精品解析：河南南阳市内乡县2025年秋期期终九年级数学巩固与练习

2025年秋期期终九年级数学巩固与练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据二次根式的乘法、除法、加减法法则进行计算即可求解． 【详解】∵选项A：，正确； 选项B：，错误； 选项C：，因为根式加减不能直接合并，且数值不相等，错误； 选项D：，错误． ∴正确的是A． 故选：A． 2. 为了解某市万市民的出行情况，科学规划轨道交通，名志愿者走入万户家庭，发放了万份问卷，进行调查登记．该调查中的样本容量是（ ） A. 890万 B. 560 C. 1万 D. 4万 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查样本容量的定义，样本容量是样本中包含个体的数目，无单位，根据该定义即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵发放了 4 万份问卷，进行调查登记， ∴该调查中的样本容量是4万， 故选：． 3. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 5. 慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可查了根据实际问题列二次函数关系式，由“利润销售额成本”则可列出（元）与实际销售价（件）的函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式． 【详解】解：由题意得：， 故选：． 6. 抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 7. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 若点，在抛物线上，则 D. 抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，涉及顶点坐标、增减性、函数值比较及平移规律．关键要点：①二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线；②当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；③比较函数值可通过计算或点到对称轴的距离判断；④平移遵循“左加右减，上加下减”的规则． 【详解】解：对于选项A，∵二次函数， ∴顶点坐标为，A选项正确； ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，B选项正确； 将代入抛物线解析式得，；将代入得，，∵， ∴，故C选项错误； 抛物线向右平移1个单位，得平移后的解析式为，D选项正确； 故选：C． 8. 如图，边长为正六边形内接于，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正六边形的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握圆内接正六边形的性质是解题关键；连接，求出的度数，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴的长， 故选：D ． 9. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在网格线的交点上，点分别是边与网格线的交点，连接，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由网格可知，，则有，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由网格可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 10. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图及圆周角的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图及圆周角的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据同弧所对圆周角相等可进行求解． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由尺规作图可知：平分， ∴， ∴； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个不透明的盒子中有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，关键在于理解当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，进而结合概率公式建立等量关系求解． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率约为， ∴，解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 12. 如图，已知，，，，那么线段的长度等于________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行可得到，代入可求得，再根据线段的和可求得． 【详解】解：， ，即， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 13. 我国古代名著《九章数学》中，将底面是直角三角形的直三棱锥称之为“堑堵”．“堑堵”的实物图与左视图如图所示，根据图中的数据可得该“堑堵”的高h的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边的长是斜边长的一半进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴，即， 故答案为：4． 14. 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，如图，作交于点，交于点，连接，设的半径为，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出即可．根据垂径定理正确地利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， 设的半径为，则：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， 故的半径为 故答案为：10． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，点A在直线上，且点A的坐标为，半径为2的的圆心P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点P运动的时间为t秒，则当_____秒时，与x轴相切． 【答案】4或8 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质．设与坐标轴的切点，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，，①当与轴相切时，②当与轴和轴都相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，时，；当时，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或秒时，与x轴相切， 故答案为：或． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数、解一元二次方程，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）先算乘法、绝对值、特殊角的三角函数，把二次根式化为最简二次根式后进行加减即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， ． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 18. 如图是的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为； （2）在第二象限内格点上找一点，使与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点坐标是_______； （3）以坐标原点为位似中心，画出的位似图形，使与相似比为（画出一个即可） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的判定及性质、画位似图形，关键是根据知识点画出符合题意的图形； （1）根据两点的坐标建立直角坐标系即可； （2）在的垂直平分线上找一点且腰长是无理数，则点坐标可求； （3）以为位似中心，在的同侧和异侧分别画出求作图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示：平面直角坐标系即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：点即为所求； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 19. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：总溶液4瓶，其中碱性溶液2瓶（氢氧化钠和氢氧化钙），酚酞变红需溶液碱性， 故结果变红的概率是； 【小问2详解】 解：溶液标记为A（盐酸，酸性）、B（硝酸钾，中性）、C（氢氧化钠，碱性）、D（氢氧化钙，碱性），小明和小亮各选1瓶不同溶液，所有等可能结果列表如下： 小明 小亮 A B C D A —— B —— C —— D —— 总共有12种等可能结果， 变红溶液为C和D，不变色溶液为A和B， 一瓶变红一瓶不变色的结果有：，共8种。 ∴概率为． 20. 周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若为摩天轮的直径，请解决以下问题． （1）求证：平分； （2）若摩天轮的直径为，且小明到地面的高度为，求小亮与小明之间的距离是多少？ 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵切于， ∴． 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴平分； （2）60米 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质： （1）连接，结合切线的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求证； （2）证明，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵直径， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：小亮与小明之间的距离是60米． 21. 琴治公园草坪上有一个喷水装置，喷水头距离地面，喷出的水流最外端呈抛物线状，在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．建立如图1所示的平面直角坐标系，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，这个喷水装置的喷头能左右旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪的面积(结果用含的式子表示) 【答案】（1）； （2）平方米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用及扇形面积计算，关键是利用顶点式确定抛物线表达式，再通过函数值为0时的自变量求得扇形半径，进而计算扇形面积． （1）根据抛物线的顶点坐标设出顶点式，代入喷水头的坐标求出参数，即可得到抛物线表达式； （2）令求解得到水流最远距离(即扇形半径)，再结合扇形面积公式计算喷灌面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， ∵喷水头距地面，即当时，， ∴将代入表达式得：，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，(舍去)， ∴水流的最远距离为，即扇形的半径， ∵扇形的圆心角为， ∴喷灌草坪的面积为(平方米)； 答：它能喷灌的草坪的面积为平方米． 22. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案； 【详解】解：∵，，； ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴的长为； 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，. （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N， ①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； ②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值. 【答案】（1）B（0，2），；（2）①点M的坐标为（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=. 【解析】 【分析】(1)把点代入求得c值，即可得点B的坐标；抛物线经过点，即可求得b值，从而求得抛物线的解析式；（2）由轴，M（m，0），可得N()，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°两种情况求点M的坐标；②分N为PM的中点、P为NM的中点、M为PN的中点3种情况求m的值. 【详解】（1）直线与轴交于点， ∴，解得c=2 ∴B（0，2）， ∵抛物线经过点， ∴，∴b= ∴抛物线的解析式为； （2）∵轴，M（m，0），∴N() ①有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2 ∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°， 若使△APM中和△BPN相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°， 分两种情况讨论如下： （I）当∠NBP=90°时，过点N作NC轴于点C， 则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m， BC= ∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°， ∴∠BNC=∠ABO， ∴Rt△NCB∽ Rt△BOA ∴,即，解得m=0（舍去）或m= ∴M（，0）； （II）当∠BNP=90°时， BNMN， ∴点N的纵坐标为2， ∴ 解得m=0（舍去）或m= ∴M（，0）； 综上，点M的坐标为（，0）或M（，0）； ②由①可知M(m,0),P(m,),N(m,)， ∵M，P，N三点为“共谐点”， ∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点， 当P为线段MN的中点时,则有2()=,解得m=3(三点重合,舍去)或m=； 当M为线段PN的中点时,则有+()=0,解得m=3(舍去)或m=−1； 当N为线段PM的中点时,则有=2(),解得m=3(舍去)或m=； 综上可知当M,P,N三点成为“共谐点”时m的值为或−1或. 考点：二次函数综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期终九年级数学巩固与练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 2. 为了解某市万市民的出行情况，科学规划轨道交通，名志愿者走入万户家庭，发放了万份问卷，进行调查登记．该调查中的样本容量是（ ） A. 890万 B. 560 C. 1万 D. 4万 3. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 若点，在抛物线上，则 D. 抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 8. 如图，边长为正六边形内接于，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在网格线的交点上，点分别是边与网格线的交点，连接，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个不透明的盒子中有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为________． 12. 如图，已知，，，，那么线段的长度等于________． 13. 我国古代名著《九章数学》中，将底面是直角三角形的直三棱锥称之为“堑堵”．“堑堵”的实物图与左视图如图所示，根据图中的数据可得该“堑堵”的高h的值为___________． 14. 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，点A在直线上，且点A的坐标为，半径为2的的圆心P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点P运动的时间为t秒，则当_____秒时，与x轴相切． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 18. 如图是的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为； （2）在第二象限内格点上找一点，使与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点坐标是_______； （3）以坐标原点为位似中心，画出的位似图形，使与相似比为（画出一个即可） 19. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 20. 周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若为摩天轮的直径，请解决以下问题． （1）求证：平分； （2）若摩天轮的直径为，且小明到地面的高度为，求小亮与小明之间的距离是多少？ 21. 琴治公园草坪上有一个喷水装置，喷水头距离地面，喷出的水流最外端呈抛物线状，在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．建立如图1所示的平面直角坐标系，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，这个喷水装置的喷头能左右旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪的面积(结果用含的式子表示) 22. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，. （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N， ①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； ②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $