精品解析：云南省大理白族自治州大理市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题

2024~2025学年上学期高一年级教学质量监测考试 数学试卷 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意化简，根据交集的定义即可求解. 【详解】由已知得，所以. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域代入解析式求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：D 3. 若关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理求得，，再代入不等式，即可求解. 【详解】∵关于的一元二次不等式的解集是或， ∴，2是一元二次方程的两个实数根， ∴由韦达定理得：，，即，， 不等式化为，即，解得， ∴不等式的解集为. 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性解不等式以及充分必要条件的概念即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 函数，则零点所在区间为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】易知是上的增函数，且，，由零点存在定理知，零点所在区间为. 故选：C. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以最小值为. 故选：C. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的性质和分界点的函数值大小关系即可得到不等式组即可求解. 【详解】因为函数是增函数， 函数的图象开口向下，对称轴为， 所以要使函数在上单调递增， 则，解得， 因此的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 当时，函数的最大值为，最小值为 C. 直线是曲线图象的一条对称轴 D. 函数在上没有零点 【答案】B 【解析】 【分析】于A，用周期性定义验证即可；对于B，，则，转化为，所以只需求在上的最大值、最小值即可判断；对于C，判断是否成立即可；对于D，由于，根据函数零点的存在性定理即可判断. 【详解】对于A，因为与不恒相等， 所以不是的周期，故A错误； 对于B，当时，， 令，则，转化为， 易知在区间上的最大值为，最小值为， 此时函数的最大值为，最小值为，故B正确； 对于C，又与不恒相等，故C错误； 对于D，，，，函数在上有零点，故D错误， 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变换先得函数的解析式，利用三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象. 对于A：函数的最小正周期为，故A正确； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：当时，，故函数该区间上单调递增，故C正确； 对于D：当时，，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题：“，都有”的否定为“，使得” B. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则 C. 函数的单调递增区间是 D. 已知，，，则，，的大小关系为 【答案】BC 【解析】 【分析】写出全称量词命题的否定可判断选项A；利用函数的奇偶性及时的解析式计算可判断B；根据复合函数的定义域和单调性可判断C；先根据指数函数与对数函数性质判断，，然后根据弧度得到，所以，最后比较大小可判断D. 【详解】对于A：命题：“，都有”的否定为“，使得”，故A错误； 对于B：由是定义在上的奇函数可知，故B正确； 对于C：由题可得，解得或，所以的定义域为. 二次函数的对称轴为，且在的单调递增区间为， 根据复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间是，故C正确； 对于D：因为，，而，所以，所以，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，函数，，则（ ） A. 为偶函数，为奇函数 B. 对任意实数， C. 存在实数，使得 D. 对任意实数，，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】由函数奇偶性定义可判断A，代入化简即可求解判断B、C、D， 【详解】由函数奇偶性定义知：的定义域为，，所以为偶函数， 的定义域为，，所以为奇函数，故A正确； 已知函数，函数，， 则，故B正确； 当时，，，此时满足，故C正确； ， ， 故对任意实数，，与不一定相等，故D错误， 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：各选项条件代入指数型函数，化简运算是解此题的重要能力，属于较难题. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若的周期为，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用周期求出可得的解析式，再求即可. 【详解】因为周期为，所以，， 则. 故答案为：. 13. 函数的值域是______________. 【答案】 【解析】 【分析】应用换元法结合指数函数值域及二次函数求值域即可. 【详解】令，则， 当且仅当“”取等号，即原函数的值域为. 故答案为：. 14. 设函数，若且，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，判断的范围，进而可得，构造函数，然后利用函数的单调性的定义求得函数的单调性，进而推出的取值范围． 【详解】函数，如图画出函数的大致图象， 若且， 则，，， 又，，于是， 构造函数， 由对勾函数的性质可知，在内单调递增， ， ，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：根据分段函数解析式画出函数的大致图象，找出的范围是解题关键. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知全集为，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，说明它是的什么条件（充分必要性）？ 【答案】（1） （2）必要不充分条件 【解析】 【分析】（1）解出集合 、，再由 得出不等式，求解即可； （2）结合（1）利用充分必要条件的定义即可判定. 【小问1详解】 集合， 集合， 由，得，， 若，，故只需使， 所以，故实数的取值范围为， 【小问2详解】 由（1）可知的充要条件是， 由于， 则是的必要不充分条件 16. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系如下表： 2 3 6 9 12 15 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中的，两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个. 【答案】（1）模型①，理由见解析 （2），81个小时 【解析】 【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度增长缓慢，故只有函数模型①符合； （2）将数据带入即可计算出，则当时即可求出答案. 【小问1详解】 最符合实际的函数模型为①，理由如下： 根据图象知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足； 又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度增长缓慢，所以③不符合， 只有①满足，故最符合. 【小问2详解】 将，代入， 得，即，解得. 则. 当时，，即，解得. 所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个. 17. 已知、为锐角，，. （1）求的值； （2）求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系，求出，再利用二倍角的余弦公式和正弦公式以及两角和的正弦公式即可得到答案. （2）利用（1）的结论，先求的值，再结合的取值范围，可求的大小. 小问1详解】 因为，，所以， 所以， ， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，且，所以 由（1）知，因为，且，所以； 所以， 所以，所以. 18. 已知函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）在（1）的条件下，若，使成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到方程，求出，再把 代入函数求值即可； （2）参变分离得到，构造，换元后得到，根据单调性求出其最值，得到结论. 【小问1详解】 当函数为偶函数，所以， 即，即， 即，，此时恒成立，的定义域为，满足题意， . 【小问2详解】 由题意得，成立， 即成立， ，，由，得， 由，可得成立， 令， 令，则，则， ，由于函数在上单调递减，故， 19. 已知函数. （1）将化成的形式； （2）求的对称中心及单调递减区间； （3）若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）对称中心为，；单调递减区间为， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用二倍角正弦、余弦公式的变形，结合辅助角公式化简整理即可； （2）以为整体，结合余弦函数的对称性、单调性分析求解即可； （3）根据的周期性和对称性，分类讨论在上是否单调，分析的最值，进而求的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得： 所以 【小问2详解】 令，，解得，， 所以的对称中心为，， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，. 【小问3详解】 由题意得的最小正周期， 令，，解得，. 图象的对称轴为直线， 若在上单调，则，， 解得，， 则 ， 因为，， 可得，所以， 若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点， 且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同. 假设在上的图象的最高点为，则， 当，即时，， 此时取得最小值，且最小值是， 又因为，则， 所以， 综上所述：的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期高一年级教学质量监测考试 数学试卷 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 已知，则（ ） A. B. 0 C. D. 3. 若关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数，则零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 当时，函数的最大值为，最小值为 C. 直线是曲线图象的一条对称轴 D. 函数在上没有零点 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题：“，都有”的否定为“，使得” B. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则 C. 函数的单调递增区间是 D. 已知，，，则，，的大小关系为 11. 已知函数，函数，，则（ ） A. 为偶函数，为奇函数 B. 对任意实数， C. 存在实数，使得 D 对任意实数，，都有 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若的周期为，则______________. 13. 函数的值域是______________. 14. 设函数，若且，则取值范围是______________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知全集为，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，说明它是的什么条件（充分必要性）？ 16. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系如下表： 2 3 6 9 12 15 32 3.5 38 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中的，两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个. 17. 已知、为锐角，，. （1）求的值； （2）求的大小. 18. 已知函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）在（1）的条件下，若，使成立，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）将化成的形式； （2）求的对称中心及单调递减区间； （3）若在上的值域为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $