精品解析：安徽宿州市泗县2025-2026学年第一学期九年级期末考试数学试卷

2025－2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 3．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 有理数，4，0，中最大的是（ ） A. 0 B. C. D. 4 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 年我国重大工程建设加速推进，相关投资数据如下：全国个省市公布的重点工程项目总投资超万亿元，全国水利建设计划投资万亿元，青海某新能源基地项目总投资亿元．将亿元用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有支球队进行了21场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是菱形，为对角线，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 若关于的方程无解，那么n的值为（ ）． A. 0 B. C. 0或 D. 0或3 10. 如图，等边的边长为4，点在边上，，线段绕逆时针旋转得到线段，交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②；③外接圆的半径为；其中正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 13. 如图，为直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为______．（结果保留） 14. 已知抛物线经过点． （1）该抛物线的对称轴为______． （2）点和分别在抛物线和上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值，则的值为______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）和关于轴对称，画出； （2）若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出； 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 18. 综合与实践： 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 （1）按图示规律，第一个图案（图②）的长为______，第六个图案的长为______； （2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则______（用含的代数式表示）； 问题解决】 （3）若要使走廊的长不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知是的直径，平分，且，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 20. 图1是一栋仿古建筑侧面实景图，图2为其示意图，主要由和矩形组成，，，．顶点到地面的距离为该建筑的高度． （1）求该仿古建筑的高度； （2）计划对该建筑进行修缮，如图3，将示意图中屋顶部分的内角变化为，，墙身部分矩形保持不变，修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比有怎样的变化？（参考数据：，） 六、（本题满分12分） 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款），有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息； 甲款评分数据中“满意”数据；64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 乙款聊天机器人评分人数占比的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______． （2）在此次测验中，有260人对甲款进行评分、280人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 七、（本题满分12分） 22. 【问题提出】（1）数学课上，同学们遇到这样的一个问题：如图①，在矩形中，对角线与交于点，点是中点，连接、，与交于点，当，时，则______，______； 【方法探究】（2）言言发现，在图①的矩形中，，航航说，如果将“在矩形中”这一条件改为“在中”，如图②，那么的结论也仍然成立，对于航航的说法，你同意吗？请证明你的结论． 【方法应用】（3）如图③，在中，中线与中线交于点，点是的中点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． （1）求的值． （2）点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 3．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 有理数，4，0，中最大的是（ ） A. 0 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据有理数大小比较的法则，对给定的数进行比较后确定最大值． 【详解】解：∵，正数大于0，0大于负数，且， ∴， ∴这四个有理数中最大的是， 故选：C． 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 根据主视图是从前面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从前面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下： 故选：D． 3. 年我国重大工程建设加速推进，相关投资数据如下：全国个省市公布的重点工程项目总投资超万亿元，全国水利建设计划投资万亿元，青海某新能源基地项目总投资亿元．将亿元用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数就是把一个数写成的形式，其中，首先将亿元转换为元，利用科学记数法标准形式求解． 【详解】解：∵亿元元， ∴亿元元， ∵， ∴， 故选：B． 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的运算、幂的乘方运算及二次根式的性质，需根据相关运算法则逐一判断选项正误. 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并， ∴A选项错误， ∵，当时，， ∴B选项错误， ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，即， ∴C选项错误， ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即， ∴D选项正确. 故选：D 5. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，由题意可得，由两直线平行，内错角相等得出，由对顶角相等可得，即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由对顶角相等可得：， ∴， 故选：A． 6. 某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有支球队进行了21场比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据单循环比赛的总场数公式，结合已知总比赛场数列方程． 【详解】解：∵每支球队需与其他支球队各赛一场，且每场比赛会被两支球队各计算一次，存在重复， ∴单循环比赛的总场数为， 又∵已知总比赛场数为21， ∴可列方程为， 故选：D． 7. 如图，四边形是菱形，为对角线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求线段长，特殊三角形的三角函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用菱形的性质求得，再利用正弦求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，为对角线，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：B． 9. 若关于的方程无解，那么n的值为（ ）． A. 0 B. C. 0或 D. 0或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解分两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分别讨论这两种情况求出的值，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， 当时，整式方程变为，不成立，整式方程无解，故原分式方程无解， 当原分式方程有增根时，增根为，将代入，得，解得，此时原分式方程无解， 综上所述，的值为0或3， 故选：D． 10. 如图，等边的边长为4，点在边上，，线段绕逆时针旋转得到线段，交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②；③外接圆的半径为；其中正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用旋转的性质确定是等边三角形，通过证明，得到结论①正确；利用相似三角形的性质确定线段的比例，得到结论②正确．利用等边三角形的性质作的高，根据勾股定理计算的长度，通过三角形全等的性质确定，利用等腰三角形的性质和三角函数计算外接圆的半径，得到结论③正确. 【详解】解：如图，过作于，等边的边长为4， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形面积为，故①正确； 如图，作于， 同理：，，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， 如图，以为底边，作等腰，使，作于， 则，， ∴的外接圆半径，故③错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定、图形的旋转、勾股定理、三角形外接圆半径的计算锐角三角函数的应用等知识．构造恰当的辅助线，以及对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式进行因式分解. 【详解】解 ． 故答案为 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出不等式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，等边对等角，利用垂径定理求值，圆周角定理，求弧长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据垂径定理和等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵为的弦，， ∴， ∵， ∴的半径是2， ∴劣弧的长为． 故答案为：． 14. 已知抛物线经过点． （1）该抛物线的对称轴为______． （2）点和分别在抛物线和上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与无关定值，则的值为______． 【答案】 ①. 直线 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入抛物线解析式求出，再根据对称轴公式求解； （2）根据点和点所在抛物线写出和的表达式，结合条件得到与的关系式，再根据为定值求出，进而求出． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）由题意知，，． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵A，B与原点都不重合， ∴，． ∴，即． ∴． ∵是一个与无关的定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质分别化简，再相加减即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）和关于轴对称，画出； （2）若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出； 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——位似变换、轴对称变换，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作点关于轴的对称点，然后连线即可； （）由（）及位似的性质进行作图即可. 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据，求出，分类讨论，代入反比例函数即可求解． 【小问1详解】 解：因为点在直线上， 所以， 解得， 故点坐标为， 将点A坐标代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解： ∵点A坐标为， 又， 即， ， 故点纵坐标为3或， 将代入得，， 将代入得，， 所以点的坐标为或． 18. 综合与实践： 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 （1）按图示规律，第一个图案（图②）的长为______，第六个图案的长为______； （2）若这条走廊长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则______（用含的代数式表示）； 【问题解决】 （3）若要使走廊的长不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 【答案】（1），；（2）；（3）65 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，用代数式表示数、图形的规律，用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）第一个图案边长，第二个图案边长，得出第n个图案边长为，从而计算第五个图案的长； （2）根据（1）中的结论可解答； （3）根据题意列不等式可解答． 【详解】（1）解：第一个图案的长度， 第二个图案的长度， …， 第n个图案边长为； ∴第六个图案的长为； 故答案为：，； （2）解：由（1）得第n个图案的长为； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 解得：∴， ∴至少需要带有圆形花纹的地砖65块． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知是直径，平分，且，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了证明直线是圆的切线，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由角平分线的定义可得，结合等边对等角得出，从而可得，求出，即可得证； （2）连接，由题意可得，由圆周角定理可得， ，由勾股定理可得，再证明，计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 图1是一栋仿古建筑侧面实景图，图2为其示意图，主要由和矩形组成，，，．顶点到地面的距离为该建筑的高度． （1）求该仿古建筑的高度； （2）计划对该建筑进行修缮，如图3，将示意图中屋顶部分的内角变化为，，墙身部分矩形保持不变，修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比有怎样的变化？（参考数据：，） 【答案】（1） （2）修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比变矮了 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，根据矩形的性质求线段长，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先根据矩形的性质得出，再证明是等腰三角形，从而可求得，再求得，从而可求得该仿古建筑的高度； （2）设米，先用x表示出和，从而可利用，列出关于x的方程求解，于是可求得修缮后的仿古建筑高度，从而可求得修缮后的仿古建筑高度与修缮前相的高度． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 过点A作于点F，如图： ∴， 在中，， ∴该仿古建筑的高度为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点G，设米， 在中，， 中，， ∴，即， 解得：， 即， ∴修缮后的仿古建筑高度为， ， ∴修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比变矮了． 六、（本题满分12分） 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款），有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息； 甲款评分数据中“满意”的数据；64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 乙款聊天机器人评分人数占比的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______． （2）在此次测验中，有260人对甲款进行评分、280人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1），， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、， 中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 【问题提出】（1）数学课上，同学们遇到这样的一个问题：如图①，在矩形中，对角线与交于点，点是中点，连接、，与交于点，当，时，则______，______； 【方法探究】（2）言言发现，在图①的矩形中，，航航说，如果将“在矩形中”这一条件改为“在中”，如图②，那么的结论也仍然成立，对于航航的说法，你同意吗？请证明你的结论． 【方法应用】（3）如图③，在中，中线与中线交于点，点是的中点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【答案】（1）4，10；（2）同意，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，可得是得中位线，求出，再利用勾股定理求出； （2）根据题意证明，可得，进而求解即可； （3）连接交于点M，首先根据中线的概念可得是的中位线，再证明，，证明，可得，证明，可得，证明，可得，即可得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵点E是中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵ ∴， 故答案为：4，10； （2）在中，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，连接交于点M， ∵中线与中线交于点F， ∴是中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线的性质，矩形的性质和平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． （1）求的值． （2）点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①的周长的最大值为，此时点的坐标为；②的取值范围为或或 【解析】 【分析】（1）把点，代入，再进一步求解即可. （2）①求出，再利用待定系数法得出直线的解析式为，由题意可得，，，，则，证明为等腰直角三角形，结合对顶角相等得出，从而可得为等腰直角三角形，求出周长为： ，再由二次函数的性质即可得出结果； ②由①可得，，则，结合题意可得，从而得出或，分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为. 【小问2详解】 解：①在中，当时，，即， 当时，， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴周长为： ， ∵， ∴当时，周长的最大值为， 此时， ∴的周长的最大值为，此时点的坐标为； ②由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，可得：或， 解时，可得：， 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—周长问题，等腰三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $