23.4实际问题与一次函数 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 八下数学 RJ 23.4 实际问题与一次函数 第2课时 能根据实际问题中的条件建立相应函数解析式，能通过分析函数图象，解决决策问题. 学习目标 同学们，夏天快到了，很多人都想去游泳馆避暑健身. 如果我们办一张年卡，会面临不同的套餐选择. 比如游泳馆推出了 A，B，C 三种年卡： A 卡 600 元，能游 20 次，超出后每次 40 元 B 卡 1 200 元，能游 50 次，超出后每次 40 元 C 卡 1 800 元，不限次数 如果是你，会怎么选？选贵的怕用不上浪费，选便宜的又怕游得多了反而更花钱. 今天我们就来用函数的方法，一起算一算、比一比，看看哪种套餐最划算！ 课堂导入 探究 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1 200 50 40 C 1 800 不限次 问题1.三种收费标准有什么区别？ A,B会变化，C不变. 新知探究 问题2.在变化的收费标准中，游泳费用由哪些部分组成？ 游泳费用=年卡费用+超出套餐费用. 问题3.影响超出套餐费用的因素是什么？ 年游泳次数. 问题4.这三种方式中有固定最优惠的方式吗？ 没有，与年游泳次数有关. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1 200 50 40 C 1 800 不限次 新知探究 分析：设年游泳x次，则套餐A,B,C的游泳费用y1,y2,y3都是x的函数. 在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1 800元， 因此，y3=1 800(x≥0). 若能得到y1,y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1,y2,y3的大小，从而对年卡套餐作出选择. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1 200 50 40 C 1 800 不限次 新知探究 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式. y1 = 化简，得 y1 = 这个函数的图象如图所示. 新知探究 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 B 1 200 50 40 C 1 800 不限次 类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式. y2 = 化简，得 y2 = 这个函数的图象如图所示. y2 y3 新知探究 结合函数图象与解析式，可知： 当年游泳次数____________时，选择套餐A能节省游泳费用； 当年游泳次数____________时， 选择套餐B能节省游泳费用； 当年游泳次数____________时， 选择套餐C能节省游泳费用. 小于或等于35 当y1＝y2时，x=35. 当y2＝y3时，x=65. 35 65 大于35小于65 大于或等于65 新知探究 解决通过比较多个函数的函数值选择最佳方案问题的方法 方法一（数法）：通过讨论多个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 方法二（形法）：画出多个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 新知探究 跟踪训练 某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂的收费方案是：收1 500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费. (1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量x(单位：份)的函数解析式； (2)选择哪家印刷厂比较合算？ 解：(1),(x≥0，且x为整数). ,(x≥0，且x为整数). 新知探究 (2)选择哪家印刷厂比较合算？ 解：(1),(x≥0，且x为整数). ,(x≥0，且x为整数). (2)当> 时，1 500+x>2.5x，解得x<1 000; 当= 时，1 500+x=2.5x，解得x=1 000; 当< 时，1 500+x<2.5x，解得x>1 000. 故当0<x<1 000时，选择乙印刷厂合算；当x=1 000时，选择甲、乙印刷厂一样合算；当x>1 000时，选择甲印刷厂合算. 新知探究 1.某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A 方案 B 方案 C 方案 每月基本费用/元 20 56 266 每月免费使用流量/兆 1 024 无限 超出后每兆收费/元 A,B,C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系如图所示. 随堂练习 (1)请直接写出m，n的值. A 方案 B 方案 C 方案 每月基本费用/元 20 56 266 每月免费使用流量/兆 1 024 无限 超出后每兆收费/元 解：(1)由图象可得m=3 072， 由题意得，20+(1 144-1 024)n=56， 解得n=0.3. 0.3 0.3 3 072 随堂练习 (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1 024兆时，求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围. (2)设函数解析式为y=0.3x+b(x≥1 024). ∵函数图象过点(1 144,56)， ∴1 144×0.3+b=56，解得b=-287.2， ∴y关于x的函数解析式为 y=0.3x-287.2(x≥1 024). 随堂练习 (3)在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ (3)∵B方案超过3 072兆后，超出后每兆收费0.3元， ∴当3 072时，可设B方案每月所需的费用(元)与每月使用的流量(兆)之间的函数关系式为 y=0.3x+e， 把(3 072，56)代入得，56=921.6+e， 解得e=-865.6， ∴y=0.3x-865.6 (x≥3 072). 随堂练习 即B方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系式为：y= 当y=266时，0.3x-865.6=266， 解得x=3 772. ∴结合函数图象可知，当1 144<x<3 772时，选择B方案最划算. 随堂练习 2. 如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系，若通话时间超过200 min，则B方案比A方案便宜____元． 12 随堂练习 3.某学校欲购置一批标价为4 000元的某种型号电脑，需求数量在6至15台之间．经与两个专卖店商谈，优惠方法如下： 甲店：购买电脑打八折； 乙店：先赠一台电脑，其余电脑打九折优惠． 设学校欲购置x台电脑，甲店购买费用为y甲(元)，乙店购买费用为 y乙(元)． (1)分别写出购买费用y甲、y乙与所购电脑x(台)之间的函数关系式； 解：由题意可得y甲＝4 000×0.8x＝3 200x(6≤x≤15)． y乙＝4 000×0.9(x－1)＝3 600x－3 600(6≤x≤15)． 随堂练习 (2)对x的取值情况进行分析，说明这所学校购买哪家电脑更合算？ 当3 200x＝3 600x－3 600时，解得x＝9， 即当购买9台电脑时，在两家专卖店的购买费用相同； 当3 200x<3 600x－3 600时，解得x>9， 即当10≤x≤15时，买甲店电脑更合算； 当3 200x>3 600x－3 600时，解得x<9， 即当6≤x≤8时，买乙店电脑更合算． 随堂练习 解决方案决策问题的方法 数法 通过讨论多个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 形法 画出多个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 课堂小结 $第二十三章 一次函数 八下数学 RJ 23.4 实际问题与一次函数 第1课时 认识分段函数，能从实际问题中提取关键信息，建立分段函数模型解决问题. 学习目标 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画. 在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 课堂导入 例 某玉米种子的价格为40元/kg. 若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折： (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象： (2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ 分析：付款金额与种子价格有关.而种子价格不是固定不变的,它与购买量有关.因此,写函数解析式与画函数图象时,应分0≤x≤2和x>2讨论. 新知探究 解：(1)设购买量为 x kg，付款金额为 y 元. 当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x； 当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的(x-2)kg（即超过2kg部分按24元/kg（即六折）计价， 函数解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32. 函数图象如图所示. O 1 2 3 x/kg y元 100 80 60 40 20 y=40x y=24x+32 也可以这样表示： 新知探究 例 某玉米种子的价格为40元/kg. 若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折： (2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ (2)因为4>2， 所以y=24×4+32=128. 因此，一次购买4kg种子，需付款128元. 新知探究 用解析式法表示分段函数的关键 (1)分段函数是一个函数，而非多个函数，其自变量在不同范围内解析式不同； (2)表示函数关系的解析式，每一段后面必须加上自变量的取值范围.分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化.分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用. 新知探究 跟踪训练 某品牌笔记本单价为5 000元/台，若一次购买不超过3台，价格不变；若一次购买超过 3台，超过部分的笔记本价格打七折．则付款金额y(元)关于购买台数x(台)的函数解析式为 ________________________． 新知探究 1.一个实验室在0:00-2:00保持20℃的恒温，在2:00-4:00匀速升温，每小时升高5℃.写出实验室温度T(单位：℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象. 解：当  时，； 当  时，. 故  关于  的函数解析式为 这个函数的图象如图所示. 随堂练习 2.某市出租车的收费方式为:路程不超过3km时收费9元，超过3km部分每千米收费2元.记乘客乘坐出租车的路程为x(x>3)km，乘车费为y元. (1)求y关于x的函数解析式; (2)若有一位乘客付了23元乘车费，则他的乘车路程是多少? 解：（1）y=9+2(x-3)=2x+3. （2）令2x+3=23，解得x=10. 所以他的乘车路程是10 km. 随堂练习 3.某实践小组观察记录了莴笋的成长过程，如图表示的是一种莴笋的高度y(cm)与观察时间x(天)之间的函数图象．由图象可知，这种莴笋可能达到的最大高度是________． 32 cm 随堂练习 4.为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为x立方米，水费为y元． (1)y关于x的函数解析式为______________； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少了多少立方米？ 随堂练习 解：13×4＝52(元)，50<52<58， ∴该用户本月预算用水超过13立方米， 实际用水不超过13立方米． 当y＝58时，6x－26＝58，解得x＝14； 当y＝50时，4x＝50，解得x＝12.5. 14－12.5＝1.5(立方米)． 答：该用户本月实际用水比预算少了1.5立方米． (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少了多少立方米？ 随堂练习 分段函数 一次函数的图象和性质 实际问题 解决 课堂小结 y＝ y＝ $第二十三章 一次函数 八下数学 RJ 23.4 实际问题与一次函数 第3课时 能从实际问题中提取关键信息，建立一次函数模型，通过分析函数的变化规律，找到最省钱、最合理的实际方案，提升用数学解决生活问题的能力. 学习目标 探究 学校要组织 234 名学生和 6 名教师一起去参加实践活动，现在有两种车可以选 —— 甲种车能坐 45 人，租金 400 元；乙种车能坐 30 人，租金 280 元. 而且要求每辆车上至少有 1 名老师，总费用还不能超过 2 300 元. 大家想想，这种既要算人数、又要控预算的问题，我们该怎么一步步规划出最省钱的方案呢？今天这节课，我们就来学习如何用一次函数的知识，解决这类生活里最常见的 “最优方案” 问题. 课堂导入 探究 某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： (1)共需租多少辆客车？ (2)给出最节省费用的租车方案. 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 新知探究 问题1：租车有哪些考虑的条件？ ①要保证240名师生乘车都有座位； ②要使每辆客车上至少有1名教师； 问题2：共有多少种租车方案？ 共3种：(1) 单独租甲种车； (2) 单独租乙种车； (3) 同时租甲种车和乙种车． 新知探究 问题3：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 租用甲种车：240÷5=5（辆）， 租用乙种车：240÷30=8（辆）. 单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆. 问题4：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 汽车总数不少于6辆，不超过8辆. 因为每辆汽车上至少要有1名教师， 所以汽车总数不能大于6辆，综合起来可知汽车总数为6． 新知探究 问题5：合租甲、乙两种车的时候，又有很多种方案可供选择，应该如何选出最节省费用的租车方案呢？ 租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当客车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用. 新知探究 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数， 即 y=400x+280(a-x). 将已经确定的a=6 代入，化简这个函数，得y=120x+1 680. 新知探究 问题6：为使240名师生有车坐，可以确定x的一个范围吗？ 45x+30(6-x)≥240 x≥4 问题7：为使租车费用不超过2 300元，可以确定x的范围吗？ 120x+1 680≤2 300 x≤5 综上可以得到x的取值范围：4≤x≤5， 因为x要取整数，所以4≤x≤5. 新知探究 问题8：结合前面所求出的x的取值范围，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由. ∵4≤x≤5且x取整数. ∴x=4或5． 有两种不同的租车方案：甲客车4辆，乙客车2辆；甲客车5辆，乙客车1辆． 又租车费用y=400x+280(6-x)=120x+1 680， ∵120＞0， ∴y随x的增大而增大． ∴当x=4时，租车费用最少，为120×4+1 680=2 160（元）． 答：租甲种车4辆，乙种车2辆最节省费用． 新知探究 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 新知探究 跟踪训练 某中学组织学生研学，原计划若租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． (1)列方程组求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ 解：（1）设原计划租用A种客车x辆，这次研学去了y人， 根据题意，得 解得 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1 200人. 新知探究 跟踪训练 某中学组织学生研学，原计划若租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． (2)若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？ (2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25-y)辆， 根据题意,得45(25-y)+60y≥1 200，解得y≥5. 又∵y为小于或等于7的正整数， ∴y可以为5，6，7， ∴该学校共有3种租车方案. 新知探究 方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车； 总租金为300×5+220×20=5 900(元)； 方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 总租金为300×6+220×19=5 980(元)； 方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车； 总租金为300×7+220×18=6 060(元)． ∵5 900＜5 980＜6 060， ∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算． 新知探究 1.某文具店购进A,B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示. 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2 000元的资金采购这两种计算器共100台.若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 随堂练习 解：设购进 A 型号计算器x台，则购进 B 型号计算器 (100-x) 台. 由题意,得22x+19(100-x)≤2 000, 解得33. ∵  取正整数， ∴  最大为 33. 设全部售出的利润为 y 元，则 y=(32-22)x+(25-19)(100-x)=4x+600. ∵ k=4>0， ∴ y随x的增大而增大. 故当 x=33 时，y 最大，此时 y=732. 故利润最大的进货方案是进A型号的计算器33台，B型号的计算器67台，最大利润是732元. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 随堂练习 2.已知甲仓库有生活物资100t，乙仓库有生活物资80t. 现要把这些生活物资全部运往A，B两地，A地需生活物资70t，B地需生活物资110t，两仓库到A，B两地的路程和运费如下： 设甲仓库运往A地的生活物资为x t(x为整数)，总运费为y元. (1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. (2)若要使总运费不超过37 160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？ 随堂练习 (1)∵甲仓库运往A地的生活物资为xt， ∴甲仓库运往B地的生活物资为(100-x)t；乙仓库运往A地的生活物资为(70-x)t；乙仓库运往B地的生活物资为80-(70-x)=(10+x)t. 运输总费用为： y=12×20x+10×25(100-x)+12×15(70-x)+8×20(10+x)=-30x+39 200. ∵70-x≥0，x≥0，100-x≥0，∴0≤x≤70. 因此，y关于x的函数解析式为y=-30x+39 200(0≤x≤70). 随堂练习 2.已知甲仓库有生活物资100t，乙仓库有生活物资80t. 现要把这些生活物资全部运往A，B两地，A地需生活物资70t，B地需生活物资110t，两仓库到A，B两地的路程和运费如下： 设甲仓库运往A地的生活物资为x t(x为整数)，总运费为y元. (2)若要使总运费不超过37 160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？ 随堂练习 (2) 根据题意，得-30x+39 200≤37 160, 解得x≥68. ∵0≤x≤70，∴68≤x≤70. ∵x为整数，∴x=68或69或70，故有三种运送方案. ∵-30<0，∴y随x的增大而减小， ∴当x=70时，y有最小值. ∴当甲仓库运往A地的生活物资为70t，运往B地的生活物质为30t，乙仓库运往A地的生活物资为0t，运往B地的生活物质为80t时，总运费最少，最少为-30×70+39 200=37 100（元）. 随堂练习 3.某辣椒批发商销售A，B两种不同品种的辣椒共80箱，进价和售价如表所示．   设该辣椒批发商采购了A种辣椒x箱，销售完所有辣椒获得的总利润为y元． 品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱) A 400 480 B 300 350 随堂练习 解：根据题意，得y＝(480－400)x＋(350－300)(80－x) ＝30x＋4 000， ∴y与x之间的函数解析式为y＝30x＋4 000. (1)求y与x之间的函数解析式． 品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱) A 400 480 B 300 350 随堂练习 品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱) A 400 480 B 300 350 根据题意，得400x＋300(80－x)≤29 000， 解得 x≤50. ∵y＝30x＋4 000，30>0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝50时，y有最大值，最大值为30×50＋4 000＝5 500. 答：购进50箱A种辣椒所获得的利润最大，最大利润为5 500元． (2)如果该批发商最多投入的成本为29 000元，那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最大？并求出最大利润． 随堂练习 根据函数最值选择最佳方案 (1)利用不等式（组）确定自变量的取值范围； (2)根据函数的增减性，在自变量取值范围内，确定符合实际问题的函数的最值及相应的自变量的值. 课堂小结 $