精品解析：云南省大理市2025-2026学年高一年级上学期教学质量监测考试数学试题

大理市2025～2026学年上学期高一年级教学质量监测考试 数学试卷 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角的终边过点，则（ ） A. B. 0 C. D. 4 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 已知是使得一元二次不等式对一切实数恒成立的的取值的集合，集合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则（ ） A. B. C. 3 D. 7. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 8. 已知函数是定义在的奇函数，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 角第一象限角，则位于第一、三象限 C. 函数（且）过定点 D. 半径为2，圆心角为的扇形的周长为 10. ，用表示，中的最小者，记为.若，，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最大值为 11. 函数（，，）的部分图象如图，下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 函数图象关于对称 C. 在上为增函数 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 已知幂函数为偶函数，且在上单调递增，则______. 14. 已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知二次函数的零点分别为2和4. （1）求，的值； （2）若对于，恒成立，求实数取值范围. 16. 计算下列式子： （1）； （2）已知，且为第三象限，求. 17. 把物体放在常温环境下冷却，若物体的初始温度是，室温是，则经过时间（单位；分钟）后物体的温度（单位：℃）满足，其中为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法，测得初始温度为80℃的咖啡，放在室温20℃的环境中自然冷却，6分钟以后咖啡的温度降至50℃. （1）求的值； （2）当室温为15℃时，若云南小粒咖啡用90℃的水泡制，自然冷却至60℃，可以产生最佳口感，那么刚泡好的咖啡大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（第二问结果精确到0.1（附：参考值，，） 18. 已知（），若对任意的恒成立，且. （1）求的值； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线.求的解析式； （3）若（2）中的满足方程在区间上有解，求的取值范围. 19. 若存在常数、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数. （1）判断函数是否为“”类函数?如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由； （2）函数是“”类函数，且当时，. ①证明：是周期函数，并求出在的解析式和值域； ②若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理市2025～2026学年上学期高一年级教学质量监测考试 数学试卷 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用交集定义计算求解. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：D. 2. 已知函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在定理可得在区间内有零点,再根据函数和的图象可知，当时无零点即可得解. 【详解】令，则，， 根据零点存在定理， 得在区间内有零点, 借助函数和的图象可知，当时，无零点， 所以函数的零点所在的区间选项中只有. 故选：A. 3. 在平面直角坐标系中，角的终边过点，则（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求解. 【详解】已知角的终边过点， 由正弦函数的定义得， 由余弦函数的定义得， 所以， 故选:B. 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 5. 已知是使得一元二次不等式对一切实数恒成立的的取值的集合，集合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先由一元二次不等式恒成立可得集合A，再根据包含关系可判断必要不充分条件. 【详解】因为一元二次不等式对一切实数恒成立， 当时，不等式为,不满足对一切实数x恒成立，舍去. 时，则，解得，因此集合， 故集合真包含于集合，故“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用弦化切的方法得，代入即可得解. 【详解】. 故选：C. 7. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明可判断A；由幂函数在定义域内单调递增，则，故B错误；由指数函数在定义域内单调递增，则，故C错误；由对数函数在定义域内单调递增，则，故D正确； 【详解】对于A选项，若，时，满足，但，故A选项错误； 对于B选项，构造幂函数，且该幂函数在定义域内单调递增， ，因此，故B选项错误； 对于C选项，构造指数函数，且该指数函数在定义域内单调递增， ，因此，故C选项错误； 对于D选项，构造对数函数，且该对数函数在定义域内单调递增， ，因此，故D正确， 故选：D． 8. 已知函数是定义在的奇函数，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设，令，可得，则在上单调递增，再分、，结合函数单调性解不等式即可． 【详解】不妨设，令， 则 ， 则函数在上单调递增， 因为是定义在的奇函数， 所以是定义在的偶函数， 在上单调递减，在上单调递增， 对于不等式，分情况讨论： 当时，可化为， 所以，所以，解得， 当时，可化为， 所以，所以，解得， 所以不等式的解集为． 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 角为第一象限角，则位于第一、三象限 C. 函数（且）过定点 D. 半径为2，圆心角为的扇形的周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用命题的否定判断选项；利用不等式的性质判断选项；利用对数函数的性质判断选项；利用弧长公式判断选项. 【详解】对于选项A，命题“，”的否定是“，”，故A选项错误； 对于选项B，当角为第一象限角，即， 则，所以位于第一、三象限，故选项正确； 对于选项C，对于函数， 当即时，函数恒等于1，所以函数过定点，故C选项错误； 对于选项D，半径为2，圆心角为的扇形的弧长， 所以周长为，故选项D正确. 故选：BD. 10. ，用表示，中的最小者，记为.若，，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，作出，的图像，结合图像可得，再逐项判断相关性质即可． 【详解】由，，作图如图， 则，由此可知函数为偶函数，故A正确； 由此可知方程有两个解，故B正确； 由此可知函数在上单调递减，故C错误； 由此可知函数的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 11. 函数（，，）的部分图象如图，下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 函数的图象关于对称 C. 在上为增函数 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由三角函数图象求出振幅、周期和初相以确定函数表达式，再代入各选项条件逐一验证其正确性. 【详解】由图象知：的最小正周期，； ，，； ，（）， 解得：（）， ，，. 对于A，由周期定义可知是函数的一个周期，故A正确； 对于B，令（），（）， 当（）时，矛盾，故B错误； 对于C，当时，令，其是关于的一次函数，且单调递增， 在上单调递增， 在上为增函数，故C正确； 对于D，当时，令，方程等价于， 由余弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 当，，在中仅(对应)一个解，满足条件， 当，，在和各有一个解，对应两个值，不满足仅有一个实根的条件， 当，，在中仅(对应)和(对应)，共两个解，不满足条件， 当，，在仅有一个解(因时，，无额外解)，满足仅有一个实根的条件， 当，，在中无解，不满足条件， 综上：方程在上有且仅有一个实数根时，，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式可求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】已知，所以， 根据二倍角的余弦公式得. 故答案为：. 13. 已知幂函数为偶函数，且在上单调递增，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，再由幂函数的性质求解. 【详解】根据幂函数的定义可得，解得或， 且函数在上单调递增，所以，故， 此时函数为为偶函数，符合题意. 故答案为：2 14. 已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称性定义得出对称中心为，再结合二次函数值域及对数函数单调性计算求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以的图象关于对称， 所以， 当时，，且单调递增， 又在上单调递增， 由复合函数单调性知在上单调递增， 又的图象关于点对称，且在上单调递增，故在上单调递增， 由，可得， 又，所以， 所以，即，解得， 所以该不等式的解集为. 故答案为:. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知二次函数的零点分别为2和4. （1）求，的值； （2）若对于，恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系求解； （2）问题转化为对于，恒成立，求出，即可得解. 【小问1详解】 由二次函数的零点分别是2和4， 2和4是方程两个根， 解得，. 【小问2详解】 由（1）得，函数， ，因为对于，恒成立，即，恒成立， 当时，可得，所以， 所以实数的取值范围为. 16. 计算下列式子： （1）； （2）已知，且为第三象限，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用两角和的正弦公式求出，即可求出，再由两角和的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为 ， 又为第三象限，所以， 所以. 17. 把物体放在常温环境下冷却，若物体的初始温度是，室温是，则经过时间（单位；分钟）后物体的温度（单位：℃）满足，其中为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法，测得初始温度为80℃的咖啡，放在室温20℃的环境中自然冷却，6分钟以后咖啡的温度降至50℃. （1）求的值； （2）当室温为15℃时，若云南小粒咖啡用90℃的水泡制，自然冷却至60℃，可以产生最佳口感，那么刚泡好的咖啡大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（第二问结果精确到0.1（附：参考值，，） 【答案】（1） （2）4.3 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，，代入函数的解析式，结合对数的运算公式，即可求解； （2）由（1）得到，得到，结合对数的运算公式和参考数据，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，物体的初始温度是，室温是， 则经过时间后物体的温度满足，其中为正常数， 因为测得初始温度为80℃的咖啡， 放在室温20℃的环境中自然冷却，6分钟以后咖啡的温度降至50℃， 可得，，，即， 整理得，即，解得. 小问2详解】 由（1），可得， 可得，则， 所以. 18. 已知（），若对任意的恒成立，且. （1）求的值； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线.求的解析式； （3）若（2）中的满足方程在区间上有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意先确定最小正周期，再求解即可. （2）利用函数图象的平移法则求解即可. （3）将方程有解问题利用参变分离法转化为函数交点问题，进而求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为对任意的恒成立，且， 所以函数的最小正周期为， 得到，又，得. 【小问2详解】 由（1）可知， 曲线向右平移个单位长度得到， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到. 【小问3详解】 关于的方程在区间上有解， 转化为关于的方程在区间上有解， 参变分离得在区间上有解. 设，则， 令，则与在上有交点， 因为在上单调递减，则， 故的取值范围为. 19. 若存在常数、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数. （1）判断函数是否为“”类函数?如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由； （2）函数是“”类函数，且当时，. ①证明：是周期函数，并求出在的解析式和值域； ②若，，求取值范围. 【答案】（1）是，（答案不唯一） （2）①证明见解析，，值域② 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的性质可得答案； （2）①根据函数的对称性确定函数的周期，根据周期和对称性可得函数解析式； ②记，讨论的范围，根据的单调性即可求出范围. 【小问1详解】 是“”类函数， 令，，得，， 即的对称轴为，； 令，，得（）， 即的对称中心为（）， 当时，，， 可以是（答案不唯一）. 【小问2详解】 ①证明：函数是“”类函数， ， ， ， ，是周期函数. 当时，， . 故当时，，. ②解：当时，. 在上单调递增， 又关于中心对称，关于轴对称， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 记， 因为是奇函数，所以，， 1）当时，，满足； 2）当时，，所以，可得； 3）当时，，所以，可得. 综上所述实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $