精品解析：安徽宿州市2026届高三上学期教学质量检测数学试题

安徽宿州市2026届高三上学期教学质量检测 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，请将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. [1，2] B. （1，2］ C. ［1，3］ D. 2. 已知复数，在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（ ） A. 42cm B. 44cm C. 48cm D. 50cm 7. 已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数m，n，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 10. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比 ，若项数均为 项（），下列说法正确的有（ ） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 11. 已知点是曲线上的任意一点，是曲线上任意一点，设PQ的中点为M，O为坐标原点，记的最小值为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 13. 已知椭圆 与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为__________. 14. 在中， 分别是边 边的中点，若，则的面积是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； （2）为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从 ，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在 年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 16. 已知各项均不为零的数列，且满足. （1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 17. 已知函数. （1）证明函数存在唯一零点； （2）的零点为，证明. 18. 已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形， 平面ABCD. （1）若平面PAD与平面PBC的交线为，证明： ； （2）若平面平面PDC. （i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； （ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由. 19. 对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. （1）已知平面内点 ，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，求点的坐标； （2）若曲线上的每一点绕原点逆时针旋转后得到曲线. （i）求曲线的方程； （ii）已知点 在曲线上按逆时针排列， 且有，求直线斜率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽宿州市2026届高三上学期教学质量检测 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，请将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. [1，2] B. （1，2］ C. ［1，3］ D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数性质和一元二次不等式化简集合，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】由可得，即，故； 由得，即，故. 因此， 故选：B. 2. 已知复数，在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简 ，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 4. 已知函数，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后再利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值. 【详解】由， 根据二倍角公式得， 当时，所以，结合正弦函数图像可知， 时，的最小值为, 最大值为，故， 因此，所以的最小值为. 故选：B. 5. 2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解. 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 6. 一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（ ） A. 42cm B. 44cm C. 48cm D. 50cm 【答案】A 【解析】 【分析】易知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度. 【详解】根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积， 利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度， 即，故水槽中水面的高度达到了42cm. 故选：A 7. 已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】定点与圆心连线垂直于直线时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小. 【详解】因为圆，圆心，半径， 直线过定点 ， 则定点到圆心的距离， 故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小， 故最小值为. 故选：D. 8. 已知正实数m，n，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得或，结合对数函数，指数函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为正实数m，n，满足，且，可得或， 对于A选项，取，显然，A错误； 对于B选项，取，显然，B错误； 对于C选项，设函数，令，则， 当在上单调递增，当 ，在单调递减， 又因为，所以恒成立，即 恒成立，即在上均单调递减， 所以当或时，，即， 由于，所以即，C正确； 选项D，取，显然，而，故，D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A，，在处的切线方程为，化简可得，故A选项正确； 对于B，，令 ，解得：, 令 ，解得：或, 令 ，解得： , 所以函数在和 递增，在 递减， 则是的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数在和 递增，在 递减，故当时，最小值为，最大值为，所以，故C选项错误： 对于D选项，由于，D选项正确. 故选：AD 10. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比 ，若项数均为 项（），下列说法正确的有（ ） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数据的平均数可判断A选项：举例可判断B选项；求出、的中位数可判断C选项；作差可判断D选项. 【详解】对于A选项,设的前项和为， 所以数据的平均数是，故A选项正确： 对于B选项，当时，取为2，4，8， 平均数为，故B选项错误； 对于C选项，的中位数是，的中位数 是，故C选项正确； 对于D选项，当时， 由，且等号当且仅当 时成立， 故的前 项和比的前 项和大，平均值亦然，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知点 是曲线上的任意一点，是曲线上任意一点，设PQ的中点为M，O为坐标原点，记的最小值为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A可判断中点 在直线上，进而可得最小值；对BCD选项，先由中点坐标公式及曲线，曲线，可得点M的轨迹方程（以P点的横坐标为参数），再用点到直线的距离公式，并结合用导数求最小值可得. 【详解】设， 对于A：若动点P，Q分别在直线和上移动，且. 如图： 所以PQ的中点 在直线上，所以点 到原点的距离，故.A选项正确.， 对于B：设点 在直线上，点在曲线上， 对于直线上一个固定点，曲线上一个动点， 中点 满足，代入可得， 即对于每一个直线上的固定点 ，，只需再求点 在直线上运动时， 显然，故.所以B选项正确. 对于C：设点 在直线 上，点在曲线上， 线段PQ的中点为M，O为坐标原点，则， 消去参数，可得点 的轨迹方程为直线，则， 令，，所以， 所以函数在单调递减，在上单调递增，所以， 故，所以C选项正确. 对于D：若动点P，Q分别在和曲线上， 则，又，所以， 所以点 在直线上. 又，所以点到直线的距离， 令，则， 令 ，得，进而可知在上单调递增，在上单调递减， 所以.于是可得，D选项错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二项式定理展开式的通项公式计算可得. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，得，所以的系数是. 故答案为： 13. 已知椭圆 与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为 且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由焦点可得，进而可得，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得离心率的值. 【详解】由焦点，得，所以抛物线的方程为，准线为. 又由，得，所以，设椭圆的左焦点为， 有，故，可得离心率为. 故答案为：. 14. 在中， 分别是边 边的中点，若，则的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形重心的几何性质、向量的数量积公式和三角形的面积公式即可求解. 【详解】如图，设的三条中线交于点，则点为的重心， 由重心的几何性质有，，， 在 中，，所以， 即，解得，所以， 所以； 所以，即的面积是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； （2）为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从 ，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在 年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）28 （2）的分布列如下表所示： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，年龄在 的居民占的比例为 ，年龄在 的居民所占到比例为 ，所以分位数位于 内，设其为， 则 ，解 ， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在 的居民所占的比例 ，年龄在 的居民所占的比例为 ，所以分位数位于 内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. 【小问2详解】 被调查的居民年龄在 ， 比例为1:3，按照分层随机抽样， 应抽取 人， 应抽取 人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在 的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 16. 已知各项均不为零的数列，且满足. （1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明如下： 因为 ，且是公差为2的等差数列，所以 ， 即， 当，且时，， 所以，因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）先应用已知转化为得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求解； （2）先应用累乘法求出通项公式，再应用裂项相消法计算证明. 【小问1详解】 由数列各项均不为零，且，所以， 因为是公比为的等比数列，所以， 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以； 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）证明函数存在唯一零点； （2）的零点为，证明. 【答案】（1）函数 的定义域为 ，当 时， ，（这是因为 ） 故函数 在 没有零点； 当 时， ，易见在 上是减函数， 且 ，故存在 ，使得 在上递增，在 上递减， 且 ， 所以 在上存在唯一零点，又 ，所以在 上无零点， 故 在 上存在唯一零点. （2）注意到 ，由（1）知存在唯一 使得 ， 即有，故. 令， 令，显然当 时， .故在 上单调递减， 所以. 【解析】 【分析】（1）分析函数的单调性，再结合零点存在定理证明； （2）根据 得到满足的关系式，再将 转化，最后通过研究函数的单调性来证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形， 平面ABCD. （1）若平面PAD与平面PBC的交线为，证明： ； （2）若平面平面PDC. （i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； （ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为底面ABCD是平行四边形，故平面PAD，可得平面PAD， 又因为 平面PBC，平面 平面 ，所以 . （2）（i）；（ii）易知 ， 假设四棱锥 存在内切球，内切球的半径为， 则有 ，解得， 设内切球球心为，根据图形特征，必有 ， ， 则球心到平面PBC的距离，与内切球与平面PBC相切矛盾. 故四棱锥 不存在内切球. 【解析】 【分析】（1）首先证明平面PAD，利用线面平行的性质即可证明结论； （2）（i）以点A为坐标原点，所在的方向为 轴，所在的方向为轴，所在的方向为 轴建立坐标系，分别求出平面PAD与平面PBC的法向量，利用向量夹角公式求解即可； （ii）假设四棱锥 存在内切球，内切球的半径为，根据棱锥内切球半径公式求得，且求出 ，计算球心到平面PBC的距离 与半径比较即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）在平面PAD内过点作 于点 ， 因为平面 平面PDC，所以平面PDC，故 ， 又因为 ，又因为 ， 所以 平面PAD，有 .所以平行四边形ABCD为长方形. 如图所示，以点A为坐标原点，所在的方向为 轴，所在的方向为轴，所在的方向为 轴建立坐标系. 则有 ， .取平面PAD的法向量为 ， 设平面PBC的法向量为 ， 则有，代入得，取 ， 设平面PAD与平面PBC所成角为，则. （ii）略 19. 对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点 . （1）已知平面内点 ，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点 ，求点 的坐标； （2）若曲线上的每一点绕原点逆时针旋转后得到曲线. （i）求曲线的方程； （ii）已知点 在曲线上按逆时针排列， 且有，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题目给的旋转角定义可得答案； （2）（i）利用轨迹方程求法里的坐标转移法，以及题目给的旋转定义可得答案；（ii）方法一：利用题目给的旋转的定义，点的坐标用点 表示出来，代入到曲线中，运算可得答案；方法二：设直线，分别求出的弦长，利用，列方程，可得答案. 【小问1详解】 ，设，则， 由于逆时针旋转，根据公式有， 解得，即. 【小问2详解】 （i）在曲线上任取点，则有， 因为绕原点旋转，设旋转后得到点， 必有， 故，即曲线的方程为. （ii）方法一：（旋转设点法）设， 利用向量坐标旋转公式，易得， 则直线DE斜率，设点，则点 为，点为. 因为点E，F在曲线上，所以， 即，两式相加有， 即， 解得. 方法二：（常规设线法）设点，直线的斜率为， 则直线的方程为， 联立可得， 化简求解得， 同理设直线的方程为，可解得， 由弦长公式可得 因为故， 化简得，平方有， 解得或者. 由于点 三点按逆时针排列， 不妨设点在第三象限，即 ，则有如下三种关系： ①当 时有，如图1所示， 必有或， 解得或者，即； ②当时有，如图2所示， 必有或， 解得或者 ，即 ； ③当 时解得或者， 显然不满足（注：时可以理解为弦长无限长意义下的相等，与题意不符）， 综上，弦所在的直线的斜率k的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $