第12章 平面图形的认识（知识清单）数学新教材青岛版七年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了“平面图形的认识”单元内容，涵盖三角形（概念、分类、性质及主要线段）、多边形（内角和与外角和）、圆（概念及点与圆位置关系）三大知识范畴，搭建了从基础概念到性质应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点专项突破”和“例题-练习题”联动设计呈现知识体系，如将“三角形分类标准理解不清”等6个易错点标注错误类型及注意事项，配典型例题强化几何直观与推理意识。练习题覆盖选择、填空、解答题，不同层次学生可针对性训练，教师可直接用于课堂复习或作业设计，提升教学效率。

第12章 平面图形的认识 1.三角形的有关概念 1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 2）组成三角形的线段叫作三角形的边；相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点；相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。 3）常用符号“△”表示三角形，顶点是A，B，C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。 4）边BC，CA，AB分别叫作∠A，∠B，∠C的对边；有时也用a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边。 2.三角形的分类 1）按角的大小分类：三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 2）直角三角形ABC记作Rt△ABC；∠C=90°时，∠C的对边AB称为斜边，AC，BC称为直角边。 3）按边的相等关系分类：三边都不相等的三角形和等腰三角形。 4）有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；相等的边AB，AC称为等腰三角形的腰，另一边BC称为底边，两腰的夹角∠A称为顶角，两腰和底边的夹角∠B，∠C称为底角。 5）三条边都相等的三角形叫作等边三角形，也称为正三角形。 6）等边三角形是特殊的等腰三角形。 3.三角形的内角和 1）三角形的内角和等于180°。 2）直角三角形的两个锐角互余。 4.三角形的外角 1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。 2）三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角。 3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 5.三角形三边关系 1）三角形任意两边之和大于第三边。 2）三角形任意两边之差小于第三边。 6.三角形中的主要线段 1）三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 2）连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线。 3）三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 4）三角形的三条中线交于一点，这点叫作三角形的重心。 7.多边形的有关概念 1）同一平面内，若干条线段首尾顺次相接，且有公共端点的线段不在同一条直线上，这样得到的图形叫作多边形。 2）组成多边形的各条线段叫作多边形的边；相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点；相邻两条边所组成的角叫作多边形的内角。 3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 4）由四条边组成的多边形叫作四边形；由五条边组成的多边形叫作五边形；由n条边组成的多边形叫作n边形（n是大于2的整数）。 5）各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。 8.多边形的内角和与外角和 1）n边形的内角和等于(n-2)·180°。 2）n边形的外角和等于360°。 3）正n边形的每一个内角等于(n-2)·180°/n，每一个外角等于360°/n。 9.圆的有关概念 1）在平面内，线段OA绕固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线叫作圆，点O叫作圆的圆心。 2）以点O为圆心的圆记作☉O，读作“圆O”。 3）连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，用“r”表示。 4）连接圆上任意两点的线段叫作弦；经过圆心的弦叫作直径。 5）圆上任意两点间的部分叫作弧；直径把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。 6）一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫作扇形。 7）半径相等的圆叫作等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。 8）圆心相同、半径不相等的圆叫作同心圆。 10.点与圆的位置关系 1）圆上的点：到圆心的距离等于半径。 2）圆内的点：到圆心的距离小于半径。 3）圆外的点：到圆心的距离大于半径。 易错点1 对三角形分类标准理解不清 错误：按角分类时只看一个角，忽视“最大角”；按边分类时把等腰三角形与等边三角形并列，忽略等边三角形是特殊的等腰三角形；或在复杂图形中找错三角形的边、角、顶点。 注意：三角形按角分三类（锐角、直角、钝角）的关键是看最大角；按边分两类（三边都不相等、等腰），等边三角形是特殊的等腰三角形；判断前先确认研究的是哪个三角形。 例题1 下列说法正确的是（　　） A．有一个角是锐角的三角形一定是锐角三角形　　　　 B．等边三角形不是等腰三角形 C．直角三角形只能有一个直角　　　　 D．三角形按边可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形三类 【答案】C 【详解】A 错误，必须三个角都是锐角才是锐角三角形； B 错误，等边三角形是特殊的等腰三角形； C 正确，三角形内角和为180°，直角三角形只能有一个直角； D 错误，按边只分两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形，等边三角形属于等腰三角形． 故选：C． 易错点2 三角形内角和与外角定理应用错误 错误：求三角形外角时，误用“外角等于任意两个内角之和”，或忽略外角与相邻内角互补；计算时遗漏三角形内角和为180°的隐含条件。 注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角与相邻内角互为邻补角，和为180°；遇到角度关系要画图标出已知角与未知角。 例题2 如图，在中，为延长线一点，若，，则________． 【答案】 【分析】根据平角的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的大小． 【详解】解：， ， ． 易错点3 三角形三边关系与等腰三角形边长讨论漏解 错误：已知等腰三角形两边长求周长时，只考虑其中一种情况（腰或底），未验证三条线段能否构成三角形；或错误地认为“两边之和大于第三边”中的“两边”任意即可，忽视需取较小两边之和。 注意：等腰三角形已知两边时，要分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况，并都用“两小边之和大于最大边”检验；三角形任意两边之差小于第三边。 例题3 已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则它的周长为（　　） A．17 cm　　　　 B．22 cm C．17 cm或22 cm　　　　 D．无法确定 【答案】B 【详解】若腰长为4 cm，则三边为4，4，9，因为4+4＜9，不能构成三角形； 若腰长为9 cm，则三边为9，9，4，9+4＞9，能构成三角形，周长为9+9+4=22 cm． 故选：B． 易错点4 三角形角平分线、中线、高线概念混淆 错误：把三角形的角平分线画成射线而不是线段；认为中线就是“把角平分”；画高时只画垂直线段到边的内部，忽略钝角三角形有两条高在三角形外部；或把“高”画成到对边延长线的垂线段但未注明。 注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段；角平分线平分内角，中线平分对边；高是从顶点向对边所在直线作的垂线段，锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高在直角边上，钝角三角形有两条高在外部。 例题4 下列关于三角形高的说法正确的是（　　） A．任意三角形的三条高都在三角形内部　　　　 B．钝角三角形只有一条高 C．三角形的高是顶点向对边所在直线作的垂线段　　　　 D．直角三角形的三条高都在三角形外部 【答案】C 【详解】A 错误，钝角三角形有两条高在外部； B 错误，任意三角形都有三条高； C 正确，符合高的定义； D 错误，直角三角形的两条直角边就是两条高，在三角形边上． 故选：C． 易错点5 多边形内角和与外角和公式运用错误 错误：求n边形内角和时误用公式n·180°，忘记减去2；认为多边形外角和随边数增加而增大，忽略任意多边形外角和恒为360°；计算正多边形每个内角时混淆内角和公式。 注意：n边形内角和=(n-2)·180°；任意凸多边形外角和等于360°；正n边形每个内角：，每个外角度数为。 例题5 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6　　　　B．8 C．10　　　　D．12 【答案】B 【详解】设边数为n． ∵ 多边形外角和为360°，∴ 内角和=3×360°=1080°． 由(n-2)·180°=1080°，得n-2=6，∴ n=8． 故选：B． 易错点6 圆的有关概念与点圆位置关系判断错误 错误：认为“过圆心的线段就是直径”，忽视直径两端点必须在圆上；混淆优弧、劣弧与半圆；判断点与圆位置关系时比较的是到圆心距离与半径，却误用直径；或把等圆与同心圆混为一谈。 注意：直径是经过圆心的弦，两个端点都在圆上；优弧大于半圆，劣弧小于半圆，半圆等于180°；点P到圆心O的距离d与半径r比较：d＜r在圆内，d=r在圆上，d＞r在圆外；等圆是半径相等的圆，同心圆是圆心相同、半径不等的圆。 例题6 下列说法正确的是（　　） A．过圆心的线段一定是直径　　　　B．长度相等的两条弧是等弧 C．若点P到圆心O的距离为3 cm，圆的半径为2 cm，则点P在圆上　　　　D．半径相等的两个圆是等圆 【答案】D 【详解】A 错误，过圆心的线段两端点不一定在圆上； B 错误，等弧必须在同圆或等圆中且能重合； C 错误，3＞2，点P在圆外； D 正确，半径相等的圆叫做等圆． 故选：D． 1．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角，即，根据，等量代换，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．一副三角板按如图所示的方式摆放，顶点A，E，C，F在同一条直线上，，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再用外角解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．如果一个等腰三角形的两边分别为3和7，那么这个三角形的周长是（ ） A．13 B．15 C．19 D．17 【答案】D 【分析】题目未明确腰和底，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，舍去不符合题意的情况后再计算周长． 【详解】解：①若3为腰长，7为底边长， ∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 该三角形不存在，舍去这种情况； ②若7为腰长，3为底边长， ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 这个三角形的周长为． 4．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型． 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 5．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 6．下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和是否大于最长边，若满足则能组成三角形，反之不能． 【详解】解：选项A：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴能组成三角形． 选项B：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴不能组成三角形． 选项C：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴不能组成三角形． 选项D：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴不能组成三角形． 综上，能组成三角形的是． 7．已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合为正奇数确定符合条件的的个数，即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系可得，， 整理得， ∵为奇数， ∴满足条件的奇数只有，共个，即这样的三角形有个． 8．等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（     ） A．8 B． C．8或 D．8或或4 【答案】D 【分析】分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，计算出底边长后根据三角形三边关系验证，即可得到结果． 【详解】解：若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若，即已知两边都是腰， 解得，此时两腰长均为， 则底边长为， 三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 综上，底边长度可以为或或． 9．如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 10．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 11．下列说法正确的是（    ） A．三角形的三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 C．在中，，则为钝角三角形 D．三条线段长度分别为，，，则这三条线段可以组成一个三角形 【答案】B 【分析】根据三角形的高线，中线，内角和定理，三角形的三边关系逐一分析即可. 【详解】解：选项A：锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，钝角三角形三条高线所在直线的交点在三角形外部，直角三角形三条高线的交点在直角顶点，因此A错误； 选项B：根据三角形重心的定义，三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心，因此B正确； 选项C：∵ ，三角形内角和为， ∴ 最大角，为直角三角形，因此C错误； 选项D：∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴ 这三条线段不能组成三角形，因此D错误. 12．数学活动课上，老师拿出一张四边形纸片，其中两个内角度数相同，结合图中给出的另外两个角的度数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形内角和定理，四边形的四个内角之和为，结合题意列出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：四边形的内角和为 ． 13．一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为（     ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】D 【分析】本题用到任意多边形外角和恒为，n边形内角和公式为，根据题目给出的数量关系列方程即可求解边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和为，n边形内角和为，且该多边形外角和是内角和的， ∴列方程得 ， 解得 ， 因此这个多边形的边数为9． 14．如图，在五边形中，，点在边上，，则一定有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由五边形内角和及题中条件得到①，再由三角形内角和及题中条件得到②，将②代入①化简即可确定D正确． 【详解】解：在五边形中，， ， ， 则， ①， 在中，，，则②， 将②代入①得， 即一定有． 15．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 16．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 17．如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念． 直接根据半径等于直径的一半作答即可． 【详解】解：∵分别以线段、为直径作圆，为圆心，， ∴． 故选：C． 18．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 19．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 20．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 【答案】C 【详解】解：∵点到圆心的距离大于半径， ∴该点在圆外． 21．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在外 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 22．若圆O的直径为8，的长为4，则点P在圆O________（填“上”或“内”或“外”） 【答案】上 【分析】根据圆的直径求出圆的半径，再根据的长与半径的关系，求解即可． 【详解】解：由圆的直径为，可得圆的半径， 由可得， 根据点与圆的位置关系，当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上， 则答案为：上 23．正五边形每个内角的度数为 _____． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和为，正五边形每个外角相等，先求出正五边形每个外角的度数，再利用邻补角的性质计算得到每个内角的度数． 【详解】正五边形的每个外角都相等，任意多边形的外角和为， 正五边形每个外角的度数为． 多边形的内角与相邻外角互为邻补角， 正五边形每个内角的度数为． 24．一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是______________． 【答案】或七 【分析】设该多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得， 解得 ． 25．将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点、、、四点共线，为公共顶点．则________．（正多边形的各个内角相等） 【答案】/75度 【详解】解：由题意，， ∴. 26．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 27．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，， ，则剪去的这个角的度数为______． 【答案】或 【分析】根据题意分别画出图形，根据三角形和四边形的内角和进行解答即可． 【详解】解：在四边形中，内角和等于． ∵，， ， ∴． 若剪去的三角形与边 重合，如图（1）所示， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（2）所示， ∴． 综上所述，剪去的这个角的度数是或． 28．每个角都是的多边形是________边形． 【答案】 六/6 【分析】设多边形边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为 根据多边形内角和定理，得 整理得 解得 ∴这个多边形是六边形． 29．已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合为奇数即可求出的值． 【详解】解：根据三角形三边关系得 即. 又因为的长度为奇数， 所以． 30．如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 31．完成下列题目 (1)已知一个三角形的三边长为a、b、c，若，，求c的取值范围； (2)求出下列图形中x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到第三边的取值范围，即可解答． （2）根据四边形内角和为，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：，，分别是三角形的三边长，且，， 三角形第三边长的取值范围为， 即； （2）解：依题意， 解得： 32．如图，是的直径，是中非直径的任意一条弦，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边；连接，，再根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 连接，，如图所示， ∵， 又∵，∴． 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 平面图形的认识 1.三角形的有关概念 1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作__________. 2）组成三角形的线段叫作三角形的__________；相邻两__________的公共端点叫作三角形的__________；相邻两__________组成的角叫作三角形的__________，简称三角形的角。 3）常用符号“△”表示三角形，顶点是A，B，C的三角形记作__________，读作“三角形ABC”。 4）边BC，CA，AB分别叫作∠A，∠B，∠C的__________；有时也用a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的__________。 2.三角形的分类 1）按角的大小分类：三个角都是锐角的三角形叫作__________；有一个角是直角的三角形叫作__________；有一个角是钝角的三角形叫作__________。 2）直角三角形ABC记作__________；∠C=90°时，∠C的对边AB称为__________，AC，BC称为__________。 3）按边的相等关系分类：三边都不相等的三角形和__________。 4）有两条边相等的三角形叫作等__________三角形；相等的边AB，AC称为等__________三角形的__________，另一边BC称为__________，两__________的夹角∠A称为__________，两__________和__________的夹角∠B，∠C称为__________。 5）三条边都相等的三角形叫作__________，也称为__________。 6）等边三角形是特殊的等腰三角形。 3.三角形的内角和 1）三角形的内角和等于__________。 2）直角三角形的两个锐角__________。 4.三角形的外角 1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作__________。 2）三角形的一个外角与相邻的内角互为__________。 3）三角形的一个外角等于与它__________的两个内角的和。 5.三角形三边关系 1）三角形任意两边之和__________第三边。 2）三角形任意两边之差__________第三边。 6.三角形中的主要线段 1）三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的__________。 2）连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的__________。 3）三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫作三角形的__________，简称三角形的__________。 4）三角形的三条中线交于一点，这点叫作三角形的__________。 7.多边形的有关概念 1）同一平面内，若干条线段首尾顺次相接，且有公共端点的线段不在同一条直线上，这样得到的图形叫作__________。 2）组成多边形的各条线段叫作多边形的__________；相邻两条边的公共端点叫作多边形的__________；相邻两条边所组成的角叫作多边形的__________。 3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的__________。 4）由四条边组成的多边形叫作__________；由五条边组成的多边形叫作__________；由n条边组成的多边形叫作__________（n是大于2的整数）。 5）各边相等、各角也相等的多边形叫作__________。 8.多边形的内角和与外角和 1）n边形的内角和等于__________。 2）n边形的外角和等于__________。 3）正n边形的每一个内角等于__________，每一个外角等于__________。 9.圆的有关概念 1）在平面内，线段OA绕固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线叫作__________，点O叫作圆的__________。 2）以点O为圆心的圆记作__________，读作“圆O”。 3）连接圆心和圆上任意一点的线段叫作__________，用“r”表示。 4）连接圆上任意两点的线段叫作__________；经过圆心的弦叫作__________。 5）圆上任意两点间的部分叫作__________；直径把圆分成两条弧，每一条弧都叫作__________；大于半圆的弧叫作__________，小于半圆的弧叫作__________。 6）一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫作__________。 7）半径相等的圆叫作__________；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作__________。 8）圆心相同、半径不相等的圆叫作__________。 10.点与圆的位置关系 1）圆上的点：到圆心的距离__________半径。 2）圆内的点：到圆心的距离__________半径。 3）圆外的点：到圆心的距离__________半径。 易错点1 对三角形分类标准理解不清 错误：按角分类时只看一个角，忽视“最大角”；按边分类时把等腰三角形与等边三角形并列，忽略等边三角形是特殊的等腰三角形；或在复杂图形中找错三角形的边、角、顶点。 注意：三角形按角分三类（锐角、直角、钝角）的关键是看最大角；按边分两类（三边都不相等、等腰），等边三角形是特殊的等腰三角形；判断前先确认研究的是哪个三角形。 例题1 下列说法正确的是（　　） A．有一个角是锐角的三角形一定是锐角三角形　　　　 B．等边三角形不是等腰三角形 C．直角三角形只能有一个直角　　　　 D．三角形按边可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形三类 易错点2 三角形内角和与外角定理应用错误 错误：求三角形外角时，误用“外角等于任意两个内角之和”，或忽略外角与相邻内角互补；计算时遗漏三角形内角和为180°的隐含条件。 注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角与相邻内角互为邻补角，和为180°；遇到角度关系要画图标出已知角与未知角。 例题2 如图，在中，为延长线一点，若，，则________． 易错点3 三角形三边关系与等腰三角形边长讨论漏解 错误：已知等腰三角形两边长求周长时，只考虑其中一种情况（腰或底），未验证三条线段能否构成三角形；或错误地认为“两边之和大于第三边”中的“两边”任意即可，忽视需取较小两边之和。 注意：等腰三角形已知两边时，要分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况，并都用“两小边之和大于最大边”检验；三角形任意两边之差小于第三边。 例题3 已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则它的周长为（　　） A．17 cm　　　　 B．22 cm C．17 cm或22 cm　　　　 D．无法确定 易错点4 三角形角平分线、中线、高线概念混淆 错误：把三角形的角平分线画成射线而不是线段；认为中线就是“把角平分”；画高时只画垂直线段到边的内部，忽略钝角三角形有两条高在三角形外部；或把“高”画成到对边延长线的垂线段但未注明。 注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段；角平分线平分内角，中线平分对边；高是从顶点向对边所在直线作的垂线段，锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高在直角边上，钝角三角形有两条高在外部。 例题4 下列关于三角形高的说法正确的是（　　） A．任意三角形的三条高都在三角形内部　　　　 B．钝角三角形只有一条高 C．三角形的高是顶点向对边所在直线作的垂线段　　　　 D．直角三角形的三条高都在三角形外部 易错点5 多边形内角和与外角和公式运用错误 错误：求n边形内角和时误用公式n·180°，忘记减去2；认为多边形外角和随边数增加而增大，忽略任意多边形外角和恒为360°；计算正多边形每个内角时混淆内角和公式。 注意：n边形内角和=(n-2)·180°；任意凸多边形外角和等于360°；正n边形每个内角：，每个外角度数为。 例题5 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6　　　　B．8 C．10　　　　D．12 易错点6 圆的有关概念与点圆位置关系判断错误 错误：认为“过圆心的线段就是直径”，忽视直径两端点必须在圆上；混淆优弧、劣弧与半圆；判断点与圆位置关系时比较的是到圆心距离与半径，却误用直径；或把等圆与同心圆混为一谈。 注意：直径是经过圆心的弦，两个端点都在圆上；优弧大于半圆，劣弧小于半圆，半圆等于180°；点P到圆心O的距离d与半径r比较：d＜r在圆内，d=r在圆上，d＞r在圆外；等圆是半径相等的圆，同心圆是圆心相同、半径不等的圆。 例题6 下列说法正确的是（　　） A．过圆心的线段一定是直径　　　　B．长度相等的两条弧是等弧 C．若点P到圆心O的距离为3 cm，圆的半径为2 cm，则点P在圆上　　　　D．半径相等的两个圆是等圆 1．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．一副三角板按如图所示的方式摆放，顶点A，E，C，F在同一条直线上，，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．如果一个等腰三角形的两边分别为3和7，那么这个三角形的周长是（ ） A．13 B．15 C．19 D．17 4．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 5．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 6．下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（     ） A．8 B． C．8或 D．8或或4 9．如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 10．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 11．下列说法正确的是（    ） A．三角形的三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 C．在中，，则为钝角三角形 D．三条线段长度分别为，，，则这三条线段可以组成一个三角形 12．数学活动课上，老师拿出一张四边形纸片，其中两个内角度数相同，结合图中给出的另外两个角的度数，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为（     ） A．六 B．七 C．八 D．九 14．如图，在五边形中，，点在边上，，则一定有（     ） A． B． C． D． 15．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 17．如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． 18．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 19．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 20．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 21．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 22．若圆O的直径为8，的长为4，则点P在圆O________（填“上”或“内”或“外”） 23．正五边形每个内角的度数为 _____． 24．一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是______________． 25．将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点、、、四点共线，为公共顶点．则________．（正多边形的各个内角相等） 26．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 27．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，， ，则剪去的这个角的度数为______． 28．每个角都是的多边形是________边形． 29．已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 30．如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 31．完成下列题目 (1)已知一个三角形的三边长为a、b、c，若，，求c的取值范围； (2)求出下列图形中x的值． 32．如图，是的直径，是中非直径的任意一条弦，试比较与的大小，并说明理由． 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $