6.1 平行四边形的性质 课件2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

第2课时 平行四边形的性质 6.1 平行四边形的性质 第六章 平行四边形 八下数学 BSD 1. 掌握平行四边形对角线的性质. 2. 综合运用平行四边形的性质，并能够利用性质进行简单的推理计算. 3. 理解梯形的概念，并会解决简单问题. 学习目标 问题 平行四边形的两条对角线有什么特征? 平行四边形的两条对角线互相平分. 你能尝试证明这一结论吗? A B C D O 课堂导入 已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD(平行四边形的对边相等)， AB∥CD(平行四边形的定义)， ∴ ∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO， ∴ △ABO≌△CDO， ∴ OA=OC，OB=OD. 知识点1 平行四边形的性质 A B C D O 还有其他证法吗? 新知探究 有其他证法.证明如下： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=CB(平行四边形的对边相等)， AD∥ CB(平行四边形的定义)， ∴ ∠OAD=∠OCB(两直线平行，内错角相等). 又∵ ∠AOD=∠COB(对顶角相等)， ∴ △AOD≌△COB(AAS)， ∴ OA=OC，OD=OB. 知识点1 平行四边形的性质 A B C D O 新知探究 知识点1 平行四边形的性质 A B C D O 定理 平行四边形的对角线互相平分. 数学语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 新知探究 知识点1 平行四边形的性质 例1 已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F. 求证：OE=OF. 新知探究 知识点1 平行四边形的性质 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ DO=BO(平行四边形的对角线相平分)， AD∥ BC(平行四边形的定义)， ∴ ∠ODE=∠OBF. ∵ ∠DOE=∠BOF， ∴ △DOE≌△BOF(ASA)， ∴ OE=OF. 新知探究 还记得小学学过的梯形的“样子”吗?画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义 知识点2 等腰梯形 新知探究 知识点2 等腰梯形 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形. 两因素： ① 是四边形； ② 只有一组对边平行. 新知探究 知识点2 等腰梯形 平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底. 不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形. 上底 下底 腰 腰 高 新知探究 等腰梯形是轴对称图形吗? 将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现? 知识点2 等腰梯形 等腰梯形的性质： (1) 等腰梯形是轴对称图形； (2) 等腰梯形在同一底上的两个角相等. 新知探究 知识点2 等腰梯形 跟踪训练 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则梯形的周长为 . 22 新知探究 1. 已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边及两条对角线的长度. 随堂练习 14 解：如图所示，在□ ABCD中， ∴OA=3，OB=4，AB=5， ∴ OC=OA=3，OD=OB=4，CD=AB=5， ∴AC=2OA=2×3=6，BD=2OB=2×4=8. ∵ OA2+OB2=32+42=25，AB2=52=25， ∴ ∠AOB=90°，∴ AC⊥BD. 在Rt△AOD中，∵ AD===5， ∴ BC=AD=5. 故其他各边长都是5，两条对角线的长分别是6，8. 随堂练习 15 2. 如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1=110°，∠4=125°，求∠2和∠3的度数. 解：∵ a∥ b， ∴ ∠1+∠2=180°，∠4+∠3=180°.°. ∵ ∠1=110°，∠4=125°， ∴ ∠2=180°-∠1=180°-110°=70°， ∠3=180°-∠4=180°-125°=55°. 随堂练习 16 3. 如图所示，▱ABCD的周长为22 cm，对角线AC，BD交于点O，过点O且与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为　　　　 . 11 cm 随堂练习 17 4. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AD =2，BC=2+2，∠C=45°，求腰AB的长和梯形ABCD的面积. 随堂练习 18 解：如图，过点D作DE⊥BC于点E， 则四边形ABED是长方形. ∴ AD=BE，AB=DE. ∵ AD=2，∴ BE=2， ∴ CE=BC-BE=2+2-2=2. 在Rt△CDE中，∠C=45°，则DE=CE=2， ∴ AB=DE=2， ∴ S梯形ABCD=(AD+BC)×AB=4+6. 随堂练习 19 5. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF.求证：BE=DF. 随堂练习 20 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OB=OD，OA=OC. ∵ E，F分别是OA，OC的中点， ∴ OE= OA，OF= OC，∴ OE=OF. 在△BEO与△DFO中， ∵ OE=OF，∠BOE=∠DOF，OB=OD， ∴ △BEO≌△DFO(SAS)， ∴ BE=DF. 随堂练习 21 平行四边形的对角线互相平分. 性质：等腰梯形是轴对称图形； 等腰梯形在同一底上的两个角相等. 平行四边形 定义：一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形. 梯形 课堂小结 $第1课时 平行四边形的概念 6.1 平行四边形的性质 第六章 平行四边形 八下数学 BSD 1. 经历探索平行四边形有关概念和性质的过程. 2. 探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用. 学习目标 问题 图中含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，它们有怎样的共同特点? 两组对边分别平行 课堂导入 知识点1 平行四边形的概念 A B C D 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 如图，记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 注意 表示平行四边形时一定要按顺时针或逆时针方向依次表示各顶点，不能打乱顺序. 新知探究 知识点1 平行四边形的概念 A B C D 对边：AB与CD，AD与BC； 对角：∠A与∠C，∠B与∠D； 对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线. 线段AC和BD都是□ABCD的对角线. 新知探究 知识点1 平行四边形的概念 思考 根据三角形的学习经验，你认为对平行四边形应研究哪些内容? 类比三角形的学习，应研究平行四边形的概念、性质和判定，进而再研究特殊的平行四边形. 新知探究 平行四边形是中心对称图形吗?如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗? 是. 对称中心为平行四边形两条对角线的交点. 验证：如图，将□ABCD绕两条对角线的交点O顺时针或逆时针旋转180°后都能与原来的图形重合. 知识点2 平行四边形的性质 A B C D O 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 平行四边形的对称性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. A B C D O 新知探究 你还发现平行四边形有哪些性质? 可采取度量、平移、旋转、折叠、拼图等方法探究平行四边形的边和角的数量关系. 平行四边形的对边相等、对角相等. 知识点2 平行四边形的性质 A B C D 新知探究 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB=CD，BC=DA. 分析：要证明两条线段相等，你常用什么方法? 在平行四边形中能直接使用这种方法吗? 你能构造出可以使用这种方法的图形吗? 知识点2 平行四边形的性质 A B C D A B C D 1 4 3 2 新知探究 A B C D 1 4 3 2 证明：如图，连接AC . ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，BC∥DA(平行四边形的定义)， ∴ ∠1=∠2 ，∠3=∠4. ∵ AC=CA， ∴ △ABC ≌△CDA， ∴ AB=CD，BC=DA . 知识点2 平行四边形的性质 新知探究 请你证明：平行四边形的对角相等. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形. 求证：∠A=∠C，∠B=∠D. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥ BC， AB∥ CD ， ∴ ∠A+∠B=180 ° ，∠A+∠D=180 °， ∴ ∠B=∠D. 同理可得：∠A=∠C. 知识点2 平行四边形的性质 A B C D 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 平行四边形的性质定理 ① 平行四边形的对边相等； ② 平行四边形的对角相等. A B C D 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 例1 已知：如图，在□ABCD中，E，F 是对角线AC上的两点，并且AE=CF． 求证：BE = DF． A D B C E F 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 证明：∵ 四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD(平行四边形的对边相等)， AB∥ CD(平行四边形的定义). ∴ ∠BAE=∠DCF. 又∵ AE=CF， ∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE=DF. A D B C E F 新知探究 知识点2 平行四边形的性质 跟踪训练 已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他内角的度数吗? 解：能确定其他内角的度数. 因为平行四边形的两组对边分别平行，所以根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出与已知角互补的另一个内角， 再根据平行四边形的对角相等，确定其他的两个内角. 新知探究 1. 如图，四边形ABCD是平行四边形.求： (1) ∠ADC和∠BCD的度数； (2) AB和BC的长度. 解：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠ADC=∠B=56°. ∵ AB∥ DC， ∴ ∠B+∠BCD=180°， ∴ ∠BCD=180°-∠B=180°-56°=124°. A B C D 56° 30 25 随堂练习 17 1. 如图，四边形ABCD是平行四边形.求： (1) ∠ADC和∠BCD的度数； (2) AB和BC的长度. (2)∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD=25， BC=AD=30. A B C D 56° 30 25 随堂练习 18 2. 如图所示，在▱ABCD中，AB=4，BC=7，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 随堂练习 19 3. 如图所示，在▱ABCD中，∠ADC=119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF=　　　　°. 61 随堂练习 20 4. 如图所示，已知▱ABCD的面积为24，EF过AC，BD的交点O，则图中阴影部分的面积为　　　　. 12 随堂练习 21 5. 如图所示，在▱ABCD中，DE=CE，连接AE并延长，交BC的延长线于点F. (1) 求证：△ADE≌△FCE； (2) 若AB=2BC，∠F=36°，求∠B的度数. 随堂练习 22 (1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC， ∴ ∠D=∠ECF. 在△ADE和△FCE中， ∵ ∠D=∠ECF，DE=CE，∠AED=∠FEC， ∴ △ADE≌△FCE. 随堂练习 23 (2)解：∵ △ADE≌△FCE， ∴ AD=FC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC， ∴ BC=FC. 又∵ AB=2BC，∴ AB=FB， ∴ ∠BAF=∠F=36°， ∴ ∠B=180°-2×36°=108°. 随堂练习 24 平行四边形 表示方法：平行四边形ABCD记作□ABCD. 性质 中心对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 边：平行四边形的两组对边分别平行， 平行四边形的对边相等. 角：平行四边形的对角相等. 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 课堂小结 $