精品解析：江苏省如东高级中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题

江苏省如东高级中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a＞1，则的最小值是（ ） A. 2 B. a C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】原式可化为形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2 【详解】由a＞1，有a－1＞0 ∴， 当且仅当， 即a＝2时取等号. 故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题 2. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 3. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧的最小值，根据不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，时，取得最小值4， 由有解，则，解得或． 故实数m的取值范围是或. 故选：D 4. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 5. 设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【详解】令,可得． 设 根据题意与直线只有两个交点， 不妨设，结合图形可知，当时如右图， 与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点， 根据对称性可得，即，此时， ， 同理可得，当时如左图，， 故选：B． 【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 6. 若不等式在上有解，则的取值范围是（ ） A. B. ． C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，分类讨论，结合函数单调性和函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递增， 可得， 故不等式在上有解，满足要求； 若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 同一坐标系内画出和在的图象，如下： 要想在上有解，需满足 ，即，解得， 故的取值范围为. 故选：C 7. 关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C． 【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C． 8. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】如下图所示： 令，解得， 故当时，对称轴为直线，则， 因为，所以，， 又因为， ， 由可得，则，则， 所以，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论，其中正确结论的是（ ） A. B. C. 若整数、属于同一“类”，则 D. 若，则整数、属于同一“类” 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题中定义可判断AB选项的正误；设，，、，，利用“类”的定义可判断C选项的正误；设，，、，、，推出，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，，故，A对； 对于B选项，，故，B错； 对于C选项，若整数、属于同一“类”，可设，，、，， 所以，，故，C对； 对于D选项，设，，、，、， 则，因为、，则且， 因为，则，即，故整数、属于同一“类”，D对. 故选：ACD. 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数图象恒在直线的下方 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义分析A，由函数周期性的定义分析B，由函数单调性的性质分析C，利用函数图象和不等式的性质分析D即得． 【详解】对于A，函数的定义域为R，有， 则为奇函数，故A正确； 对于B，因， 故π不是函数的周期，故B错误； 对于C，因， 当时，为增函数且， 由复合函数的单调性知， 也是增函数， 故在上递增，， 又由为奇函数，则在区间上为增函数，故C正确； 对于D，， 当时，由函数与的图象（如图）可知：， 因，则有恒成立，故， 即函数的图象恒在直线的下方，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：此题的关键在于需要先判断函数的奇偶性，在此基础上才能由函数在上的单调性判断其在上的单调性，有时还需结合函数的结构组成运用不等式性质说明函数图象的位置. 11. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，不等式的解集可以为的形式 C. 不等式的解集恰好为，那么 D. 不等式的解集恰好为，那么 【答案】AD 【解析】 【分析】A：由，利用判别式即可判断； B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，利用图象即可判断； C：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断； D：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断； 【详解】解：对于A：由，可得，又，所以，从而不等式的解集为，故A正确； 对于B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，如图所示，设交点， 由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误； 对于C：由不等式的解集恰好为，可知，即， 所以和是方程的两根，从而有，解得或， 又由，解得或，不满足，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，由，解得或，当时满足，此时，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在上的函数满足：，，则 ______.. 【答案】 【解析】 分析】利用赋值法先求，进而得，即可得解. 【详解】由题意令有：， 令有：， 又，所以， 故答案为：. 13. 已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当时，方程即， 整理可得：， 很明显不是方程的实数解，则， 当时，方程即， 整理可得：， 很明显不是方程的实数解，则， 令， 其中， 原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象， 同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件， 结合观察可得，实数的取值范围是. 点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 14. 定义域为R的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则_________；若关于x的不等式的解的最小值为1，其中，则a的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 先根据为奇函数，为偶函数，求出，再与联立即可求出；先将代入，即可得到，将其转化为，令，求出即可求出a的取值范围. 【详解】解:由题意知： 为奇函数，为偶函数， ， ， 即， ， 即， 即， 即， 关于x的不等式的解的最小值为1， 等价于， 令， 当时， 易知：在单调递减， ， 故， 当时，， 在单调递减， ， 当趋近于时，趋近于， 故无解， 当时，， 当时，， ，， 故， 即， 综上所述：. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将关于x的不等式的解的最小值为1，转化为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）254； （3）或. 【解析】 【分析】（1）因，所以A，分类讨论和即可得出答案； （2）当时，A中共有8个元素，即可求出A的非空真子集的个数； （3）若，分类讨论和，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，由，得，符合题意； 当时，根据题意，可得 解得 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 ，共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【小问3详解】 当时，由（1）知， 当时， 可得或，解得． 综上，实数的取值范围是或． 16. 设函数R （1）求函数的最小正周期； （2）求方程在区间[，]上所有解的和； （3）若不等式对任意时恒成立，求实数a应满足的条件. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】(1)利用和差公式展开，降幂公式降幂，合并后由辅助角公式化简，然后可得； (2)直接求解然后求和即可； (3)换元转化为二次函数最值问题，然后讨论可得. 【小问1详解】 所以函数最小正周期 【小问2详解】 令， 得，所以或，Z 得或，Z 因为，所以方程的解集为 所以，所有解的和为 【小问3详解】 令，因为，所以，所以 记，， 则原问题等价于，恒成立. 当，即时，在区间上单调递减，所以，得； 当，即时，在区间上单调递增，所以，得（舍去）； 当，即时，在处取最大值，故，解得或，又因为，所以. 综上，实数a应满足的条件为或. 17. 少林寺作为国家AAAAA级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多. （1）试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； （2）请问客栈在哪几个月份要至少准备600份食物? 【答案】（1） （2）客栈在5，6，7，8，9月份要至少准备600份食物 【解析】 【分析】（1）根据题意设，其中，再根据条件得到函数的周期，可以求出，再由，求出振幅，再求出，再根据时，最小，时，最大，求出，即可求解；（2）根据题意得，再分析求解即可. 【小问1详解】 设该函数为，其中 根据①，可知这个函数的周期是12； 由②，可知最小，最大，且，故该函数的振幅为200； 由③，可知在上是增函数．且，所以． 根据上述分析可得，故，由得，， 当时，最小，当时，最大， 故，且，可得， 由，得． 所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为： ． 【小问2详解】 由条件可知，， 化简得，即， 解得， 因为，且，所以， 所以客栈在5，6，7，8，9月份要至少准备600份食物． 18. 欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）判断函数是不是倒函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由. 【答案】（1）函数是倒函数，理由见解析 （2） （3）有， 【解析】 【分析】（1）根据倒函数的定义判断即可； （2）当时，，求出，即可求出的解析式，从而得解； （3）当时结合函数的单调性及函数值得到，从而得解. 【小问1详解】 函数是倒函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 对任意的， 函数是倒函数. 【小问2详解】 当时，， 因为当时，，所以， 由倒函数的定义，可得， 综上，函数的解析式为. 【小问3详解】 方程有正整数解，理由如下： 当时，，因为函数在上均单调递增，所以函数在上单调递增， 又因为，，， 所以是方程的一个正整数解， 由函数单调性的一一对应关系可知，是方程的唯一正整数解. 19. 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为． （1）求函数的解析式； （2）设在上的两个零点为，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b． 【答案】（1）； （2）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）由题意得，从而可得函数一条对称轴为，从而可得周期，根据周期公式可得ω的值，再代入C点坐标，即可求得函数的解析式； （2）由题意可得，代入求解即可； （3）由题意得，解出函数的零点，可得b的范围，再根据b为整数得答案． 【小问1详解】 因为，得到， 所以的一条对称轴为， 此时，则，从而解得， 又，且，得． 从而； 【小问2详解】 由题意得， 令，得到， 因为，， 所以，解得， 从而； 【小问3详解】 根据图象平移得， 令，则或， 由在[0,b]（）上至少有10个零点，易知，则， 所以，又b为正整数，故最小正整数b为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如东高级中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a＞1，则的最小值是（ ） A. 2 B. a C. D. 3 2. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 3. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C D. 或 4. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A. 当时， B. 当时， C. 当时， D 当时， 6. 若不等式在上有解，则的取值范围是（ ） A. B. ． C. D. 7. 关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点 ④f(x)最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 8. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论，其中正确结论的是（ ） A. B. C. 若整数、属于同一“类”，则 D. 若，则整数、属于同一“类” 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 11. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ） A. 当时，不等式解集为 B. 当时，不等式的解集可以为的形式 C. 不等式的解集恰好为，那么 D. 不等式的解集恰好为，那么 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在上的函数满足：，，则 ______.. 13. 已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________. 14. 定义域为R的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则_________；若关于x的不等式的解的最小值为1，其中，则a的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 16. 设函数R （1）求函数的最小正周期； （2）求方程在区间[，]上所有解的和； （3）若不等式对任意时恒成立，求实数a应满足的条件. 17. 少林寺作为国家AAAAA级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多. （1）试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； （2）请问客栈在哪几个月份要至少准备600份食物? 18. 欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）判断函数是不是倒函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由. 19. 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为． （1）求函数的解析式； （2）设在上的两个零点为，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $