∴由图象可得点的坐标为． ． （2）当弦的“弦切四边形”为正方形时，则以为边作出的四边形为正方形，可得线段与相切，交点为点，连接并延长交于点G，故可得出正方形，如下图所示： ∵线段与相切，交点为点，为的圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 设为， ∵， ∴， 又∵，， ∴点是AB的中点，即， 故在中，， 带入数值为， 解得：或（舍）， ∴． （3）①由题意可得，圆上任意点（与轴轴交点除外），关于轴的对称点B，作菱形与，分别为菱形和菱形，且和与圆相切于点，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接交轴于点，连接，交轴于点，连接，故是直角三角形，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵，，和分别是和的中点， ∴，，， ∴， ∵，和分别是和的中点， ∴， ∵，， ∴， 故在中，， 带入数值为， 故当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴． ②当点在圆上与轴轴交点上时：如图所示，关于轴的对称点B，作菱形和菱形， ，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即． 同理可得作菱形和菱形，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即． 同理可得作菱形和菱形，,分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时,即. 同理可得作菱形和菱形，,分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时,即. 综上所述，的取值范围为或． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，点为半圆弧上一动点． (1)如图1所示，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，请判断的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出的度数． (2)如图2所示，是的“沉毅三角形”，当与相切时，判断是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出的长度． (3)若分别以为底边作的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点从点运动到点时，分别求出点运动的路径长度． 【答案】(1)的度数不发生变化，的度数为 (2)是的“完美三角形”，的长度为 (3)以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据圆周角定理可得，由此即可得； （2）是的“完美三角形”，证明：连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据圆的切线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定可得与相切，由此即可得证；最后解直角三角形即可得的长度； （3）分别画出以为底边作的“沉毅三角形”、以为底边作的“朴实三角形”，找出点运动的路径，利用弧长公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵是的“沉毅三角形”， ∴是等边三角形， ∴， ∵以为底边作的“朴实三角形”， ∴是以为底边等腰直角三角形， ∴， ∵为半圆的直径， ∴， ∴， 所以的度数不发生变化，的度数为． （2）解：是的“完美三角形”，证明如下： 如图，连接， ∵是的“沉毅三角形”， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴与相切， 又∵与相切， ∴是的“完美三角形”． ∵为半圆的直径， ∴， ∴在中，． 综上，是的“完美三角形”，的长度为． （3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合， 取的中点，连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴点三点共圆，所在圆的圆心为点， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上， ∵是等边三角形，且， ∴， ∴此时点运动的路径长度为； 如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合， 同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴， ∴在中，， ∴此时点运动的路径长度为； 综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为． 突破三 圆与平面直角坐标系综合问题 【典例】（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．    (1)如图，的半径为2，点． ①在的三条边中，的“交割线段”是 ； ②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②当或 (2)或 【分析】（1）先根据点A和点B的坐标得到与相切，则线段上没有点在外；再证明线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内，即可得到结论； （2）设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设，利用勾股定理求出，由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”；由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； （3）分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点A在上， ∴与相切， ∴线段上没有点在外， ∴线段不是的“交割线段”， ∵， ∴点C在内，点B在外， ∴线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内， ∴线段不是的“交割线段”，线段是的“交割线段”， 故答案为：；    ②如图所示，设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设， ∴，， ∴此时点H刚好在上，且此时与相切； ∵的半径为2， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”； 由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； 综上所述，当或时，线段是的“交割线段”；    （2）解：联立 得， ∴， 同理可得，； 如图2-1所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-2所示，当恰好与相切于H时，连接， ∵，， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；        如图2-3所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-4所示，当恰好与相切于P时，连接，设直线与x轴交于Q， ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；      综上所述，当或时，的三条边中有且只有两条是的“交割线段”． 【变式1】（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于两点A和B，其中点A在上．给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为d，则称点B是点A的“d关联点”． (1)如图1，点． ①在点，，中，点______是点A的“d关联点”，其中d=______； ②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的最大值为______； (2)直线与x轴，y轴分别交于点M，N．对于线段MN上任意一点P，都存在上的点Q，使得点P是点Q的“t关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2) 【分析】(1) ①依次作出对应的垂直平分线，可知的垂直平分线与相交，且其垂直平分线的解析式为，对应的； ②作等边，轴于点，以点为圆心，长为半径作圆，若点为点的“1关联点”，则的垂直平分线与半径为的圆相切，点与点关于中心对称，由，，可得，此即点横坐标的最大值； (2)根据“关联点”的定义和垂径定理，再运用勾股定理即可分别求得PQ的极值即可得出t的取值范. 【详解】（1）解∶ ①依次作出对应的垂直平分线， 的垂直平分线与相交， 点．， 线段中点坐标为， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 得， 解得， 其垂直平分线的解析式为， 对应的； ②如图，作等边，轴于点，以点为圆心，长为半径作圆， 若点为点的“1关联点”，则的垂直平分线与半径为的圆相切，点与点关于中心对称， ， ， ， ， ， 可得， 此即点横坐标的最大值为； 故答案为∶①，； ②； （2）解： 如图，点是点的“关联点”，的垂直平分线与相交，截得的线段是， 则，则，， 则， 即点的“关联点”距离点的最远距离为， 当点在上运动时，点随之运动，则点的“关联点”最远的位置，在以点为圆心，为半径的圆上， 对于固定的点而言，距离点最近的“关联点”不需要分析，事实上，如图所示， 弦长，点关于点的对称点，即为距离点最近的“关联点”， 点是上的点，点是点的“关联点”，则点最远处依然是在一个圆上，圆的半径为，结合已知，点与点的距离最远，因此，需要使得点在以为半径的圆内即可， 又， 得， 解得（舍负）， 据此可得的最大值为， 直线且，直线与坐标轴的交点，，可知，上任意一点，在上都可以找到一点，使得线段的垂直平分线与相交，且被所截得线段长恰好为，由已知，，且的弦长最大为直径，所以可得， 如图，当线段与相切时， 设点即为切点，此时，圆上任意一点为，线段的垂直平分线经过圆心，被截得的弦长即为直径，长度为2，矛盾；线段与没有交点，则； 综上所述，可得， 【变式2】（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”． (1)如图，点，，，． ①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____； ②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围； (2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值． 【答案】(1)①，C②； (2)最小为，最大为． 【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可； ②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹， 从而得到的半径范围 （2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值； 根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值； 【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，A点绕逆时针旋转得到点C， 故答案为：，C； ②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点，作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示 由旋转可知，，， ， 坐标为 在上运动 设与轴的交点为，与轴交点为 当，，当时，， ， 以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高 当不是点的关联图形时， 故答案为：． （2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接，，如图所示 由旋转可知，，， ， 点坐标为 所以在上运动 ， 与轴的夹角为 设在轴的交点为，那么点坐标为 当与有唯一交点时，最大 与相切 为等腰直角三角形且 故最大为； 设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示 同理可证， ， 的坐标是 在上运动 设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值． 同理可证为等腰直角三角形，且 故最小值为． 突破四 圆与函数的综合问题 【典例】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，关于的二次函数图象的顶点为，图象交轴于、两点，交轴正半轴于点．以为直径作圆，圆心为点，定点的坐标为，连接．（）    (1)求用表示的、、三点坐标； (2)当为何值时，点在直线上？判定此时直线与圆的位置关系； (3)当变化时，用表示的面积． 【答案】(1)，， (2)当时，点在直线上；直线与相切 (3) 【分析】（1）根据轴，轴上点的坐标特征代入即可求出、、三点的坐标； （2）待定系数法先求出直线的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系； （3）分当时，当时两种情况讨论求得关于的函数． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得，； 令，则． ∴，，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得，，． 直线的解析式为． 将化为顶点式得：． 顶点的坐标为， 把代入得： ∴， ， ， ∴当时，点在直线上， ∴， ∴， ∴ 连接，    ，， ， ∴点在圆上 又， ∴，，， ． 直线与相切； （3）解：当时，， ∴． 当时，． ∴， 综上所述，． 【变式1】（25-26九年级上·江西新余·月考）二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，点是这个函数图象上的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，当点在直线下方时，过点作，垂足为，求的最大值； (3)如图，当点在轴上方时，连接，直线是二次函数图象的对称轴，过点作直线，垂足为，以点为圆心作圆，与相切，切点为．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)的半径是． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，切线的性质，二次函数的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）连接、，过点作轴，交于点，由题意可得点，求出直线对应函数表达式为，设点坐标为，则，则，所以，当时，的最大值为，然后通过，即可求出的最大值； （）设点坐标为，则，设的半径为，则有，又以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，故有，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴； （2）解：连接、，过点作轴，交于点， 由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则， ∴， ∴， 设点坐标为，则， ∴， 则， 当时，的最大值为， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （3）解：设点坐标为，则， 设的半径为， ∵与相切，切点为，二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是． 【变式2】（2025·广东梅州·一模）【问题背景】 正方形与正方形相邻，点O，C，F在同一条直线上．以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．若过A，B，E三点（圆心P在x轴上），抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为G，M是的中点，正方形的面积为1． 【构建联系】 （1）求抛物线的解析式． （2）求证：是的切线． 【深入探究】 （3）设是抛物线上的一个动点（不与点C，G重合）．当时，请求出点N的横坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或 【分析】题目主要考查二次函数的应用，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，，，根据正方形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，设，由圆和正方形的轴对称性可知利用勾股定理确定，，得出，确定点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据正方形的性质及抛物线与坐标轴交点得出，确定，利用相似三角形的判定和性质即可得出结果； （3）以为边在轴上方作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，当点在点左侧时，．连接，交于点，连接，利用圆周角定理及三角形外角的性质即可得出结果；当当在点右侧时，，同理可得即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，． 正方形的面积为1， ． ∵过A，B，E三点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则 . ， ， ， 解得或（舍去）. ． . 点在抛物线上， 解得 抛物线的解析式为. （2）证明：正方形的面积为1， ． 抛物线与轴交于点 ， ， ． ． ， . 在和中， ， ，且． ． . ． 是的切线； （3）解：如图，以为边在轴上方作等边三角形，以为圆心，为半径作圆． 当点在点左侧时，． 连接，交于点，连接． ， 当点在点右侧时，． 同理可得， 当时，点的横坐标的取值范围是或． 1．（2025·河南南阳·二模）如图，内接于，为直径，过点A的切线交射线于点D，． 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，由此可解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的切线， ， ， 故选C． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，的半径为5，，则点在 ．（填“内”、“上”或“外”） 【答案】内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，即点到圆心距离小于半径在圆内、等于半径在圆上、大于半径在圆外，根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小即可判断. 【详解】解：∵的半径为5，，且， ∴点P在内. 故答案为：内 4．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查圆的切线性质、切线长定理、全等三角形判定与性质、等腰三角形三线合一、直角边是斜边一半等知识，关键是先证明平分且，再结合直角边是斜边一半计算线段长度． 【详解】解：如图，连接，， ∵，与相切于点，， ∴，，且，， ∴垂直平分， ∴平分，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设，，， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，是的角平分线，交于点，是外接圆，且交于点． (1)求证：是的切线； (2)若直径，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了角平分线的定义、等边对等角、矩形的判定和性质、垂径定理和切线的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义可得，再根据等边对等角和平行线的性质即可证明； （2）连接，并过点作于，则，先证明四边形是矩形，则，，再根据勾股定理可求出，进而根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，并过点作于，则， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ， ， 的长是2． 6．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)比较大小：__________（填“、或”） (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若菱形的边长为2，，求的半径． 【答案】(1) (2)与相切，见解析 (3)的半径为 【分析】本题考查切线的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“菱形的对角线平分一组对角”可得； （2）连接，过点作于，只要证明即可解决问题； （3）设半径为r，则，，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：． （2）（2）连接，过点作于， ∵与相切于点， ∴，是的半径， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∵，， ∴， ∴与相切； （3）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设半径为．则，， ∵，， 在中，，， ∴， 解得， ∴的半径为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，四边形的两边与相切于两点，点B在上，若圆的半径为，则所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质、求弧长等知识，连接，由切线的性质可得，结合解得的度数，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴所对的弧长． 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为（　　） A．14 B．15 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标、勾股定理、两点之间线段最短、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，作轴于点D，连接，由，得，，求得，则，而，所以，求得的最大值为16，于是得到问题的答案． 【详解】解：作轴于点D，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为16， 故选：C． 二、填空题 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长 ． 【答案】 【分析】先利用切线性质得到垂直关系，结合求出的度数；再根据三角形周长和切线长定理求出的长度；最后根据弧长公式计算点的运动路径长（即绕点旋转的弧长）． 【详解】解：连接、， ∵与，分别相切于点，， ∴，， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴−−−， ∵的周长为，内切圆与，，分别相切于，，， ∴，，， ∵， ∴−， ∵，且，， ∴， ∴−， ∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转到点在上， ∴点的运动路径为以为圆心，为半径，圆心角为的弧， ∴弧长， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、多边形内角和、弧长公式，熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键． 三、解答题 5．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若点是的中点，且，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，由可得，，则，使用等量代换可得，，命题得证； （2）设的半径为，则，根据点是的中点，可得，进而求出．结合和，可证明，根据相似三角形的性质计算出，使用勾股定理计算出，进一步算出的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， ∵点是的中点， 又∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在直角中，， ∴，解得，， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． 6．（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知，是半径为6的圆O上的弦，P为圆上的动点，连接，过点A作直线与的延长线交于点C．请围绕以下三种情况，对圆中的动点问题进行探究． (1)特殊位置探究：如图1，若，且经过圆心O，求证：是的切线； (2)一般位置探究：如图2，点P在圆上运动， ，但不经过圆心O． ①求证：是的切线； ②若，求的长； (3)最值问题探究：如图3，点P在圆上运动，若，，的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②； (3)存在，． 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则可证明，即，据此可证明结论； （2）①连接并延长，交圆O于点Q，连接，则，则可证明，同（1）可得，据此可证明结论；②作，垂足分别为点E，D，可证明；由垂径定理得到，则，利用相似三角形的性质求出，解直角三角形得到，则，，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点C到的距离为h，则，当h取到最大值时，取到最大值；连接，证明是等边三角形，得到，则可求出，故点P在圆上运动时，点C在以为弦，圆周角的圆上，且在优弧上运动．设的外接圆圆心为T，过点T作于点H，连接，可证明当T、C、H三点共线，且时，h有最大值，最大值为的长，可证明是等边三角形，得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵经过圆心O，即是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即， ∵是的直径， ∴是圆O的切线． （2）解：①连接并延长，交圆O于点Q，连接，则 ∵， ∴， 同（1）可得， ∵是的直径， ∴是圆O的切线． ②作，垂足分别为点E，D， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：设点C到的距离为h，则， ∵， ∴ ∴当h取到最大值时，取到最大值； 如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在圆上运动时，点C在以为弦，圆周角的圆上，且在优弧上运动． 设的外接圆圆心为T，过点T作于点H，连接， ∵， ∴当T、C、H三点共线，且时，h有最大值，最大值为的长， 由垂径定理可得， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴h的最大值为， ∴的面积的最大值为． 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，四边形是正方形，根据面积法求出内切圆的半径，进而可得的周长． 本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、， 由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， 设内切圆的半径为r， 由， 得， 解得， ∴， ∴， ， ∴的周长 ． 故选：B． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，在中， ，，点P是边上的一点，设，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段与有2个交点，则x的值可能是（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，交于点，连接，求得的长度即可求得的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，交于点，连接， ， 在中，， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 根据勾股定理可得， ， 若线段与有2个交点，则， 即， ， x的值可能是， 故选：C． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，的直径和是它的两条切线，切点分别为切于E，交于，交于C，设，则与的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的性质及切线长定理，熟练应用切线长定理是解题的关键．过点D作，又因为和与相切于点A、B，可证四边形是矩形，再由切线长定理可得，在中，由勾股定理即可求出与的函数关系． 【详解】解：过点D作，垂足为F，   和与相切于点A、B， ， ， 四边形是矩形， ， 切于E， ， ， 在中，由勾股定理得， 化简得，， ， 结合选项可知，B选项符合题意， 故选：B． 二、填空题 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，根据圆的切线得到，进而求出的度数，结合等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，再利用圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵的切线交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·四川广元·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，交的延长线于点D，过点作的切线交于点，当时， ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，不妨设，先利用平行线的性质，证明，结合，推出，从而推出为等腰直角三角形，接着利用勾股定理求得，，然后利用求得答案． 【详解】解：连接，过点作于点，不妨设，如图所示： 过点作的切线交于点， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 6．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． 【答案】9 【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于点H，则， 分别与扇形相切于点A，E，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得：． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 7．（2025·上海松江·二模）如图，在中，，，点在边上，以O为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点E． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】此题考查了切线的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用切线的性质和含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案； （2）连接、，则，证明△和△是等边三角形，再利用含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：与边相切于点， ， ， ，， ， ， ， ， 的半径长为4． （2）解：连接、，则， ，， ， △是等边三角形， ，, ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 的值为． 8．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $