四川省泸县第一中学2024-2025学年高三下学期“三诊”模拟考试数学试卷

泸县一中高2022级“三诊”模拟考试 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2. （ ） A． B． C． D． 3. 若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知，是单位向量，若向量在向量上投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 5. 若p，q，r（斜边）为直角三角形的三边，则被圆所截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C． D． 6.已知三条线段的长分别为a，b，c，若，则“”是“a，b，c为某三角形三边长”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知F是椭圆E：的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF | = 5|QF |且∠PFQ =120°，则椭圆E的离心率为（ ） A． B． C． D． 8.已知f (x)的定义域为R，f (x+1)为偶函数，f (x+2)为奇函数，且f (1) + f (2)=2，则（ ） A．–23 B．0 C．2 D．23 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（ ） A．设是随机变量，若，则； B．数据2，3，5，7，8，9，10，12，13，15的上四分位数是12； C．若样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于60； D．某班男生30人、女生20人，按照分层抽样的方法从该班共抽取10人答题. 若男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为6.8. 10．正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD和DD1的中点，则下列说法正确的是（ ） A. AD1∥平面BEF； B. B1C⊥平面BEF； C. 异面直线B1D1与EF所成角为60°； D. 平面BEF截正方体所得截面为等腰梯形. 11. 已知，下列说法正确的是（    ） A．在定义域内单调递增 B．， C．在定义域内恒有 D．当时，恒有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知等比数列满足，且，则_______． 13．的展开式中的系数为__________. 14．在四棱锥中，，平面PAD，底面ABCD为正方形，且，若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分13分) 已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象. （1）求函数的解析式及图象的对称中心； （2）在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边是，若，求sinA+sinB的范围. 16. (本题满分15分)如图，矩形ABCD中，，，E为AD的三等分点靠近D点，将沿着BE折起，使得点在底面的射影O落在BD上，Q为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）若，当Q到平面的距离为时，求的值． 17. (本题满分15分) 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）如果过点可作曲线的三条切线，求实数b的取值范围． 18. (本题满分17分) 如图所示，在研究某种粒子的空间站中，有三个仓室，粒子只能从A仓出发经仓到达C仓，.粒子在A室不旋转，在仓､C仓都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立. 粒子从A仓经过1号门进入仓后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从仓经过2号门进入C仓后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从A仓出发，先后经过1号门，2号门进入C仓，记C仓两个粒子中，上旋状态粒子的个数为. （1）已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态. 若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； （2）求的分布列和数学期望； （3）设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率. 19．(本题满分17分)已知双曲线的渐近线与圆相切，圆心是的一个焦点. (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于两点，分别为的左，右顶点，直线与交于点. （i）证明：在定直线上； （ii）若直线与交于点，求的值. 高2022级“三诊”模拟考试数学试卷答案 一、二、选择题 CADB BCAB 9．BCD 10．ACD 11．AD 11．解：AD【详解】，， 对于A，因为，所以，所以在单调递增，故A正确； 对于B，，即，因为，所以，即，又，所以无解，所以不存在，故B错误； 对于C，当，，而当时，， 所以当时，，故C错误； 对于D，令，，则，当时， ，在单调递减；当时，，所以在单调递增，所以，即，则时，.令，，则，所以在单调递减，所以，即，因为，所以，所以，且， 所以， 所以，即当时，恒有，故D正确.故选：AD. 三、填空题：12. 8 13. 14 14. 四、解答题： 15.（1）因为的图象相邻对称轴间的距离为，则. …………………………………1分 由周期公式得，，所以， …………………………………2分 ， ………………………………………………………4分 令，所以，. …………………………………………………5分 故函数的对称中心为. …………………………………………6分 （2）由题意得，，， 所以. ……………………………………………………………………………7分 所以或（舍），所以. …………………………………………9分 因为在钝角中，所以，所以， ………………………10分 则 sinA+sinB =2sin（A+）……………………………………………………………………11分 sinA+sinB的范围为[，2)…………………………………………………………………………13分 16.解：【详解】（1）连接CE、BD，，点在底面的射影O落在BD上， 所以平面，平面BCDE，则，…………………………………………2分 由，则，，矩形ABCD中，则，， 所以，，，即，………………………………………4分 且都在面内，则面，面，面面.………6分 （2）以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建系如图． ，，，，.………………………………………………………8分 设，，，，， 即，解得，，，即，…………10分 设平面的法向量为，，， 所以，解得，………………………………………12分 由，易知， ，解得.……………………………………………15分 17.解：（1），所以，…………………………………………………………2分 则曲线在点处的切线方程为：． ……………………………………5分 （2）设切点，则切线方程为， …………………………7分 又切线过点，所以，即，………………9分 由题意，上述关于方程有三个不同的实数解， 设，则有三个不同的零点，………………………………………10分 而，令，得或， ……………………………………………11分 当时，，则在和上单调递增， 当，，则在上单调递减， 又时，，时，， 要使有三个不同的零点，只需， ………………………………………12分 解得， …………………………………………………………………………………14分 所以实数b的取值范围为． ………………………………………………………………15分 18.解：（1）设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 故，解得或. ……………………………………………………3分 （2）由题知，时分3类情形： …………………………………………………………4分 ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态； ②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态， 通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态. ………………………6分 所以， ……………………………………………7分 同理， …………………………8分 X 0 1 2 P ，……9分 所以所求的分布列为 所以所求数学期望.…11分 （3）设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”， 则，……………………………………………13分 ，………………………………………………………14分 则. ………………………………………15分 故. ………………………………………17分 19．解：（1）圆的方程化为标准形式为， 所以圆心，半径，则的半焦距， 又的两条渐近线方程为，即，…………………………………………………2分 由题意，知， ……………………………………………………………………………3分 所以，所以的方程为. ……………………………………………4分 （2）（i）设直线的方程为：，易知， 联立方程消去得，…6分 则， .……………………………………………………………………7分 因为是上的点，所以， 则，……………………………………8分 联立直线，直线， 得， …………………………………………………………………………9分 所以 . 解得，故点在定直线上. ……………………………………………………………11分 （ii）由双曲线对称性可知，点也在直线上，设， 点在上，， 点在上，，……………………………………………………13分 所以 ……………………………………………………14分 .…………………………………17分 7 学科网（北京）股份有限公司 $