2026年中考数学一轮复习 第二章 第四讲 一元一次不等式（组）及其应用【精讲精练+分层练习】（全国通用）

第四讲 一元一次不等式（组）及其应用 教材知识 中考考点 课标要求 一元一次不等式（组）及其解法 1.不等式的性质 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形 整式及其运算 2.一元一次不等式（组）及其解法及其解集表示 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集 3.一元一次不等式（组）的含参问题 一元一次不等式的实际应用 4.一元一次不等式的实际应用 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的实际问题 命题点1 不等式的性质 1、不等式的概念：用符号 < 或 > 表示大小关系的式子． 2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值． 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集． 4、不等式的性质及其应用 类别 具体内容 表示 应用 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 如果，那么 解不等式中的移项 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果，，那么 解不等式中的去分母（或系数化为1） 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果，，那么 解不等式中的去分母（或系数化为1） 1．（2024·广东广州）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·江苏苏州）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 3．（2025·广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 命题点2 一元一次不等式（组）的解法及解集表示 （1） 一元一次不等式的解法及解集表示 1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式． 2、一元一次不等式的解法 一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．（注意不等号的方向是否改变） 范例：解不等式： 步骤 操作方法 依据 示例 去分母 不等式两边同乘各分母的最小公倍数 不等式的性质2 方程两边同乘6得： 去括号 括号前的数乘括号内的每一项 乘法分配律或去括号法则 移项 把含有未知数的项移到不等式一边,常数项移到另一边 不等式的性质1 合并同类项 把不等式化成的形式 合并同类项法则 系数化为1 不等式两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集 不等式的性质2或性质3 3、一元一次不等式的解集 解集 在数轴上表示 总结 方向：小于向左，大于向右； 边界： “”“”用实心圆点， “”“”用空心圆点． （2） 一元一次不等式组的解法及解集表示 1、定义：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 2、解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集． 不等式组 在数轴上表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小取不了 3、一元一次不等式组的解法：先分别求出每个一元一次不等式的解集，再求各解集的公共部分。 范例：解不等式组 步骤 示例 解每个不等式 解不等式①，得 解不等式②，得 在数轴上表示各个不等式的解集，并确定公共部分 在数轴上表示每个不等式的解集为： 写出不等式组的解集 不等式组的解集为： 角度一：一元一次不等式的解法及解集表示 4．（2025·吉林）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 5．（2025·福建）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 6．（2024·河北）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 7．（2024·广东）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．    【答案】/ 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 8．（2024·青海）请你写出一个解集为的一元一次不等式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解集．根据不等式的性质对不等式进行变形，得到的不等式就满足条件． 【详解】解：解集是的不等式：． 故答案为：（答案不唯一）． 角度二：一元一次不等式组的解法及解集表示 9．（2025·四川宜宾）满足不等式组的解是（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集 【分析】先求出不等式组的解集，然后逐项分析即可． 本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 【详解】原不等式组为：， 联立两个不等式，解集为 ． A. ：不满足 ，排除． B. ：不满足 ，排除． C. 1：满足 ，符合条件． D. 3：不满足 ，排除． 故选： C． 10．（2025·吉林长春）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 11．（2025·内蒙古）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 12．（2024·内蒙古包头）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选B． 13．（2025·浙江）不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 14．（2025·上海）不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 15．（2025·河北）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 16．（2025·甘肃兰州）解不等式组：． 【答案】． 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 17．（2025·四川成都）（1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2） 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、负整数指数幂、求不等式组的解集、实数的混合运算 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟知运算法则和不等式组的解法是解题的关键． （1）分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值的性质进行计算，再把结果相加减； （2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 角度三：不等式（组）的特殊解 18．（2024·山东）写出满足不等式组的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 19．（2025·黑龙江大庆）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 20．（2024·山东烟台）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 21．（2025·江苏扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【答案】不等式组的解集为，它的所有负整数解为 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为． 22．（2025·重庆）求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 命题点3 不等式（组）含参问题 1、不等式（组）含参问题的解题步骤： 2、范例解读： （1） 的解集是时， （2） 无解时； （3） 有两个整数解时， （4） 有两个整数解时 23．（2024·四川南充）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 24．（2025·四川南充）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 25．（2025·黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 命题点4 一元一次不等式（组）的实际应用 1、不等式（组）的实际应用题的解题步骤 2、实际问题中常见的关键词与不等号的对应表 常见关键词 符号 大于、多于、超过、高于 小于、少于、不足、低于 至少、不少于、不低于、不小于 最多、不高于、不大于、不超过 角度1 不等式的实际应用 26．（2025·四川宜宾）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 27．（2024·山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 角度2 不等式（组）与方程结合的实际应用 28．（2025·四川成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元 (2)该游客最多购买11个A种挂件 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； （2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 29．（2025·辽宁）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 30．（2025·贵州）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶 (2)至少需要安装3条A型生产线 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，根据“4个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小取， 答：至少需要安装3条A型生产线． 31．（2025·湖北）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】(1)购买A种水果2千克，B种水果1千克 (2)①；② 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． （2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 32．（2025·四川泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 1．（2025·山东济南）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 2．（2024·贵州）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，数轴上的点把数在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示，“”，“”要用空心圆点表示，向右画；向左画，据此可得答案． 【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示如下所示： ， 故选：C． 3．（2024·河南）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 4．（2024·山东）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、代入消元法 【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， 根据1班班长的对话，得，， ∴ ∴， 解得， 故①③正确； 根据2班班长的对话，得，， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：D． 5．（2023·湖北鄂州）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2023 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集是， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2023·四川遂宁）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（2025·江苏常州）若则 0．（填、或）． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·青海）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 9．（2023·湖北荆州）如图，在实数范围内规定新运算“”，其规则是：ab=2a﹣b．已知不等式xk≥1的解集在数轴上，则k的值是 ．    【答案】﹣3 【知识点】求一元一次不等式的解集、新定义下的实数运算 【分析】根据新运算法则得到不等式2x-k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值． 【详解】根据图示知，已知不等式的解集是x⩾−1. 则2x−1⩾−3， ∵x△k=2x−k⩾1， ∴2x−1⩾k且2x−1⩾−3， ∴k=−3. 故答案是：k=−3. 10．（2025·山东淄博）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 11．（2025·陕西）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 12．（2025·西藏）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为． 在数轴上表示为： 13．（2025·山东济南）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 14．（2024·安徽）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 15．（2023·四川眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 16．（2025·四川眉山）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 17．（2025·四川泸州）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、求不等式组的解集 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 18．（2024·湖南）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 19．（2025·四川内江）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 20．（2025·山东东营）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【知识点】分式方程的经济问题、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 21．（2024·黑龙江牡丹江）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 (2)有3种方案，详见解析 (3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可； （3）根据（2）中三种方案分别求解即可； 【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元， 则， 解得：， 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱， 则， 解得：， ∵为正整数， ∴， 故该商店有三种进货方案， 分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱； （3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时： 根据题意得， 解得：； 当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时： 根据题意得， 解得：（是小数，不符合要求）； 当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时： 根据题意得， 解得：（不符合要求）； 故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 2．设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． 6．某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（    ） A． B． C． D． 7．已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 8．不等式的最大整数解是 ． 9．某次知识竞赛共有30道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣4分，若小刚希望总得分不少于80分，则他至少需答对 道题． 10．若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 11．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 12．解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 13．解答题： (1)计算：； (2)解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 14．今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 15．某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元． (1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？ (2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明． 16．若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 17．如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 18．对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19．不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 20．若是不等式组的整数解，解关于的分式方程． 21．某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人． (1)求该旅行团中成人是多少人？ (2)因游玩时间充足，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童． ①若由成人人和少年人带队，则当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简），当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简）； ②旅行团经过测算，只有1200元经费剩余可用于购买景区B门票游玩，在经费使用不超额的前提下，如果安排11个成人和尽可能多的若干个少年带队游玩，请问这一次游玩实际购票费用是多少？ 22．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第四讲 一元一次不等式(组)及其应用 教材知识 中考考点 课标要求 一元一次不等式(组)及其解法 1.不等式的性质 结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质;能用不等式的基本性质对不等式进行变形 整式及其运算 2.一元一次不等式(组)及其解法及其解集表示 能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集 3.一元一次不等式(组)的含参问题 一元一次不等式的实际应用 4.一元一次不等式的实际应用 能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的实际问题 命题点1 不等式的性质 1、不等式的概念:用符号 < 或 > 表示大小关系的式子. 2、不等式的解:使不等式成立的未知数的值. 3、不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集. 4、不等式的性质及其应用 类别 具体内容 表示 应用 性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变 如果,那么 解不等式中的移项 性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 如果,,那么 解不等式中的去分母(或系数化为1) 性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变 如果,,那么 解不等式中的去分母(或系数化为1) 1.(2024 广东广州)若,则( ) A. B. C. D. 2.(2024 江苏苏州)若,则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 3.(2025 广西)有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有a克水、b克水,,都加入c克水后,下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是( ) A. B. C. D. 命题点2 一元一次不等式(组)的解法及解集表示 (1) 一元一次不等式的解法及解集表示 1、定义:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式. 2、一元一次不等式的解法 一般步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1.(注意不等号的方向是否改变) 范例:解不等式: 步骤 操作方法 依据 示例 去分母 不等式两边同乘各分母的最小公倍数 不等式的性质2 方程两边同乘6得: 去括号 括号前的数乘括号内的每一项 乘法分配律或去括号法则 移项 把含有未知数的项移到不等式一边,常数项移到另一边 不等式的性质1 合并同类项 把不等式化成的形式 合并同类项法则 系数化为1 不等式两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集 不等式的性质2或性质3 3、一元一次不等式的解集 解集 在数轴上表示 总结 方向:小于向左,大于向右; 边界: “”“”用实心圆点, “”“”用空心圆点. (二)一元一次不等式组的解法及解集表示 1、定义:一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组. 2、解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集. 不等式组 在数轴上表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小取不了 3、一元一次不等式组的解法:先分别求出每个一元一次不等式的解集,再求各解集的公共部分。 范例:解不等式组 步骤 示例 解每个不等式 解不等式①,得;解不等式②,得 在数轴上表示各个不等式的解集,并确定公共部分 在数轴上表示每个不等式的解集为: 写出不等式组的解集 不等式组的解集为: 角度一:一元一次不等式的解法及解集表示 4.(2025 吉林)不等式的解集为( ) A. B. C. D. 5.(2025 福建)不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 6.(2024 河北)下列数中,能使不等式成立的x的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2024 广东)关于x的不等式组中,两个不等式的解集如图所示,则这个不等式组的解集是 . 8.(2024 青海)请你写出一个解集为的一元一次不等式 . 角度二:一元一次不等式组的解法及解集表示 9.(2025 四川宜宾)满足不等式组的解是( ) A. B. C.1 D.3 10.(2025 吉林长春)下列不等式组无解的是( ) A. B. C. D. 11.(2025 内蒙古)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 12.(2024 内蒙古包头)若,,这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 13.(2025 浙江)不等式组的解集是 . 14.(2025 上海)不等式组的解集为 . 15.(2025 河北)(1)解不等式,并在如图所给的数轴上表示其解集; (2)解不等式,并在如图所给的数轴上表示其解集; (3)直接写出不等式组的解集. 16.(2025 甘肃兰州)解不等式组:. 17.(2025 四川成都)(1)计算:. (2)解不等式组: 角度三:不等式(组)的特殊解 18.(2024 山东)写出满足不等式组的一个整数解 . 19.(2025 黑龙江大庆)不等式组的整数解有 个. 20.(2024 山东烟台)关于的不等式有正数解,的值可以是 (写出一个即可). 21.(2025 江苏扬州)解不等式组,并写出它的所有负整数解. 22.(2025 重庆)求不等式组:的所有整数解. 命题点3 不等式(组)含参问题 1、不等式(组)含参问题的解题步骤: 2、范例解读: (1) 的解集是时, (2) 无解时; (3) 有两个整数解时, (4) 有两个整数解时 23.(2024 四川南充)若关于x的不等式组的解集为,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 24.(2025 四川南充)不等式组的解集是,则的取值范围是 . 25.(2025 黑龙江)关于x的不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是 . 命题点4 一元一次不等式(组)的实际应用 1、不等式(组)的实际应用题的解题步骤 2、实际问题中常见的关键词与不等号的对应表 常见关键词 符号 大于、多于、超过、高于 小于、少于、不足、低于 至少、不少于、不低于、不小于 最多、不高于、不大于、不超过 角度1 不等式的实际应用 26.(2025 四川宜宾)采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛,共有20道题,对每一道题,答对得10分.答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分,则他至少要答对的题数是( ) A.14道 B.13道 C.12道 D.11道 27.(2024 山西)为加强校园消防安全,学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个,干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元,则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个? 角度2 不等式(组)与方程结合的实际应用 28.(2025 四川成都)2025年8月7日至17日,第12届世界运动会将在成都举行,与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A,B两种吉祥物挂件,已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的,用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个. (1)求每个A种挂件的价格; (2)某游客计划用不超过600元购买A,B两种挂件,且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个,求该游客最多购买多少个A种挂件. 29.(2025 辽宁)小张计划购进两种文创产品,在“文化夜市”上进行销售.已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元,购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元. (1)求种文创产品每件的进价; (2)小张决定购进A,B两种文创产品共100件,且总费用不超过550元,那么小张最多可以购进多少件种文创产品? 30.(2025 贵州)贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”,这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间.为满足市场需求,某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知,同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共,同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共. (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨? (2)为扩大生产规模,若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条,该车间接到一个订单,要求4个月生产抹茶不少于,至少需要安装多少条A型生产线? 31.(2025 湖北)某商店销售A,B两种水果.A水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克. (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果各买了多少千克? (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不超过50元.设小明买A水果千克. ①若这两种水果按标价出售,求的取值范围; ②小明到这家商店后,发现两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折;一次购买B水果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折.(注:“打七五折”指按标价的出售.)若小明合计付款48元,求的值. 32.(2025 四川泸州)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率; (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品. 1.(2025 山东济南)已知,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 2.(2024 贵州)不等式的解集在数轴上的表示,正确的是( ) A. B. C. D. 3.(2024 河南)下列不等式中,与组成的不等式组无解的是( ) A. B. C. D. 4.(2024 山东)根据以下对话, 给出下列三个结论: ①1班学生的最高身高为; ②1班学生的最低身高小于; ③2班学生的最高身高大于或等于. 上述结论中,所有正确结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 5.(2023 湖北鄂州)已知不等式组的解集是,则( ) A.0 B. C.1 D.2023 6.(2023 四川遂宁)若关于x的不等式组的解集为,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.(2025 江苏常州)若则 0.(填、或). 8.(2025 青海)在平面直角坐标系中,点在第三象限,则的取值范围是 . 9.(2023 湖北荆州)如图,在实数范围内规定新运算“”,其规则是:ab=2a﹣b.已知不等式xk≥1的解集在数轴上,则k的值是 . 10.(2025 山东淄博)爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书.下面是他的三个同学猜测该书价格的对话: 小胡在听到他们的对话后说:“你们三个都猜错了.”则这本书的价格(元)所在的范围是 . 11.(2025 陕西)解不等式,把它的解集表示在如图所示的数轴上. 12.(2025 西藏)解不等式组:并把解集在数轴上表示出来. 13.(2025 山东济南)解不等式组并写出它的所有整数解. 14.(2024 安徽)已知实数a,b满足,,则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 15.(2023 四川眉山)关于x的不等式组的整数解仅有4个,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 16.(2025 四川眉山)若关于x的不等式组至少有两个正整数解,且关于x的分式方程的解为正整数,则所有满足条件的整数a的值之和为( ) A.8 B.14 C.18 D.38 17.(2025 四川泸州)对于任意实数,定义新运算:,给出下列结论:①;②若,则;③;④若,则的取值范围为.其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 18.(2024 湖南)在平面直角坐标系中,对于点,若x,y均为整数,则称点P为“整点”.特别地,当(其中)的值为整数时,称“整点”P为“超整点”,已知点在第二象限,下列说法正确的是( ) A. B.若点P为“整点”,则点P的个数为3个 C.若点P为“超整点”,则点P的个数为1个 D.若点P为“超整点”,则点P到两坐标轴的距离之和大于10 19.(2025 四川内江)对于x、y定义了一种新运算G,规定.若关于a的不等式组恰好有3个整数解,则实数P的取值范围是 . 20.(2025 山东东营)《哪吒2魔童闹海》票房大卖,周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元,购进B款哪吒玩偶的金额是1600元,购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个,A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍. (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元? (2)为满足消费者需求,在A、B两款玩偶单价不变的条件下,该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个,B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍,且总金额不超过1100元,问有多少种进货方案? 21.(2024 黑龙江牡丹江)牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”,年总产量占全国总产量的以上,黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位.某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇,购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元,购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元.请解答下列问题: (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元? (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱,特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元,特级干品猴头菇每箱售价定为180元,全部销售后,获利不少于1560元,其中干品猴头菇不多于40箱,该商店有哪几种进货方案? (3)在(2)的条件下,购进猴头菇全部售出,其中两种猴头菇各有1箱样品打a(a为正整数)折售出,最终获利1577元,请直接写出商店的进货方案. 第1页,共2页 第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $ 1．如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意； ，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B正确，不符合题意； ，不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，C正确，不符合题意； ，D错误，符合题意； 故选：D． 2．设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了整式的加减运算，配方法的应用，偶次方的非负性，掌握整式的加减运算法则，配方法，偶次方的非负性是解题的关键． 通过作差法和配方法比较与的大小，即可解答． 【详解】，， ， ， ， ，即． 故选：A． 3．不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式及在数轴上表示不等式解集的能力，先移项合并同类项，再将不等式系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 【详解】解： ， 解集在数轴上表示如下： 故选C 4．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，各象限内点的坐标的符号特征，根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得，解不等式组求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中的点在第二象限， ∴， 解得：． 故选：A． 5．解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题重点考查一元一次不等式组的解集在数轴上的表示方法，理解数轴上实心点表示包含端点（等号）、空心点表示不包含端点（严格不等式），并能从数轴解集反推不等式组是解题的关键． 根据数轴表示，逐选项判断即可． 【详解】 根据数轴表示，该不等式组的解集表示为， 对于A，，解得： ，不满足题意； 对于B，，解得：，满足题意； 对于C，，解得：，不满足题意； 对于D，，解得：，不满足题意； 故选：B． 6．某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了列不等式．打折销售，利润率不能低于，据此列不等式即可． 【详解】解：为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，则 故选：B 7．已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了．利用求不等式解集的方法判定即可． 【详解】解：A．根据“同小取小”的原则，原不等式组的解集为，故有解，不符合题意； B．根据“大大小小无解了”的原则，原不等式组无解，符合题意； C．根据“大小小大中间找”的原则，原不等式的解集为，故有解，不符合题意； D．根据“同大取大”的原则，原不等式组的解集为．故有解，不符合题意； 故选：B． 8．不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查的是解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的最大整数解是， 故答案为：． 9．某次知识竞赛共有30道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣4分，若小刚希望总得分不少于80分，则他至少需答对 道题． 【答案】15 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用． 根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设要答对道，由题意可得， 解得， 根据必须为整数，故取最小整数15， 故答案为：15． 10．若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解的确定，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求解不等式组中的两个不等式，得到解集，再根据该解集恰有三个整数解（即0、1、2），确定的范围，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式：， ， ， ， ， ， 解第二个不等式：， ， ， ， 因此，不等式组的解集为：， 由于该解集恰有三个整数解，即整数解为0、1、2， 故需满足： 解得：， 故答案为：． 11．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤，进行计算得出不等式的解集为，再把在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：； 数轴上表示如图： 12．解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键． 先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如图： 13．解答题： (1)计算：； (2)解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】(1)2 (2)，原不等式组的所有整数解为0，1，2 【知识点】求不等式组的解集、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算和解不等式组，熟练掌握负指数幂，零次幂和特殊角的三角函数值，不等式组的解法是解题的关键， （1）利用绝对值，负指数幂，零次幂和特殊角的三角函数值，计算即可得到答案； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再求它们的交集即可得到答案，再利用不等组的解即可得到这个不等式组的所有整数解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的所有整数解为0，1，2． 14．今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 【答案】(1)A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元 (2)至少需要带9个A款陶瓷工艺品 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个A款陶瓷工艺品，求出总销售额，根据总销售额不低于1000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元， ∵第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元， ∴， 解得：， ∴A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元； （2）解：设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个B款陶瓷工艺品， 总销售额为元， ∵总销售额不低于1000元， ∴， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为9， 答：保证总销售额不低于1000元，至少需要带9个A款陶瓷工艺品． 15．某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元． (1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？ (2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明． 【答案】(1)售出精装草莓200盒，则简装草莓100盒 (2)分装精装草莓1盒，则简包草莓23盒 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，解答即可； （2）设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，，且m是正整数，求得正整数解判定解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得， 解得， 答：售出精装草莓200盒，则简装草莓盒． （2）解：设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，得 ， 解得， ∵m是正整数， ∴， ∴取最大整数为， 故存在符合要求的分装方案，分装精装草莓1盒，简装草莓23盒． 16．若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、代入消元法 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，根据已知条件结合不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A：由，两式相加，得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加，得，正确，不符合题意； C：由得，代入，可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入，可得，即，正确，不符合题意； 故选C 17．如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得m的取值范围是解本题的关键． 根据已知不等式的解集确定出m的范围，再由分式方程解为正数，确定出m的范围，进而确定出满足题意整数m的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得， 不等式组的解集为， ， 分式方程去分母，得：， 解得：， 分式方程的解为正数， ，且， 解得：且， 且， 符合条件的整数m的值有0，1，3，4这4个， 这4个整数的和为8， 故选：C． 18．对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为： ，解得：， ∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3， ∴ 故选：B． 19．不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 20．若是不等式组的整数解，解关于的分式方程． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 由不等式组有解，确定出m的范围，继而求出，将代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出x的值并检验即可． 【详解】解：不等式组整理得 ， 解得 ， ∵m为整数， ∴， 将代入，得 ， 去分母得 ， 解得 ， 经检验，是分式方程的解． 21．某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人． (1)求该旅行团中成人是多少人？ (2)因游玩时间充足，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童． ①若由成人人和少年人带队，则当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简），当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简）； ②旅行团经过测算，只有1200元经费剩余可用于购买景区B门票游玩，在经费使用不超额的前提下，如果安排11个成人和尽可能多的若干个少年带队游玩，请问这一次游玩实际购票费用是多少？ 【答案】(1)17人 (2)①，；②1180元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）设少年有x人，根据题意列出方程，解之可得；   （2）①时，儿童全部免费，用成人的费用加上少年的费用可得；时，用成人的费用加上少年的费用，再加个儿童的费用即可； ②直接列不等式可以求得相应的方案以及花费，即可解答本题． 【详解】（1）解：设少年有x人， 由题意可得：， 解得：， 人， ∴该旅行团中成人是17人； （2）①当时，所需门票的总费用是；   当时，所需门票的总费用是；   故答案为：，； ②设可以安排成人人，少年人带队， 若，则费用为，得， 的最大值是1，此时， 实际购票费用为元； 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的知识解答． 22．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【答案】(1)中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； (2) 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，根据小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入=元、总成本元，根据总利润=总收入−总成本元，依题意列不等式即可作答． 【详解】（1）解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴， 解并检验得：， 大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2）解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本 （元）． 第一阶段销售： 中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $