平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、平面向量的实际应用专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、平面向量的实际应用专项训练 平面向量：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、平面向量的实际应用专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 平面向量的实际应用 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高一上·浙江台州·期末）若非零向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 例2．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·福建南平·期末·多选）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 例4．（25-26高三上·安徽·期中·多选）已知向量，满足，，且，则（    ） A．，的夹角为 B． C．在上的投影向量为 D．的最小值为 例5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则 . 例6．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 例7．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 例8．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 变式1．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 变式2．（2025·湖北·模拟预测）已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期末·多选）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 变式4．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末·多选）已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 变式5．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则 ． 变式6．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 变式7．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量与向量的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的值. 变式8．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（    ） A． B．3 C． D． 例3．（25-26高一上·云南昆明·期末·多选）已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 例4．（2026·新疆·模拟预测·多选）已知向量，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．的最小值为 例5．（25-26高二上·云南大理·期末）已知平面向量，，若，则 . 例6．（25-26高三上·河北邢台·期末）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 例7．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，求k为何值时： (1)与共线； (2)与垂直； (3)与夹角为钝角． 例8．（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 变式1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 变式2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·湖南常德·期末·多选）已知向量，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．的最大值为7 变式4．（25-26高一上·福建厦门·期末·多选）已知向量，，，则（   ） A． B．，使得 C．，使得 D．，使得 变式5．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知向量，若，则 . 变式6．（25-26高一上·北京昌平·期末）已知向量，，则 ；若与平行，则实数 . 变式7．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，且． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 变式8．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，向量在方向上的投影为2． (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 考点三 平面向量的实际应用 例1．（25-26高三上·山西吕梁·期末）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二上·江西·期中）在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 ． 例4．（24-25高一下·山东滨州·月考）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是 . 变式1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 变式3．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 变式4．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功是 ．    2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、平面向量的实际应用专项训练 平面向量：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、平面向量的实际应用专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 平面向量的实际应用 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高一上·浙江台州·期末）若非零向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得， 又因为，则，解得. 故选：A. 例2．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 例3．（24-25高一下·福建南平·期末·多选）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 例4．（25-26高三上·安徽·期中·多选）已知向量，满足，，且，则（    ） A．，的夹角为 B． C．在上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C错误； 对于D，，所以当时，取得最小值，为，故D正确. 故选：ABD 例5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】4 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 故答案为：4 例6．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 【答案】3 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 例7．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）当时，， 即， 因为，， 所以， 解得. （2）， 所以当时，有最小值2， 故的最小值为. 例8．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【答案】(1)7 (2) (3)或 【详解】（1）由题意可得， 所以， 所以. （2）因为，所以， 解得. （3）因为向量与平行， 所以存在实数使得， 所以，即解得或. 变式1．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，，与的夹角为， 故， 则. 故选：C. 变式2．（2025·湖北·模拟预测）已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期末·多选）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【详解】向量，的夹角为 ，且，， ，故A错误； ，故B正确； ， ，故C正确； 向量在向量上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 变式4．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末·多选）已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】ACD 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， 由上知且，，，，如下图， 显然三个向量构成一个直角三角形，且， 所以，D对， 由， 所以，C对. 故选：ACD 变式5．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则 ． 【答案】1 【详解】因为为单位向量，所以. 由可得， 解得. 故答案为：1. 变式6．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【答案】 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 变式7．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量与向量的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)5； (2). 【详解】（1）由，得，而， 则，即， 所以. （2）由（1）得，由，得， 所以. 变式8．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以 . （2）. 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知在方向上的投影向量为 ， 故在方向上的投影向量的模为. 故选：C. 例2．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，得，所以， 因为，所以，得，所以， 所以，故. 故选：B. 例3．（25-26高一上·云南昆明·期末·多选）已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，，， 故与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，， 所以，故，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 例4．（2026·新疆·模拟预测·多选）已知向量，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】BC 【详解】A选项，，若， 则，解得，A错误； B选项，，则，故， 所以，B正确； C选项，， 在上的投影向量为，C正确； D选项，， 故，当时，，D错误. 故选；BC 例5．（25-26高二上·云南大理·期末）已知平面向量，，若，则 . 【答案】 【详解】因为，则，则，解得， 则，则. 故答案为：. 例6．（25-26高三上·河北邢台·期末）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养. 由，得，解得，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 例7．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，求k为何值时： (1)与共线； (2)与垂直； (3)与夹角为钝角． 【答案】(1)； (2)； (3)且 【详解】（1）由题意得，解得； （2）由题意得，解得； （3）因为与夹角为钝角，故且与不反向共线， 结合（1）可得且 例8．（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1），又，，， 即， ，解得. （2）因为，， 又， ，即，解得. （3）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 变式1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】B 【详解】当时， ，解得或，即必要性不成立，故A错误； 当时，，故，所以，即充分性成立，故B正确； 当时，，解得，即必要性不成立，故C错误； 当时，不满足，所以不成立，即充分性不成立，故D错误. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最小值为 故选：D 变式3．（25-26高二上·湖南常德·期末·多选）已知向量，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．的最大值为7 【答案】ACD 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，，即， 因为，得，B错误； 当时，满足，即，C正确； ，故的最大值为7，D正确. 故选：ACD. 变式4．（25-26高一上·福建厦门·期末·多选）已知向量，，，则（   ） A． B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，，所以，则，故A正确， 对于B，因为，，若，则，即，所以，使得，故B正确， 对于C，因为，所以， 由，整理得，解得， 所以，使得，故C正确， 对于D，因为，若，则， 解得，不合题意，所以不存在，使，故D错误， 故选：ABC. 变式5．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知向量，若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 变式6．（25-26高一上·北京昌平·期末）已知向量，，则 ；若与平行，则实数 . 【答案】 【详解】，故， 由题设有， 因为与平行，故，故, 故答案为：. 变式7．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，且． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）由，则，解得. （2）由，则与的夹角，故. 变式8．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，向量在方向上的投影为2． (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得，解得. （2）由向量与的夹角为锐角，可得且与不共线， ，所以， 又，即，此时可得 所以实数的取值范围为. 考点三 平面向量的实际应用 例1．（25-26高三上·山西吕梁·期末）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三个力作用处于平衡状态，且，，所以， 所以. 故选：B． 例2．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则， 即，所以. 故选：D 例3．（24-25高二上·江西·期中）在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 ． 【答案】 【详解】依题意，且， 所以， 即，解得． 故答案为：． 例4．（24-25高一下·山东滨州·月考）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是 . 【答案】 【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段， 设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下： 因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东， ，在中，有， 所以， 所以， 所以， 所以小货船航行速度的大小为． 故答案为： 变式1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设表示水流速度，表示实际速度（即静水速度），表示与合速度， 则，，由题意可得. 故选：B. 变式2．（24-25高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 变式3．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 【答案】2 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短， 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间， 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 故答案为：2. 变式4．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功是 ．    【答案】 【详解】根据力所做的功， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $