第二章：第三讲分式方程及其应用-2026年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

第三讲 分式方程及其应用 教材知识 中考考点 课标要求 分式方程及其解法 1.解分式方程 了解分式方程的概念； 会找分式方程的最简公分母，掌握分式方程的求解方法； 知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根. 2.分式方程的含参问题 能够解决分式方程含参求值及求解取值范围的问题 分式方程的实际应用 3.分式方程的实际应用 能根据现实情景理解方程的意义，能针对具体问题列出方程； 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 命题点1 分式方程及其解法 1、分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 【要点解读】 “分母中含有未知数”是分式方程和整式方程的根本区别，也是判定一个方程是分式方程的依据. 2、分式方程的解法 【要点解读】 ①去分母时，不要漏乘常数项和整式； ②去括号时，括号前面时负号，括号内每一项都要变号； ③求出解后，要代入原分式方程或最简公分母检验，使最简公分母为0的解要舍去. 1．（2025·湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京）方程的解为 ． 3．（2025·湖南长沙）分式方程的解为 ． 4．（2025·浙江）解分式方程：． 5．（2025·甘肃兰州）解方程：． 6．（2025·山东威海）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 命题点2 分式方程的含参问题 1、根据分式方程有增根求参数的值的解题思路： （1）将分式方程化为整式方程； （2）将增根代入整式方程，从而求出参数的值. 【要点解读】 分式方程的增根与无解并非同一概念 ①分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根； ②分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0. 2、根据分式方程的解求参数的取值或取值范围的解题思路： （1）将分式方程化为整式方程，用含参数的代数式表示出分式方程的解； （2）根据题意列方程或不等式求出参数的值或取值范围. 【要点解读】 求值或取值范围时，记得要考虑分母不为0的限制条件. 角度1 分式方程的增根和无解问题 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 8．（2023·湖南）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 9．（2025·四川凉山）若关于x的分式方程无解，则 ． 10．（2023·四川巴中）关于x的分式方程有增根，则 ． 角度2 分式方程的特殊解问题 11．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 12．（2025·黑龙江）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 13．（2024·黑龙江牡丹江）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 命题点3 分式方程的实际应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审清题意，找出题中的已知量、未知量. （2）设：即设出关键未知数. （3）列：即找出等量关系，列方程. （4）解：即解方程. （5）验：双检验，既要检验是不是分式方程的根，还要检验是否符合实际问题. （6）答：即回归题中，规范作答. 2、常见应用类型 常见类型 基本数量关系 常见等量关系 打折、 销售问题 ； 售价=标价×折扣 （根据数量差也可以列等量关系） 行程问题 （根据速度差也可以列等量关系） 工程问题 （注：题干中未告诉工作总量时，工作总量可看作整体“1”，则） ； 角度1 购买问题 14．（2024·四川广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 16．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 角度2 行程问题 17．（2024·新疆）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 18．（2024·黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 20．（2025·吉林长春）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度． 角度3 生产、工程问题 21．（2025·云南）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 22．（2025·山西）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 23．（2025·重庆）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 1．（2024·山东济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨）方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·山东淄博）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 4．（2025·江苏无锡）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·四川遂宁）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（    ） A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60 7．（2022·四川德阳）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 8．（2025·山东德州）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 9．（2025·四川）方程的解为 ． 10．（2025·湖北武汉）方程的解是 ． 11．（2023·湖南）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 12．（2025·陕西）解方程：． 13．（2024·青海西宁）解方程：． 14．（2025·山东淄博）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 15．（2025·广东广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 16．（2023·四川广安）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（　　）    A． B． C． D． 17．（2023·重庆）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·广东）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 19．（2024·重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 20．（2024·广西）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 2．解分式方程时，去分母后变形正确的为（    ） A． B． C． D． 3．已知x=3是方程 的解，那么实数k的值为(   ) A． B． C． D． 4．对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 6．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 7．已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 8．解方程：． 9．解方程：． 10．国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 11．喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 12．解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 13．如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 14．若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ． 15．关于分式方程无解，则的值为 ． 16．某商场计划购进一批甲、乙两种类型的玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用1200元购进甲种玩具的件数与用2000元购进乙种玩具的件数相同． (1)甲、乙两种玩具每件的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不多于24．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元，求商场共有几种进货方案． (3)在（2）的条件下，若每件甲种玩具的售价为40元，每件乙种玩具的售价为55元，商场为扩大销量，推出“买一赠一”活动．顾客从这两种玩具中任购一件，就可以从这两种玩具中任选一件作为赠品．若这批玩具在活动期间全部售出后并恰好获利235元，求商场的进货方案． 17．综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），求的值． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 分式方程及其应用 教材知识 中考考点 课标要求 分式方程及其解法 1.解分式方程 了解分式方程的概念； 会找分式方程的最简公分母，掌握分式方程的求解方法； 知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根. 2.分式方程的含参问题 能够解决分式方程含参求值及求解取值范围的问题 分式方程的实际应用 3.分式方程的实际应用 能根据现实情景理解方程的意义，能针对具体问题列出方程； 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 命题点1 分式方程及其解法 1、分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 【要点解读】 “分母中含有未知数”是分式方程和整式方程的根本区别，也是判定一个方程是分式方程的依据. 2、分式方程的解法 【要点解读】 ①去分母时，不要漏乘常数项和整式； ②去括号时，括号前面时负号，括号内每一项都要变号； ③求出解后，要代入原分式方程或最简公分母检验，使最简公分母为0的解要舍去. 1．（2025·湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 2．（2025·北京）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙）分式方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再把求出的值代入最简公分母检验是否增根即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时， 可得：， 是原分式方程的解． 故答案为：． 4．（2025·浙江）解分式方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 5．（2025·甘肃兰州）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得：， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． 6．（2025·山东威海）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2） 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键； （1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为： （2） 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 命题点2 分式方程的含参问题 1、根据分式方程有增根求参数的值的解题思路： （1）将分式方程化为整式方程； （2）将增根代入整式方程，从而求出参数的值. 【要点解读】 分式方程的增根与无解并非同一概念 ①分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根； ②分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0. 2、根据分式方程的解求参数的取值或取值范围的解题思路： （1）将分式方程化为整式方程，用含参数的代数式表示出分式方程的解； （2）根据题意列方程或不等式求出参数的值或取值范围. 【要点解读】 求值或取值范围时，记得要考虑分母不为0的限制条件. 角度1 分式方程的增根和无解问题 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 8．（2023·湖南）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 9．（2025·四川凉山）若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案． 【详解】解：， 去分母：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ， 原方程无解， 是原方程的增根， 由，， ， ， 故答案为：． 10．（2023·四川巴中）关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出． 【详解】， 解：方程两边同时乘以，得， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根． 角度2 分式方程的特殊解问题 11．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：． 12．（2025·黑龙江）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 13．（2024·黑龙江牡丹江）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：． 命题点3 分式方程的实际应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审清题意，找出题中的已知量、未知量. （2）设：即设出关键未知数. （3）列：即找出等量关系，列方程. （4）解：即解方程. （5）验：双检验，既要检验是不是分式方程的根，还要检验是否符合实际问题. （6）答：即回归题中，规范作答. 2、常见应用类型 常见类型 基本数量关系 常见等量关系 打折、 销售问题 ； 售价=标价×折扣 （根据数量差也可以列等量关系） 行程问题 （根据速度差也可以列等量关系） 工程问题 （注：题干中未告诉工作总量时，工作总量可看作整体“1”，则） ； 角度1 购买问题 14．（2024·四川广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可． 【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 15．（2025·江苏）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 16．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； (2)需要更新设备费用为万元 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； 角度2 行程问题 17．（2024·新疆）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键． 先把时间化为小时，设甲车的速度为，则乙车的速度为，表示出两车的时间，再根据时间相差5分钟建立方程即可． 【详解】解：，设甲车的速度为，根据题意可列方程： ， 故选：D． 18．（2024·黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设江水的流速为，根据题意可得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 答：江水的流速为． 故选：D． 19．（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 20．（2025·吉林长春）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度． 【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可． 【详解】解：设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为：， 答：小林跑步的平均速度为4米每秒． 角度3 生产、工程问题 21．（2025·云南）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可． 【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 22．（2025·山西）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．              根据题意得：．                解得：．                            经检验，是原方程的根，且符合题意．                    答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 23．（2025·重庆）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 1．（2024·山东济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 2．（2025·黑龙江哈尔滨）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 3．（2023·山东淄博）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 4．（2025·江苏无锡）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 5．（2025·四川遂宁）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（    ） A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60 【答案】D 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：D． 7．（2022·四川德阳）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出，再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 8．（2025·山东德州）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 9．（2025·四川）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验． 先去分母化为整式方程，进而解整式方程，再进行检验即可． 【详解】解：， ， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：． 10．（2025·湖北武汉）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．先将分式方程化为整式方程，解整式方程，再检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 所以原方程的解为， 故答案为：． 11．（2023·湖南）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 12．（2025·陕西）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 13．（2024·青海西宁）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查解分式方程，先去分母解整式方程，再验根即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． 14．（2025·山东淄博）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【知识点】分式方程的行程问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 15．（2025·广东广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【知识点】分式方程的工程问题、列代数式 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 16．（2023·四川广安）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程、从函数的图象获取信息 【分析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得． 【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元， 由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等， 则可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 17．（2023·重庆）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到且，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题． 【详解】解：, 两边同时乘以（)， , , 由于该分式方程的解为正数， ∴，其中; ∴，且； ∵关于y的元一次不等式组有解， 由①得：; 由②得：; ∴， ∴ 综上可得：,且; ∴满足条件的所有整数a为：； ∴它们的和为； 故选B． 【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题． 18．（2025·广东）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 19．（2024·重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元． (2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， ∴， 解得：， ∴， 答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元． （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 20．（2024·广西）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 2．解分式方程时，去分母后变形正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，方程两边同时乘以最简公分母，将方程转化为整式方程进行判断即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得：； 故选：D． 3．已知x=3是方程 的解，那么实数k的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】根据方程解的定义，将代入方程中即可求出． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程可得：， 解方程得． 故选D． 【点睛】本题考查分式方程解的概念，根据方程的解求方程中的参数，理解分式方程解的概念是解题的关键． 4．对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据定义的新运算，将转化为分式方程，解方程并检验即可. 【详解】解：根据题意，运算， 代入得：， 移项得：， 两边取倒数：， 解得：， 解得：， 检验：当时，分母， 因此，的值为， 故选：A 5．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意，得：， 整理得． 故选：． 6．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 7．已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 8．解方程：． 【答案】无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以得： 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 原方程无解． 9．解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程． 根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 10．国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【答案】30元 【知识点】分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批跳绳的数量是第一批的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批跳绳进货单价30元． 11．喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【知识点】分式方程的工程问题、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 12．解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 13．如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 14．若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】坐标与图形、解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键 【详解】解：等式两边都乘以，得， 令，则， ∴“美好点”的坐标为， 故答案为（答案不唯一） 15．关于分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 16．某商场计划购进一批甲、乙两种类型的玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用1200元购进甲种玩具的件数与用2000元购进乙种玩具的件数相同． (1)甲、乙两种玩具每件的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不多于24．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元，求商场共有几种进货方案． (3)在（2）的条件下，若每件甲种玩具的售价为40元，每件乙种玩具的售价为55元，商场为扩大销量，推出“买一赠一”活动．顾客从这两种玩具中任购一件，就可以从这两种玩具中任选一件作为赠品．若这批玩具在活动期间全部售出后并恰好获利235元，求商场的进货方案． 【答案】(1)每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元 (2)5种 (3)购进甲种玩具20件，乙种玩具30件或甲种玩具23件，乙种玩具27件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式组的应用，二元一次方程的应用，准确理解提议是解题的关键． （1）设每件甲种玩具的进价是元，则每件乙种玩具的进价是元，根据题意列分式方程，求解即可； （2）设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，根据题意列不等式组，求解即可； （3）设50件玩具“买一赠一”，有件售价是40元，则有件售价是55元，根据题意得出二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设每件甲种玩具的进价是元，则每件乙种玩具的进价是元． 根据题意，可得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元． （2）解：设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件． 根据题意，得，解得． ∵为正整数， ∴的值可以为20或21或22或23或24， ∴商场共有5种进货方案． （3）解：设50件玩具“买一赠一”，有件售价是40元，则有件售价是55元， ∴． 化简、整理，可得． 由（2）知的值可以为20或21或22或23或24，且为正整数， ∴，此时； ，此时， 即商场的进货方案是购进甲种玩具20件，乙种玩具30件或甲种玩具23件，乙种玩具27件． 17．综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． （1）类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字分式方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字分式方程”得到，，代入即可求解． 【详解】（1）解：依题意，可化为， ，． 故答案为：； （2）解：由已知得，， ； （3）解：原方程变为， ， ∵，且， ，， ，， ． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $