精品解析：江苏丹阳高级中学2025-2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题

绝密★启用前 江苏省丹阳高级中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2 已知，则等于 A B. C. D. 3. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（ ） A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C 若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素 6. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设函数定义域为，满足，且函数在上是减函数，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 若，则 D. 不等式的解集为 11. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 当时， C. 当时，单调递减 D. a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对任意，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 13. 如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为__________． 14. 设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 16. 已知集合． （1）判断8，9，10是否属于集合A： （2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； （3）写出所有满足集合A的偶数． 17. 已知函数且，满足 （1）求参数的值； （2）若曲线关于点对称，则满足，证明：曲线是中心对称图形； （3）若对于，不等式恒成立，求参数的取值范围． 18. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数x，都有，则称函数为“倒负函数”． （1）若，，试判断和是不是“倒负函数”．并说明理由； （2）设，若，求最小值； （3）若，证明：在定义域内有且仅有两个零点． 19. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，恒成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界． （1）若在上是以2为上界的有界函数，求的取值范围； （2）已知，为正整数，是否存在整数，使得对，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 江苏省丹阳高级中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 2. 已知，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式化简后即可求值． 【详解】＝-sin[]＝ 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题． 3. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数与指数幂的运算及对数的运算即可求得答案. 【详解】， ， ， 所以. 故选：C. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点排除选项A，根据函数值的符号排除选项C，利用导数求解单调递增区间排除选项D，即可得解. 【详解】由可得，解得或，排除A； 由时，，排除C； 因为，令，可得，解得或 所以的单调区间为和，排除D． 故选：B 5. 设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（ ） A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C. 若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素 【答案】A 【解析】 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法： 若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素. 故A正确. 故选：A. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 6. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排序进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 7. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ①当时，，即， 所以，所以，解得； ②当时，，即， 所以，所以，解得.所以或. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知的等式，将其进行变形，利用基本不等式对选项逐一分析判断即可． 【详解】对于A，因为，，所以，故， 当且仅时取等号，此时，故选项A正确； 对于B，因，所以，当且仅当时取等号， 所以，解得，则，故选项B错误； 对于C，因为， 所以， 当且仅当时取等号，故选项C正确； 对于D，因为，所以，所以， 因为，，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故，故选项D正确． 故选：ACD． 10. 设函数的定义域为，满足，且函数在上是减函数，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 若，则 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义求解判断ABC；变形不等式，利用偶函数性质及单调性求解不等式. 【详解】对于A，令，，得，即，则，A正确； 对于B，令，，得，即，解得， 令，得，即，为偶函数，B错误； 对于C，由，得，即， 则，，因此，C正确； 对于D，由，得，得， 从而，原不等式变为， 而偶函数在上单调递减，则在上单调递增，即， 解得，又且，因此原不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 当时， C. 当时，单调递减 D. a的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】 先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案. 【详解】解：根据题意得：知是偶函数， 由知是周期为2的周期函数， 因为当时，，所以有如图的函数图象， 故对于A选项，由图可知图象关于对称，所以A正确； 对于B选项，当时，，所以B正确； 对于C选项，当时，由周期为2可知单调性与时的单调性相同，易知当时，单调递增，所以C错误； 对于D选项，设，则函数在上至少有三个不同的零点，等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有，即，解得，所以D错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查函数的零点，周期性，奇偶性等函数性质，考查数形结合思想和运算求解能力，解题的关键在于根据题意做出函数图象，利用数形结合思想求解，是中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对任意，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得，从而可得，讨论，或，再求出的单调递增区间，只需是单调递增区间的子集即可求解. 【详解】，， 由正弦函数的性质，的每个增区间的长度为，其中函数的最小正周期为. 函数在区间上单调地藏，可得，即. ①当时，此时，单调递增， 当，单调递增， 解得， 只需， 从而可得， 解得对成立， 则，即， 由，解得，，. 所以，； ②当时，函数为常函数，不合乎题意； ③当时，，单调递减， 由， 解得对成立， 可得，解得对成立， 于是，即， 由，解得，由，，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想. 13. 如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的定义得到第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，根据弧长公式计算后相加即可． 【详解】 第一次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过路径是， 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是， 故答案为：． 14. 设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________ 【答案】8 【解析】 【详解】由于，则需考虑的情况， 在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此， 因此不可能与每个周期内对应的部分相等， 只需考虑与每个周期的部分的交点， 画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分， 且处，则在附近仅有一个交点， 因此方程的解的个数为8． 点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 16. 已知集合． （1）判断8，9，10是否属于集合A： （2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； （3）写出所有满足集合A的偶数． 【答案】（1），， （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【小问1详解】 ，， ，， 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . 综上，，，. 【小问2详解】 ，， ，即所有奇数都属于集合，则，必有， 又，而，即，推不出， 所以的充分非必要条件是. 【小问3详解】 由，，， 当和同为奇数和偶数时，均为偶数， 所以为4的倍数； 当和一奇一偶时，均为奇数， 所以为奇数. 综上，所有满足集合的偶数为. 17. 已知函数且，满足 （1）求参数的值； （2）若曲线关于点对称，则满足，证明：曲线中心对称图形； （3）若对于，不等式恒成立，求参数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，代入计算可求得参数的值； （2）由（1）知，可得，即可证得曲线是中心对称图形； （3）由（2）知，则题中不等式可化为，又函数为减函数，则，利用换元法求出不等式右边的最小值为1，则得，即可求得参数的取值范围． 【小问1详解】 函数且，满足， 则，化简得， 因为，解得. 【小问2详解】 因为曲线关于点对称，则满足， 由（1）知，， 则， 所以，即， 所以曲线关于点对称，所以曲线是中心对称图形. 【小问3详解】 由（1）知，，， 因为为单调递增函数，则为单调递减函数， 由（2）知，， 则， 则不等式可化为： ， 所以，即， 令，， 则， 则当时， 所以，即，解得， 所以对于，不等式恒成立， 参数的取值范围为． 18. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数x，都有，则称函数为“倒负函数”． （1）若，，试判断和是不是“倒负函数”．并说明理由； （2）设，若，求的最小值； （3）若，证明：在定义域内有且仅有两个零点． 【答案】（1）是“倒负函数”，不是“倒负函数”，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义及对数函数的性质判断和是否为“倒负函数”． （2）利用单调性定义证明在上的单调性，根据已知可得，再应用基本不等式求目标式的最小值； （3）由单调性定义可得在、上单调递增，应用零点存在性定理判断区间零点，结合题设定义判断零点个数，即可证结论. 【小问1详解】 若，，满足， 所以是“倒负函数”． 由，则，而， 对于，则无意义，所以不是“倒负函数”． 【小问2详解】 任取，， 所以在上单调递减， 由（1）知，，所以， 又，所以，所以． ，当且仅当时等号成立． 【小问3详解】 因为，， 任取，， 所以在上单调递增，同理在上单调递增． 又，， 由零点存在性定理知，，， 所以上有且只有一个零点． 又， 所以是“倒负函数”，， 所以，也是的零点， 所以在和各有一个零点，即在定义域内有且只有两个零点． 【点睛】关键点点睛：第二、三问，应用单调性定义判断函数的单调性，结合函数新定义、基本不等式、零点存在性定理求解证明. 19. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，恒成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界． （1）若在上是以2为上界的有界函数，求的取值范围； （2）已知，为正整数，是否存在整数，使得对，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用上界的定义，换元令转化函数式得，再结合与的单调性计算即可； （2）假设存在满足题意，分离参数得，然后分类讨论为奇数或偶数，结合的取值范围计算即可. 【小问1详解】 令，，则， 由题意可得，在上恒成立， 则在上恒成立， ∴，即， 易知在上单调递减，则， 根据对勾函数的性质可知：在上单调递增，则， 综上：． 【小问2详解】 假设存在满足题意， 当为正偶数时，，即 设，易知， 则，， ∴； 当为正奇数时，，即 同理设，易知， 则，， ∴； 若存在，则且，即， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $