精品解析：浙江省杭州市富阳区,钱塘区,桐庐县,淳安县,建德市2025-2026学年高一第一学期期末学业水平测试数学试题

2025学年第一学期期末学业水平测试 高一数学试题卷 考生须知： 1.本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题. 2.请在答题卷的规定处，用2B及以上铅笔填涂准考证号、选择题答案，用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名、准考证号和答案. 3.试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】应用存在量词命题的否定求解. 【详解】由题意得，命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将自变量代入解析式中求解即可. 【详解】，， . 故选：D 3. 已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件求出扇形的半径，从而可求出扇形的面积 【详解】设扇形的半径为，由题意可得，解得， 所以扇形的面积为. 故选：B. 4. 关于的不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，且，利用韦达定理可得出、的值，即可得出的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根分别为、，且， 由韦达定理可得，解得，，故. 故选：B. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式结合同角三角函数的基本关系化简原式，最后代入求值即可. 【详解】由题意得 ，故C正确. 故选：C 6. 某实验室废液中含有害化学物质B，处理时其浓度会随时间衰减.已知物质B的初始浓度为20mg/L，处理后浓度y（mg/L）与处理时间t（小时）的关系为.按安全标准，该物质浓度需降至0.5mg/L以下才能排放，则至少需要处理的时间为（参考数据：，）（ ） A. 15小时 B. 17小时 C. 19小时 D. 21小时 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意得，， 两边同时取对数得， 由对数函数的性质可知，， 又， ， ， 则至少需要处理的时间为17小时. 故选;B. 7. 若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理可得，结合基本不等式可得，，进而可得最小值. 【详解】因为正实数a，b满足，则， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为. 故选：A. 8. 已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先令得到，再逐项分析即可. 【详解】由题意得，，即， ，即，令，， 故都为方程的解， 令，单调递增，也单调递增，故在单调递增， 又， ，即，故B错误， 对于A，，对勾函数在上单调递减，， ，故A错误， 对于C，，两边同时取以2为底的对数得， ，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分数，有选错得0分） 9. 已知幂函数，下列说法正确的有（ ） A. 若，则的图象关于直线对称 B. 若，则是偶函数，且在上单调递增 C. 若，则的定义域为，且在上单调递减 D. 若，则对任意，都有 【答案】BC 【解析】 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 在内有2个零点 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先应用二倍角公式及辅助角公式化简，进而得出周期判断A，代入检验判断对称中心判断B，计算零点判断C，应用诱导公式计算判断D. 【详解】已知函数， 所以最小正周期为，A选项正确； 因为，所以不是的一个对称中心，B选项错误； 因为，所以，当或时，， 所以在内有2个零点，C选项正确； 若，则 ，D选项正确； 故选：ACD. 11. 定义在上的函数满足： ①对任意，都有； ②的图象关于直线对称； ③，. 则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据对称性可得的图象关于对称，直线对称，且以4为周期的周期函数，即可根据函数图象的平移，结合奇偶性的定义求解. 【详解】令，得，即， 可得，故函数的图象关于对称． 又因为的图象关于直线对称，故， 所以的图象关于直线对称， 则，可知是以4为周期的周期函数． 对于选项A：因为的图象是将的图象向左平移2个单位， 故的图象关于轴对称，则， 即，所以是偶函数，故A正确； 对于选项B：的图象是将的图象向左平移1个单位， 故的图象关于原点对称，是奇函数，故B正确； 对于选项C：由，得； 由，得， 所以，故C正确； 对于选项D：由题意得， ，， 则，所以，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数有意义列式求解即可. 【详解】由题意得，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 函数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的对称性，结合恒等式进行求值即可. 【详解】因为， 所以，又因为，所以， 故答案为： 14. 已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【解析】 【分析】根据集合之间的关系写出集合B所有的情况，再计算即可. 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，并求出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）分析可知，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得，所以，解得，故， 由得，解得， 故， 当时，，故. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，等价于， 因为，， 所以，解得，故实数的取值范围是. 16. 已知函数的部分图象如图所示，在处取到最大值，图象与轴的一个交点为. （1）求函数的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调区间和最值. 【答案】（1） （2）递增区间为，递减区间为；最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由图象得出的值，求出函数的最小正周期，可得出的值，再由最大值点结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，由求出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求出函数在上的增区间和减区间，并由此求出其最大值和最小值. 【小问1详解】 由图可知，函数的最小正周期满足，得. 所以，所以. 最大值点满足，得，由得 因此函数解析式为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 由可得， 由可得，由可得， 所以函数在上的增区间为，减区间为， 函数的最大值为， 又因为，， 故函数的最小值为. 17. 如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. （1）游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； （2）在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，可得出的值，求出旋转周期可得出的值，根据可得出的值，再根据初始位置可得出的值，即可得出关于的函数关系式； （2）经过后，甲乙距离地面的高度分别为、，，，利用三角恒等变换化简得出关于的函数关系式，结合以及余弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【小问1详解】 以水平面所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 根据题意，设， 由题意知旋转周期，得，， ，解得， 当时，游客甲位于，则， 由题意可得：. 【小问2详解】 设甲、乙两人所在号舱分别为、，则. 经过后，甲乙距离地面的高度分别为、， ，. 则甲、乙的高度差 ， 当时，， 所以当或时，即或时， 取最大值为，即甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为. 18. 已知函数，. （1）当时，记函数 （i）求证：函数有唯一的零点； （ii）对于（i）中的，求证：； （2）若实数满足，，求的取值范围. 【答案】（1） （i）当时，， 此时， ∵与在上单调递增， ∴在上单调递增， 又，，∴， ∴存在唯一的，使， 即函数有唯一的零点. （ⅱ）因为有唯一的零点，所以，即， 由（i）知，则. 记，由二次函数性质得在上单调递增， 得到，∴. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用对数函数与一次函数的性质判断的单调性，再结合零点存在性定理求解即可，（ii）合理构造，利用二次函数判断其单调性，进而证明不等式即可. （2）结合题意合理同构并化简得到，进而将目标式化为一元函数，并结合题意得到，再结合一次函数与对数函数的性质判断的单调性，最后求解值域即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， 由，得，则， 因为，，， 所以，可得和为函数的零点， 由已知得在上单调递增， ∴，即， 结合可得，化简得， 则，记， 令，由一次函数性质得在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增，由题意得， 又为增函数且，， 得到，解得， 由一次函数性质得在上单调递增， 由对数函数性质得在上单调递增， 得到在上单调递增， ∴，∴. 19. 定义函数，，若存在实数，使得方程在上恰有两个不同的实数根，则称为在D上的一个“二重值”.记所有“二重值”组成的集合为.已知，其中，. （1）当时，求函数的值域； （2）若，求实数取值范围； （3）设函数，且对任意，均有，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数的值域，再结合对数函数得出值域； （2）方法一：根据复合函数的单调性得出对数复合型函数的值域进而求出参数范围；方法二：由值域得出方程在内有两个不同的实数根，进而结合判别式得出参数范围； （3）根据对数复合型函数的值域得出参数范围. 【小问1详解】 当时，， ∵，当时取得最大值，∴. ∴函数的值域为. 【小问2详解】 方法一、令，则在上递增，在上递减 又为增函数，所以在上递增，在上递减. ∵，， 故由题意得：，使，， ∴，得，实数取值范围是. 方法二、方程，即 由题意知方程在内有两个不同的实数根. 令，对称轴为，且开口向下， 则应满足，解得. ∵，故，即，∴ 实数取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知：在上递增，在上递减 且，， 令，则， 1° 当，即时，在上递减， 在上递增，则， 对任意，方程恰有两解，即满足 2° 当，即时，在上递增， 在上递减，则， 对任意，方程恰有两解，即满足 3° 当时，，使, 即有， 所以函数在上存在两个不同的零点，设为， 此时在上递减，上递增，上递减，上递增. 则当时，方程有四解，不合题意. 综上所述，实数取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末学业水平测试 高一数学试题卷 考生须知： 1.本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题. 2.请在答题卷的规定处，用2B及以上铅笔填涂准考证号、选择题答案，用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名、准考证号和答案. 3.试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某实验室废液中含有害化学物质B，处理时其浓度会随时间衰减.已知物质B的初始浓度为20mg/L，处理后浓度y（mg/L）与处理时间t（小时）的关系为.按安全标准，该物质浓度需降至0.5mg/L以下才能排放，则至少需要处理的时间为（参考数据：，）（ ） A. 15小时 B. 17小时 C. 19小时 D. 21小时 7. 若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分数，有选错得0分） 9. 已知幂函数，下列说法正确的有（ ） A. 若，则的图象关于直线对称 B. 若，则是偶函数，且在上单调递增 C. 若，则的定义域为，且在上单调递减 D. 若，则对任意，都有 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 在内有2个零点 D. 若，则 11. 定义在上的函数满足： ①对任意，都有； ②的图象关于直线对称； ③，. 则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_______. 13. 函数，若，则______. 14. 已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数的部分图象如图所示，在处取到最大值，图象与轴的一个交点为. （1）求函数的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调区间和最值. 17. 如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. （1）游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； （2）在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 18. 已知函数，. （1）当时，记函数 （i）求证：函数有唯一的零点； （ii）对于（i）中的，求证：； （2）若实数满足，，求的取值范围. 19. 定义函数，，若存在实数，使得方程在上恰有两个不同的实数根，则称为在D上的一个“二重值”.记所有“二重值”组成的集合为.已知，其中，. （1）当时，求函数的值域； （2）若，求实数取值范围； （3）设函数，且对任意，均有，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $