6.2 平行四边形的判定 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第2课时 平行四边形的判定方法2 6.2 平行四边形的判定 第六章 平行四边形 八下数学 BSD 1. 利用对角线互相平分判定平行四边形. 2. 能综合运用平行四边形的性质定理和判定定理进行 简单的推理证明，提升推理能力. 学习目标 问题 画两条相互平分的线段，并将他们的端点顺次连接起来，看看它是不是平行四边形. 猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形. C A B D O 课堂导入 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA=OC，OB=OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 C A B D O 新知探究 证明： ∵ OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB， ∴ △AOD≌△COB， ∴ AD＝CB，∠ADO＝∠CBO． ∴ AD∥CB． ∴ 四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 C A B D O 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 C A B D O 平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 数学语言： ∵ OA=OC，OB=OD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 跟踪训练 有下列说法： ① 一组对角相等； ② 两条对角线互相垂直； ③ 两条对角线互相平分； ④ 一组邻角补； ⑤ 两组对边分别相等； ⑥ 两组对边分别平行. 能判定四边形是平行四边形的说法有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 C 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 例1 如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 分析：要证明一个四边形是平行四边形， 如果从对角线的角度考虑，需要满足什么 条件? 如果从对边的角度考虑呢? F D C B A E 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 新知探究 F D C B A E O 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 证明：如图所示，连接BD，交AC于点O． ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD (平行四边形的对角线互相平分). ∵ AE＝CF， ∴ OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF， ∴ 四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)． 还有其他证法吗? 新知探究 有其他证法.证明如下： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥ CD，∴ ∠BAE=∠DCF， 又∵AE=CF，∴ △ABE≌△CDF(SAS)， ∴ BE=DF， ∠AEB=∠CFD， ∴ 180°-∠AEB=180°-∠CFD，即∠BEF=∠DFE， ∴ BE∥ DF，∴ 四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 F D C B A E 新知探究 比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系? 平行四边形的性质定理和判定定理互逆. 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 新知探究 平行四边形的判定方法 从边考虑： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2). 从对角线考虑： 对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理3). 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法-对角线 证明思路 ① 证明另一组对边相等. ② 证明该组对边平行. ① 证明另一组对边平行. ② 证明该组对边相等. 证明对角线互相平分. 已知条件 一组对边相等 一组对边平行 对角线相交 新知探究 1. 已知△ABC(如图①)，按图②、图③所示的尺规作图痕迹，不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是(　　). A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B 随堂练习 14 2. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，从下列条件： ① AD∥BC，② AB=CD，③ AO=CO，④ ∠ABC=∠ADC中选出 两个使四边形ABCD是平行四边形，则你选择的两个条件是　 　 . ①③（答案不唯一） C A B D O 随堂练习 15 3. 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F是OA和OC的中点，四边形BFDE是平行四边形吗?请说明理由. D C A B F E O 随堂练习 16 解：四边形BFDE是平行四边形.理由如下： ∵ 在□ ABCD中，对角线AC，BD互相平分， ∴ OA=OC，OB=OD. ∵ 点E，F分别是OA和OC的中点， ∴ OE=OA，OF=OC， ∴ OE=OF， ∴ 四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). D C A B F E O 随堂练习 17 4. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F. 求证：四边形AECF是平行四边形． O F C A E D B 随堂练习 18 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OD＝OB，OA＝OC. ∵ AB∥CD， ∴ ∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO. ∴ △FDO≌△EBO. ∴ OF＝OE. 又∵OA＝OC， ∴ 四边形AECF是平行四边形． O F C A E D B 随堂练习 19 5. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF=CD，AB∥ DE，AB=DE，连接BC，BF，CE，EF. 求证：四边形BCEF是平行四边形. 随堂练习 20 证明：如图，连接BE交AD于点O，连接AE，BD. ∵ AB∥ DE，AB=DE. ∴ 四边形ABDE是平行四边形， ∴ AO=DO，BO=EO. 又∵ AF=CD， ∴ FO=CO， ∴ 四边形BCEF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 随堂练习 21 平行四边形的判定 从对角线考虑： 对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理3). 从边考虑： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法). 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1). 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2). 课堂小结 $第1课时 平行四边形的判定方法1 6.2 平行四边形的判定 第六章 平行四边形 八下数学 BSD 1. 探索并证明平行四边形的判定定理. 学习目标 C 问题 如图，要画出一个以线段AB，AD为邻边，以∠BAD为一个内角的□ABCD，你有哪些画法? B D A 作∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠DBC. 课堂导入 知识点 平行四边形的判定方法 思考 如何判定一个四边形是平行四边形呢? 根据定义：如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形. 除了定义法判定平行四边形，还有没有其他方法呢? 新知探究 取四根细木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，能否在平面内将这四根细木条首尾顺次相接，搭成一个平行四边形? 猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 知识点 平行四边形的判定方法 新知探究 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：如图，连接BD.在△ABD和△CDB中， ∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB， ∴ △ABD≌△CDB. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ AB∥CD， AD∥ CB. ∴四边形 ABCD是平行四边形(平行四边形的定义). 知识点 平行四边形的判定方法 B A D C 1 4 3 2 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法 B D C A 平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 数学语言： ∵ AB=CD，AD=BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法 跟踪训练 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE. 求证：四边形AECF为平行四边形. B A C D F E 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AD=BC，∠B=∠D. ∵ AF＝CE， ∴ AD-AF=BC-CE，即DF=BE， ∴ △ABE≌△CDF(SAS)， ∴ AE=CF. 又∵ AF=CE， B A C D F E ∴ 四边形AECF是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 新知探究 取两根长度相等的细木条AD、BC，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗? 将细木条AD、 BC平行摆放 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 知识点 平行四边形的判定方法 新知探究 已知：如图，在四边形ABCD中，AB CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 知识点 平行四边形的判定方法 D A B C ∥ = 新知探究 证明：如图，连接AC. ∵ AB∥ CD， ∴ ∠BAC=∠DCA. 又∵ AB=CD，AC=CA， ∴ △ABC≌△CDA， ∴ BC=DA. ∴ 四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 知识点 平行四边形的判定方法 D A B C 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法 B D C A 平行四边形的判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 数学语言： ∵ AB=CD，AB∥ CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法 例1 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD和CB的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形. D A B C E F 新知探究 知识点 平行四边形的判定方法 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝CB（平行四边形的对边相等）， AD∥CB（平行四边形的定义）. ∵ E，F分别为AD和CB的中点， ∴ ED＝AD，FB=CB， ∴ ED=FB，ED∥FB， ∴ 四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． D A B C E F 新知探究 1. 如图，线段AD是由线段BC经过平移得到的，分别连接AB，CD，四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由. 解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下： ∵ 线段AD是线段BC经过平移得到的， ∴ AD∥ BC，且AD=BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). B D C A 随堂练习 16 2. 如图，AC=BD，AB=CD=EF，CE=DF.图中有哪些互相平行的线段？请说明理由. D A B C E F 随堂练习 17 解：∵ AC=BD，AB=CD， ∴ 四边形ABDC是平行四边形， ∴ AB∥CD，AC∥BD. ∵ CD=EF，CE=DF， ∴ 四边形CDFE是平行四边形， ∴ CD∥EF，CE∥DF. ∵ CD∥EF，AB∥CD， ∴ EF∥AB. D A B C E F 随堂练习 18 3. 如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，请添加一个条件 (写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形. AB=CD（答案不唯一） 随堂练习 19 4. 已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1).若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=　　　　　. 4或-2 随堂练习 20 5. 如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，猜想BE与CF之间的数量关系，并加以证明. 随堂练习 21 解：BE=CF. 证明：∵ DE∥BC， ∴ ∠DBC=∠BDE. ∵ BD是△ABC的角平分线， ∴ ∠DBC=∠ABD， ∴ ∠ABD=∠BDE， ∴ DE=BE. ∵ DE∥BC，EF∥AC， ∴ 四边形CDEF是平行四边形， ∴ DE=CF， ∴ BE=CF. 随堂练习 22 平行四边形的判定 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 判定定理 课堂小结 $第3课时 两条平行线之间的距离 6.2 平行四边形的判定 第六章 平行四边形 八下数学 BSD 1. 掌握平行线间的距离的概念及性质. 2. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质. 学习目标 问题 如图，在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长?你能说明理由吗? 夹在两根铁轨之间的平行枕木一样长. 理由：因为两根铁轨平行，每两根枕 木平行，所以两根铁轨与两根枕木构 成了平行四边形. 根据平行四边形的对边相等，得到夹在两根铁轨之间的平行枕木一样长. 课堂导入 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度. 经过度量，我们可以发现这些垂线段的长度都相等. 知识点 两条平行线之间的距离 新知探究 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度. 猜想：平行线间的距离处处相等. 你能证明猜想的正确性吗? 知识点 两条平行线之间的距离 新知探究 例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D． 求证：AC = BD． 知识点 两条平行线之间的距离 A B D C a b 2 1 新知探究 证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD， ∴ ∠1=∠2=90°. ∴ AC∥ BD. ∵ AB∥ CD， ∴ 四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义). ∴ AC=BD(平行四边形的对边相等). 知识点 两条平行线之间的距离 A B D C a b 2 1 新知探究 知识点 两条平行线之间的距离 如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离. (简记为：两条平行线间的距离处处相等). ∵ l1∥ l2，AB⊥l2，CD⊥l2， ∴ AB=CD. 新知探究 三种距离之间的区别： 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间 的距离 知识点 两条平行线之间的距离 A B 连接两点的线段的长度. 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 新知探究 夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？ 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形， 再由平行四边形的性质易知夹在两条平行线间的平行线段一定相等. 知识点 两条平行线之间的距离 A B D C 新知探究 知识点 两条平行线之间的距离 跟踪训练 如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝6 cm，则BD＝________cm. 6 新知探究 准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形. 知识点 两条平行线之间的距离 画法不唯一. 新知探究 知识点 两条平行线之间的距离 例2 已知：如图，在□ABCD中，点M，N分别在边AD和BC上，点E，F在对角线BD上，且DM=BN，DF=BE． 求证：四边形MENF是平行四边形． M C B N D F E A 新知探究 知识点 两条平行线之间的距离 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC(平行四边形的定义)． ∴ ∠MDF=∠NBE． ∵ DM=BN，DF=BE， ∴ △MDF≌△NBE. ∴ MF=NE，∠MFD=∠NEB． ∴ ∠MFE=∠NEF． ∴ MF∥NE． ∴ 四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). M C B N D F E A 新知探究 知识点 两条平行线之间的距离 跟踪训练 如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数． E C B D F A 新知探究 知识点 两条平行线之间的距离 解：在□ABCD中，∠ABC=70°， ∴ ∠ADC=∠ABC=70°． ∵ BE平分∠ABC， ∴ ∠EBF=∠ABC=×70°=35°． ∵ BE∥DF， ED∥BF， ∴ 四边形BFDE是平行四边形， ∴ ∠EDF=∠EBF=35°． ∵ ∠CDF＋∠EDF=∠ADC ， ∴ ∠CDF=∠ADC－∠EDF =70°－35°=35°． E C B D F A 新知探究 1. 如图，直线AE∥ BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 . 10 A B C D E 随堂练习 17 2. 已知直线m∥n，点A在直线m上，点B，C，D在直线n上，且AB=4 cm，AC=5 cm，AD=6 cm，则直线m与n之间的距离(　　). A. 等于5 cm B. 等于6 cm C. 等于4 cm D. 小于或等于4 cm D 随堂练习 18 3. 如图所示，直线a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1=45°，直线a和b之间的距离为3，则线段AB的长度为(　　). A. 3 B. 3 C. 3 D. 6 A 随堂练习 19 4. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠EAO=∠DCO. (1) 求证：四边形AECD是平行四边形. (1) 证明：在△AOE和△COD中， ∠EAO=∠DCO，AO=CO，∠AOE=∠COD， ∴ △AOE≌△COD(ASA)， ∴ OE=OD. 又∵ AO=CO， ∴ 四边形 AECD 是平行四边形. 随堂练习 20 4. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠EAO=∠DCO. (2) 若AB=BC，CD=5，AC=8，求四边形AECD的面积. 随堂练习 21 (2)解：∵ AB=BC，AO=CO， ∴ 点B，O都在线段AC的垂直平分线上，∴ BO垂直平分AC， ∴ OB⊥AC， ∴ ∠COD=90°. ∵ AO=CO，AC=8， ∴ CO=AC=4. 在Rt△COD中，OD===3. ∴ S□AECD=S△ACD+S△ACE=OD·AC+OE·AC=OD·AC=3×8=24. 随堂练习 22 平行线之间的距离 性质： ①平行线之间的距离处处相等. ②夹在两条平行线间的平行线段都相等. 概念：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离. 课堂小结 $