精品解析：山东淄博实验中学2025-2026学年第一学期高二期末教学质量检测数学试题

实验中学2025—2026学年度第一学期高二教学质量检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 12 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 8. 设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若直线倾斜角为，则 C. D. 与之间的距离为3 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为正方形内一点，当平面时，最大值为 C. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为 D. 当三棱锥所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆离心率为______． 13. 已知等比数列前项和为，且，，数列的公比______． 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. （1）求Р的方程； （2）设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值． 16. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和． 17. 已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 18. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，是边长为的等边三角形，是的中点，为上一点. （1）若与交于点，满足平面，求的长； （2）设，若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，． （1）求的标准方程； （2）证明：； （3）若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学2025—2026学年度第一学期高二教学质量检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出焦距及长轴长，再求出离心率. 【详解】依题意，椭圆的焦距，长轴长， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 2. 以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该抛物线向右平移1个单位长度得标准抛物线，即可得其标准方程，再利用平移即可得解. 【详解】将该抛物线向右平移1个单位长度， 所得的抛物线以点为焦点，直线为准线， 故抛物线的方程为，再将其向左平移1个单位长度， 得原抛物线的方程为. 故选：B. 3. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率的定义即可求解. 【详解】由题意可知：， 所以， 解得：， 故选：B 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式得到，进而由等差数列通项公式基本量计算出答案. 【详解】设公差为，，即，故， . 故选：A 5. 设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设 ，表示向量 ，由条件可得，，结合对称性列不等式，求范围，由此可得结论.. 【详解】因为点分别为椭圆的左、右焦点； 所以 ， 设 则， 由可得， 又因为在椭圆上，即， 所以， 由对称性可得，要使得成立的点恰好是个，则 解得， 所以的值可以是. 故选：B 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据双曲线的定义，可得和，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于，的关系，可得双曲线的离心率. 【详解】如图：设，则， 根据双曲线的定义，可得，， 因为，所以， 所以 由， 代入可得. 故选：B 【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，再考虑其他方法. 7. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为均在上单调递增，则在上单调递增， 由已知，，， ，， ， 由零点存在性定理可得函数的零点所在区间是. 故选：C. 8. 设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出平面的法向量与正方体的同一顶点处发出的三个平面的法向量的夹角，结合正方体的对称性，即可求得. 【详解】设平面的法向量为， 正方体一个顶点处的三个平面的法向量分别为、、， 则，， ， 因正方体有三对互相平行的平面， 则. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算及共线向量的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，由点分别为的中点，得， 而，因此，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，长度相等，方向不同，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD 10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若直线倾斜角为，则 C. D. 与之间的距离为3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项分析判断. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，，得， 直线斜率，直线方程为，由，得， 对于A，，，A正确； 对于B，，由，，得，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，与之间的距离为，D错误. 故选：AC 11. 在棱长为2正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为正方形内一点，当平面时，的最大值为 C. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为 D. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据正方体的性质得出在中即为异面直线与所成的角，即可判定；对于B：取的中点的中点，连接，，，得到，，即可证明面面，则根据已知得出轨迹为线段，则过作，此时取得最小值，即可判定；对于C：过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形，得出，，设，，以为原点，分别以方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系，得出，，，的坐标，则可根据，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五边形的周长，即过点的平面截正方体所得的截面周长，即可判定；对于D：取的中点，则，过作，且使得，则为三棱锥的外接球的球心，则为外接球的半径，计算得出半径即可求出球的表面积，即可判定. 【详解】对于A选项，， 在中即为异面直线与所成的角， ， 异面直线与所成的角的余弦值为．故A正确； 对于B选项，取的中点的中点，取的中点，连接，，， 四边形为平行四边形，，，， 同理可得， 又面，面，面，面， 面，面， 又，面， 面面， 又面，面， 轨迹为线段， 在中，过作，此时取得最小值， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 如图，在中，， 即的最小值为，而的最大值为．故B错误； 对于C选项，过点的平面截正方体， 平面平面，则过点的平面必与与交于两点， 设过点的平面必与与分别交于、， 过点的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得， 如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形， 如图以为原点，分别以方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，， ，，，， ，， ，解得， ，，，， 在中，，，，同理：， 在中，，，，同理： 在中，，， ， 即过点的平面截正方体所得的截面周长为．故C正确； 对于D选项，如图所示，取的中点，则，过作， 且使得，则为三棱锥外接球的球心， 所以为外接球半径， 在中，， ， ．故D项正确， 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：通过证明面面平行得到动点的轨迹，利用空间向量法确定点的位置是B、C的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程可知，的值，由离心率求出结果. 【详解】因为椭圆方程为， 所以 所以， 所以 所以离心率， 故答案为： 13. 已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和公式联立方程组即可求解. 【详解】由题意可知：， 根据等比数列的前项公式可得：①，②, 联立①②可得，解得. 故答案为： 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，的平分线与直线PQ垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解. 【详解】依题意，由， 得，即的平分线与直线PQ垂直， 如图，设的平分线与直线PQ交于点D， 则，，又， 所以，所以，． 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. （1）求Р的方程； （2）设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）设，解得线段FP的中点坐标，根据题意列等式化简即可得方程； （2）设设A，根据函数导数求得函数的切线方程进而求得M的坐标，根据垂直易得直线AB的方程，与联立，推得B的坐标，利用弦长公式计算得，，结合面积公式和基本不等式求得面积最小值. 【小问1详解】 设，则线段FP的中点坐标为，因为以PF为直径的圆与x轴相切， ∴，化简得，所以的方程为； 【小问2详解】 设A，由，，则点A处的切线斜率为， 所以直线MA方程为，整理为， 令，则，所以M，易知直线AB斜率为， 所以直线AB：，整理为， 与联立可得， 有，解得， 即B的横坐标为， 所以， ， 所以△MAB面积为 ，又，当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为 16. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式计算，结合，可求得公差，继而可求得通项公式；（2）根据等差等比数列的通项公式及前项和公式进行计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 又因为，且， 所以，故． 所以． 【小问2详解】 由（1）可知，，又，所以． 因为，可得， 所以， ． 17. 已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式可解； （2）利用错位相减法求数列前项和. 【小问1详解】 由题可知. 因为， 所以，得. 设等比数列的公比为，则， 所以， ，即的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 两式相减得 故. 18. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，是边长为的等边三角形，是的中点，为上一点. （1）若与交于点，满足平面，求的长； （2）设，若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据线面平行性质可知，根据平行线分线段成比例可知；由面面垂直性质可知平面，根据长度关系和勾股定理可求得结果； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角向量求法可构造方程求得的值. 【小问1详解】 若平面， 平面平面，平面，， ，，，，； 作，垂足为，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 是边长为的等边三角形，为中点，，， ，， . 【小问2详解】 分别为中点，，又，， 两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，又， ，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 解得：或. 19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，． （1）求的标准方程； （2）证明：； （3）若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离和点到直线的距离公式即可列等式求解； （2）根据直线与双曲线联立方程，得韦达定理，结合数量积坐标运算即可证明； （3）依据题意得直线和直线的方程分别为，联立直线和曲线E方程求得韦达定理，从而利用中点坐标公式求出点P坐标，同理求出点Q坐标，再利用点到直线距离公式分别求出点P和点Q到两渐近线的距离，接着根据计算结合变量取值范围即可求解. 【小问1详解】 设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以 ，整理得， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为， ①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，， 则且由点A和点B在曲线E上，故， 所以， 同理可得，所以； ②直线斜率存在时，则可设方程为，、， 联立， 则即， 且，且， 所以 ， 同理 ，所以， 综上，. 【小问3详解】 由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线E的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且， 联立得，设、， 则， ，， 故， 因为P是中点，所以即， 同理可得， 所以P到两渐近线的距离分别为， ， Q到两渐近线的距离分别为， ， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接， 则四边形面积为 ， 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为. 【点睛】关键点睛：求解四边形面积的取值范围的关键1在于明确直线和直线的变量m的范围为，；关键2在于先将四边形补形为矩形再分割为四边形和两个三角形利用来计算求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $