第五章图形的轴对称单元测试卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第五章图形的轴对称单元测试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、 单选题（每题3分，共30分） 1.下列图形中，不是轴对称图形的是() 2.人工智能AI改变着我们的生活.下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对 称图形的是() 3.如图，将一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，AE,AF为折痕，点B、D折叠后对 应的点分别为B、D,若∠BAD'=8°，则∠EAF=() A.33° B.41 C.45° D.49 4.如图，在正方形网格中，点A,B为格点，点P为直线1上的动点，则使PA+PB的值为 最小的点是() A P P2P:P 试卷第1页，共3页 A.P B.B C.P D.P 5.如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD,将ABCD沿EF折叠，AD两点分别与， D对应，若∠1=65°，则∠2的度数为() D A.45° B.50° C.55° D.609 6.已知一张三角形纸片ABC(如图①)，其中AB=AC=5,BC=3。将纸片沿DE折叠， 使点A与点B重合（如图②）时，CE=m；再将纸片沿EF折叠，使得点C恰好与BE边上 的点G重合（如图③），则△BFG的周长为() A B C B 图① 图② 图③ A.3+m B.8-m C.5 D.8-2m 7,用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示.若要使花纹保持原来的样式，应 在图中①处选择的布料图案是() 8.将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE,AF为折痕，点B,D折叠后的 试卷第1页，共3页 对应点分别为B,D,则下列结论正确的个数有() D ①若∠DAF=∠BAE=15°，则∠B'AD'=60°；②若点B与点D重合，则∠EAF=45°； ③若∠B'AD'=10°，则∠EAF=50°或30°；④若LEAF=60°，则LB'AD'=40°. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图，已知长方形纸片ABCD,点E,H在AD边上，点F,G在BC边上，分别沿EF, GH折叠，使点B和点C都落在点P处.若LFEH+LEHG=120°，则LFPG的度数为() D A E B A.549 B.56° C.60° D.62 10.如图，在锐角ABC中，∠BAC=45°，BC=5,P为BC上一动点，将AABP,△ACP 分别沿AB,AC向外翻折，得到△ABD,△ACE,连接DE,当ADE面积的最小值为8 时，则ABC的面积为() A.5 B.6 C.8 D.10 二、填空题（每题3分，共18分） 1.如图，己知长方形纸片ABCD,点E、F、G分别为线段AD、BC、AB上的一点，将纸 片沿着EG、FG折叠，使得点A落在点H处，点B落在点I处，若∠HGI=30°，则 ∠EGF的大小为 试卷第1页，共3页 2.如图，己知∠A0B=90°，在∠A0B的内部.按下列步骤作图： (1)在0C上取一点M,以点O为圆心，以OM为半径画弧交射线OA于点N; (2)以点N为圆心，线段MN的长为半径画弧交前弧于点D: (3)以点O为端点，作射线0D. C M B -B 若∠B0C=25°，则∠C0D的度数为 3.如图，在ABC中，AB=AC,DE是AB的中垂线，△BCE的周长为15，BC=6,则 AB的长为 B 4.如图，在ABC中，D是BC上一点，连接AD,将ABC沿AD折叠，点B的对应点E 恰好落在AC上，M是AD上一动点，连接ME,MC,若BC=5,AB=3,AC=6,则 MC+ME的最小值为一· M D 5.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射 线OP为∠AOB的平分线的有· 试卷第1页，共3页 ① ② ③ ④ 6.如图，0为坐标原点，△AB0中的两个顶点为A6,0),B(6,6),点D在边AB上，点C 在边OA上，且BD=AC=1,点P为边OB上的动点，则PC+PD的最小值为一 D CA末 三、解答题（每题9分，共72分） 1.如图，在ABC中，AC>AB,∠ACB=60°，请用尺规作图法在ABC内部求作一点P ,使得∠BPC=120°，∠BCP=30°.（保留作图痕迹，不写作法） B 2.如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： A· D B ℃ (1)画直线AD和直线BC,交点为点E; (②)连接BD,并延长到F,使DF=BD; (3)在∠AEB内部，画射线EM,使∠BEM=∠AEM· 3.ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. 试卷第1页，共3页 2 -3-2 (I)作出ABC关于y轴对称的△A,B,C,并写出B的坐标： (2)求ABC的面积； (3)在x轴上画出点P,使PB+PC最小（不写作法）. 4.在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,1),B(-1,-1,C(-3,2). O12345x (I)若ABC关于y轴对称的图形为△A,B,C,在直角坐标系中画出△AB,C; (2)在x轴上是否存在点P,能使PA+PC,有最小值，如存在，请在图中找出点P的位置， 如不存在，请说明理由； (3)△AB,C的面积为· 5.如图，平原上有A,B,C，D四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一 个蓄水池。 A· C B。 ·D (①)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小. (②)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据 试卷第1页，共3页 6.己知点E,F,G分别在长方形纸片ABCD的边AB,BC和AD上，连接EF,EG,先将 纸片的∠A沿EG折叠，使点A落在点A处，再将纸片的∠B沿EF折叠，使点B落在点B处 D D E B 图1 图2 图3 (I)如图1，若点B恰好落在折痕EG上，且∠AEG=30°，求∠AEF的度数； (2)如图2，若点B恰好落在直线EA上，求LGEF的度数： (③)如图3，分别将纸片的∠A和∠B折叠后，得到的∠A'和∠B重叠形成∠A'EB',∠A'EB和 ∠GEF之间存在怎样的数量关系？请说明理由 7.八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧. 【探究与发现】 图1 图2 图3 (I)如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,写出图中全 等的两个三角形 【理解与应用】 (2)填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5,DE=3,设EP=x,则x的取值范围 是 (3)己知：如图3，AD是ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点Q在BC的延长线上， QC=BC,求证：AQ=2AD 8.综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源 站补充燃料，最后返回空间站B.为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线1的对称点B,连接 试卷第1页，共3页 AB',与直线l的交点即为最优燃料点C,此时路径AC+CB最短. 推理论证：如图3，在直线I上另取任意一点C,连接AC',BC',B'C',只要说明 AC+CB<AC'+CB'即可. 证明：：直线I是点B,B的对称轴，点C,C在1上，CB=-,CB'=-, :AC+CB=AC CB'=_. 在△AC'B中，AB'<AC+CB',_<AC'+CB',即AC+CB最小. 陨石带 图1 图2 图4 (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A,B转化为在直线的两侧，从而利用 “两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决.请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径： (3)如图4，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC.若点P在AD上移动，点Q在AC上移动， 如何确定PC+PQ的最小值？ 试卷第1页，共3页 第五章图形的轴对称单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共30分) 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义，逐项判断即可即可． 【详解】解：A选项：如下图所示， 沿虚线折叠后直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形， 故A选项不符合题意； B选项：如下图所示， 沿虚线折叠后直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形， 故B选项不符合题意； C选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合， 该图形不是轴对称图形， 故C选项符合题意； D选项：如下图所示， 沿虚线折叠后直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形， 故D选项不符合题意． 故选：C． 2．人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 3．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，，为折痕，点、折叠后对应的点分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查长方形的性质，折叠的性质．利用数形结合的思想找到角之间的关系是解题关键．由长方形和折叠的性质结合题意可求出．再根据，即可求出答案． 【详解】解：由长方形的性质可知： ， ∴， 即， 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 5．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，两点分别与，对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，由折叠和平行线的性质可知，再利用平角的定义可求得． 【详解】解：如图： 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，折叠的性质，灵活掌握折叠的性质是解本题的关键．根据折叠的性质，列代数式即可得出答案． 【详解】解：，， ． 将纸片沿折叠，使点与点重合， ． 将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合， ，， ， 的周长为． 故选：D． 7．用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．若要使花纹保持原来的样式，应在图中①处选择的布料图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图案的对称与延续性，掌握观察图案局部特征并寻找匹配选项的方法是解题的关键． 观察挂毯的整体对称花纹，分析①位置上下区域的图案特征，再对比选项找到匹配的布料图案． 【详解】解：挂毯的花纹由多个小三角形组成，形成对称图案； ①位置上方和下方的图案由两个方向相反的小三角形组成； 选项D的布料由两个方向相反的小三角形组成，与①位置上方和下方的图案相匹配． 故选：D． 8．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，则下列结论正确的个数有（   ） ①若，则；②若点与点重合，则； ③若，则或；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，角的和差计算，掌握折叠的性质是解题的关键． ①由折叠可得，，则，再由求解即可；②若点与点重合，则，，那么，据此即可求解；③分两种情况讨论，在的下方和在的上方；④此时，则，再由角度和差求解即可． 【详解】解：①若，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，故错误； 若点与点重合，如图， 由折叠可得，，， ∴， 即，故正确； 如图，当在的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的上方时， ， ， ， ， ∴或，故错误； ④由上可知，当，在的下方，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∴正确的有1个， 故选：A． 9．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 10．如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将，分别沿，向外翻折至，可得：，由，得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：，分别沿，向外翻折至，， ，， ，，， ， ， 面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ， 故选：D． 二、填空题(每题3分,共18分) 1．如图，已知长方形纸片，点E、F、G分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点A落在点H处，点B落在点I处，若，则的大小为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了折叠的性质，角的和差运算，掌握折叠的性质是关键；由折叠知，，由题意得，即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，已知，在的内部．按下列步骤作图： （1）在上取一点M，以点O为圆心，以为半径画弧交射线于点N； （2）以点N为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点D； （3）以点O为端点，作射线． 若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的定义，熟练掌握其相关知识点是解题关键． 根据作图得到，根据余角的性质可得到，即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，， ∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，是的中垂线，的周长为15，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长． 根据垂直平分线的性质得到，根据的周长为15，得到，从而求得，进而即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 4．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 5．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明是解题关键． ①由图可知，，，，据此证明即可． ②由图可知，，垂直平分，据此证明即可． ③由图可知，，，，依次证明， ，即可． ④由图可知，，，据此证明即可． 【详解】解：①有图可知， ， ， ， 射线是的角平分线； ②由图可知， ，， ， ， ， 射线是的角平分线； ③由图可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线； ④由图可知， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线． 故答案为：①②③④． 6．如图，为坐标原点，中的两个顶点为，，点在边上，点在边上，且，点为边上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过点作交轴于点，交于点 ，得矩形，正方形，点E是点C关于对称的对称点，此时 的值最小． 【详解】∵ ，， ∴，轴， ∴，， ∴ 如图，过点作交轴于点，交 于点，连接，    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形是矩形， ∵， ∴, ∴四边形是正方形， ∴点E是点C关于对称的对称点，的值最小， ∵, ∴, ∴， 此时 的值最小，为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称一最短路线问题，坐标与图形性质，解题的关键是掌握轴对称的性质. 三、解答题(每题9分,共72分) 1．如图，在中，，，请用尺规作图法在内部求作一点，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线和角的作图．作的角平分线，在上方作，所作的两条射线交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求， 2．如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： (1)画直线和直线，交点为点E； (2)连接，并延长到F，使； (3)在内部，画射线，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作直线，线段，角平分线，解题的关键是熟练掌握直线，线段以及作角平分线的方法． （1）根据直线的定义即可作图； （2）根据线段的定义即可作出线段，再延长，截取即可； （3）作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：直线和直线即为所求； （2）解：如上图，线段和点即为所求； （3）解：如上图，射线即为所求． 3．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上画出点，使最小（不写作法）． 【答案】(1)的坐标为，图见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 则的坐标为； （2）解：依题意， ； （3）解：如图，点P即为所求． 4．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)若关于y轴对称的图形为，在直角坐标系中画出； (2)在x轴上是否存在点P，能使有最小值，如存在，请在图中找出点P的位置，如不存在，请说明理由； (3)的面积为_____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了根据轴对称作图，将军饮马求最短距离问题，根据网格求三角形面积问题等知识． （1）根据轴对称的性质分别作出点，顺次连接即可得到； （2）作出点A关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P； （3）用正方形面积减去三个三角形面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 做法：根据轴对称的性质分别作出点，顺次连接即可得到； （2）解：如图，点P即为所求； 做法：作出点A关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P； （3）解：的面积为． 故答案为： 5．如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接、交于，则为蓄水池位置； （2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直的线段． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，过点作，垂足为．沿线段开渠最短． 依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【点睛】此题主要考查了线段的性质以及垂线段的性质，正确掌握相关线段的性质是解题关键． 6．已知点分别在长方形纸片的边和上，连接，先将纸片的沿折叠，使点落在点处，再将纸片的沿折叠，使点落在点处． (1)如图1，若点恰好落在折痕上，且，求的度数； (2)如图2，若点恰好落在直线上，求的度数； (3)如图3，分别将纸片的和折叠后，得到的和重叠形成，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了长方形纸片折叠中的角度计算问题，涉及折叠的性质（折痕是对称轴、对应点对称）、平角的定义以及角度的和差关系．掌握折叠后对应角相等、折痕为角平分线等性质，并灵活利用点共线时的角度关系是解题的关键． （1）点落在折痕上，所以相等，结合平角建立方程； （2）当点落在直线上时，通过角度和差推导出为直角，解题核心是利用折叠后对应角之和为的性质； （3）本小题重点在于折叠后重叠角与折痕夹角的数量关系，通过代数推导建立等式，关键思路是利用平角条件和折叠对称性进行角度转换． 【详解】（1）解：∵沿折叠，点A落在， ∴根据折叠对称性，有， ∵点落在折痕上，故在射线上， ∴沿折叠，点B落在，根据折叠对称性，有， 由于在上，射线与重合， ∴， ∵点A、E、B共线， 故， ∴， ∵，且， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． （2）由（1）可得，， ∵点A、E、B共线， 故， ∴， 即， ∴， ∵点恰好落在直线上， ∴． 故答案为：． （3）由（1）可得，， ∵点A、E、B共线， 故， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】    （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形______； 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是_________； （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明即可； （2）参照（1）的证明过程可添加辅助线，延长至点Q，使，连接，证明，得到，再根据三角形三边关系求解即可； （3）参照（1）的证明过程可添加辅助线，延长到点M，使，连接，证明，得到 ，，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）是的中线， ， ，， ， 故答案为：； （2）延长至点Q，使，连接， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：．    （3）证明：如图，延长到点M，使，连接， ，   是的中线， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $