精品解析：安徽省滁州市凤阳县2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试卷

2025～2026学年第一学期期末检测九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题1分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（ ） A B. C. 2 D. 4 6. 如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 米 8. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A B. C. D. 9. 某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，E为的中点．点D在平面内运动，且满足，取的中点F，连接，则的最大值与最小值的和是（ ） A. 6 B. C. D. 二、解答题填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知（），的值是________． 12. 如图，P是⊙外一点，是⊙的切线，A点为切点，交⊙于点B，C是优弧上一点，若，，则的度数为______． 13. 有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度. 图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD=. 若AO=85cm，BO=DO=65cm. 问: 当，较长支撑杆的端点离地面的高度约为_____.(参考数据:，.) 14 已知抛物线． （1）若该抛物线与x轴只有一个公共点，则______； （2）将抛物线沿y轴翻折后，再向上平移4个单位，得到的新抛物线恰好经过原点，则______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，，求的值． 16. 如图，在中，，，．求和的值． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）以点O为对称中心，画出关于原点O中心对称的图形（其中A与，B与，C与是对应点）； （2）以点为位似中心，将放大2倍得到（其中A与，B与，C与是对应点），且点在第二象限，并写出点的坐标． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象y交于，B两点 （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）当时，直接写出x的取值范围． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱，，，的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图2，已知，，求的长度． 20. （一）阅读情景： 很多学生在学习沪科版九年级数学时，会遇到拱桥、隧道、涵洞等“弧形”问题的应用题，并发现有的用抛物线（二次函数）解答，有的用圆（垂径定理）解答，不知道该怎么选择？爱思考的吕鑫同学利用课余时间，上网查出了它们的区别如下： 核心区别：模型的几何形状不同． 1．抛物线模型： 前提：题目明确提及“抛物线”或给出顶点坐标、与坐标轴交点等函数相关描述． 本质：将截面视为二次函数图象． 解题流程：建立坐标系→标注点坐标→设解析式求解→用函数性质解决问题． 2．圆弧模型（垂径定理）： 前提：题目明确提及“圆弧”． 本质：将截面视为圆的一部分（弓形）． 解题流程：画示意图→用垂径定理构建直角三角形（半径、弦长一半、弦心距）→勾股定理列方程：半径2＝弦心距2→求出未知量并解决问题． （二）知识应用： 某小河上并列修建抛物线型和圆弧形两座拱桥，已知桥下水面宽均为16米，拱高（桥中间最高处到水面的垂直距离）都是4米．一艘运输船通过此处，船身宽度为12米，船顶到水面的高度为1.6米，安全要求船顶与拱桥顶部的垂直距离需至少0.3米（即拱桥到船顶位置的高度≥船顶高度米）．请通过计算判断，该运输船从这两座拱桥下是否都能通过？ 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，已知内接于⊙，是⊙的直径，点E在上，过E作⊙的切线，交的延长线于点F，且． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图1，在和中，，，与相交于点F． （1）求证：． （2）如图2，当时，且，． ①求证：四边形是矩形； ②连接交于点G，求线段长． 八、解答题（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，且顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求a和b的值． （2）设点在抛物线上，点在抛物线上（P，Q与原点均不重合）． （ⅰ）若，试比较与的大小； （ⅱ）若，且，求m与n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期期末检测九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题1分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A ． 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解． 【详解】解：在中，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦． 3. 某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据坡度得到，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵背水坡的坡度，坝高， ∴，则， ∴， 即坡面 的长度为， 故选：C． 4. 下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意， 真命题有3个， 故选：C． 【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大． 5. 如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，然后可证，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∵点A与点分别在反比例函数与的图象上， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6. 如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．由，，得，则，由，得，因为，所以，则，所以，则，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：B． 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于D，根据圆的性质和垂径定理可知，，根据勾股定理求得的长，由即可求解． 【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接交于D， 则，， 在中，，， ∴， ∴， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A．如图，抛物线开口方向向上，则；抛物线对称轴在y轴右侧，即，所以；抛物线与y轴交于负半轴，则，所以，结论错误，与题意不符； B．如图，抛物线与x轴有两个交点，则，结论错误，与题意不符； C．如图，对称轴是直线，则，所以，即，结论错误，与题意不符； D．当时，，即，又因为，即，所以，，故，结论正确，与题意相符． 故选：D． 9. 某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， 把代入中得：， ； 设， 把代入中得： ， 解得：， ； 设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元， 由题意得： ， ， 当时，， ， 当时，， 能获取的最大总利润是万元， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，E为的中点．点D在平面内运动，且满足，取的中点F，连接，则的最大值与最小值的和是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、点的轨迹（圆）以及线段最值问题．掌握中位线性质将转化为，并利用点D在以A为圆心、为半径的圆上运动，通过几何位置关系求的最值是解题的关键． 【详解】解：如图1，作于G点， ∵，， ∴，， ∴，． ∵点D在平面内运动，且满足， ∴点D的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆上， 图2中最小等于， 图3中最大等于， ∴则的最大值与最小值的和是， 故选B． 二、解答题填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知（），的值是________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查比例性质，直接由比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， 故答案为：． 12. 如图，P是⊙外一点，是⊙的切线，A点为切点，交⊙于点B，C是优弧上一点，若，，则的度数为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、特殊角的三角函数等知识，利用切线的性质得到，利用正弦定义和特殊角的三角函数得到，进而利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是外一点，是的切线，A为切点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度. 图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD=. 若AO=85cm，BO=DO=65cm. 问: 当，较长支撑杆的端点离地面的高度约为_____.(参考数据:，.) 【答案】120. 【解析】 【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可． 【详解】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF， ∵BO=DO， ∴OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠BOD=×74°=37°， ∴∠FAB=∠BOE=37°， 在Rt△ABF中，AB=85+65=150cm， ∴h=AF=AB•cos∠FAB=150×0.8=120cm， 故答案为120 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键． 14. 已知抛物线． （1）若该抛物线与x轴只有一个公共点，则______； （2）将抛物线沿y轴翻折后，再向上平移4个单位，得到的新抛物线恰好经过原点，则______． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴交点问题，二次函数图象的平移问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）抛物线与x轴只有一个公共点，则判别式为零，由此列式求k即可； （2）求出原抛物线沿y轴翻折后的抛物线的解析式，进而根据平移方式得到新抛物线的解析式，再根据新抛物线过原点列式求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或； （2）设点为抛物线沿y轴翻折后得到的抛物线上的一点，则点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线沿y轴翻折后得到的抛物线的解析式为， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线恰好经过原点， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设．则根据比例的性质，得，，，代入到求出即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 16. 如图，在中，，，．求和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦和正切的定义是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正弦、正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 则，． 故答案为：，． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）以点O为对称中心，画出关于原点O中心对称的图形（其中A与，B与，C与是对应点）； （2）以点为位似中心，将放大2倍得到（其中A与，B与，C与是对应点），且点在第二象限，并写出点坐标． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形以及位似图形．熟练掌握成中心对称图形的特征，以及位似图形的定义和性质，是解题的关键． （1）先确定点A，B，C关于原点对称的对应点，，，再连线即可得到； （2）根据位似比确定，，的位置，再连线即可得到，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，就是所画的图形； 点的坐标为． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象y交于，B两点 （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形的面积． （1）先利用一次函数求出，得到A点坐标为，然后把A点坐标代入求出k，从而得到反比例函数解析式； （2）联立方程求得B点的坐标，根据求得即可； （3）当时，一次函数在反比例函数图象上方，再根据A、B的坐标结合图象即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入得， 所以A点坐标为， 把代入（k为常数且）得， 所以反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立得， 解得或， ∴； 如图，一次函数的图象与轴交于点C， 在中，令，则， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵两函数的交点A的坐标是，B的坐标是， ∴当时，由图象可得，自变量x的取值范围是或． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱，，，的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图2，已知，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． （1）由特殊角的三角函数值得，与一起代入即可得解； （2）由（1）中所得的折射率求出，推得，设，，结合勾股定理得出，由，即可求得，进而求出的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴折射率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，． 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20. （一）阅读情景： 很多学生在学习沪科版九年级数学时，会遇到拱桥、隧道、涵洞等“弧形”问题的应用题，并发现有的用抛物线（二次函数）解答，有的用圆（垂径定理）解答，不知道该怎么选择？爱思考的吕鑫同学利用课余时间，上网查出了它们的区别如下： 核心区别：模型的几何形状不同． 1．抛物线模型： 前提：题目明确提及“抛物线”或给出顶点坐标、与坐标轴交点等函数相关描述． 本质：将截面视为二次函数图象． 解题流程：建立坐标系→标注点坐标→设解析式求解→用函数性质解决问题． 2．圆弧模型（垂径定理）： 前提：题目明确提及“圆弧”． 本质：将截面视为圆的一部分（弓形）． 解题流程：画示意图→用垂径定理构建直角三角形（半径、弦长一半、弦心距）→勾股定理列方程：半径2＝弦心距2→求出未知量并解决问题． （二）知识应用： 某小河上并列修建抛物线型和圆弧形两座拱桥，已知桥下水面宽均为16米，拱高（桥中间最高处到水面的垂直距离）都是4米．一艘运输船通过此处，船身宽度为12米，船顶到水面的高度为1.6米，安全要求船顶与拱桥顶部的垂直距离需至少0.3米（即拱桥到船顶位置的高度≥船顶高度米）．请通过计算判断，该运输船从这两座拱桥下是否都能通过？ 【答案】该运输船不能通过抛物线型拱桥，从圆弧形拱桥下能通过，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，二次函数图象与性质的应用，解题的关键在于熟练读懂题意把实际问题转化为二次函数的知识．根据题意建立适当坐标系，设抛物线型拱桥解析式为，代入求出抛物线解析式，再比较拱桥到船顶位置的高度是否大于或等于船顶高度米即可得出答案． 【详解】解：①抛物线型拱桥， 以水面为x轴，通过拱桥中点垂直水面直线为y轴建立坐标系， 因为顶点坐标，与x轴交点、， 所以设抛物线型拱桥解析式为，代入， 得，解得． ∴． 因为运输船宽米，半宽6米，对应． 代入抛物线解析式，得（米）． 结论：米米米，不能通过． ②设圆弧形拱桥半径为r． ，． 圆弧半径为米． 半弦长6米，半径米，设圆心到船顶弦的距离为d． ，解得米． 圆心到水面距离为6米，故拱桥高度（米）， 2米米米，满足安全要求． 答：该运输船不能通过抛物线型拱桥，从圆弧形拱桥下能通过． 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，已知内接于⊙，是⊙的直径，点E在上，过E作⊙的切线，交的延长线于点F，且． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质． （1）连接交于G点，如图，先根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，则可判断，再证明，从而得到结论； （2）先证明，则，利用相似三角形的性质求出，然后利用为的中位线，从而得到． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点G， ∵与相切于点E， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解：∵是直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵经过圆心， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图1，在和中，，，与相交于点F． （1）求证：． （2）如图2，当时，且，． ①求证：四边形是矩形； ②连接交于点G，求线段长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）根据和推出，得到，进而有，再通过可证明． （2）①通过（1）的结论推导出，结合得到，再根据证明，从而得证； ②先利用勾股定理求出，再根据矩形的性质得，然后通过相似三角形求出，再利用平行线得到求出,最终． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 【小问2详解】 ①证明：由（1）得， ∴， ∴， ∴，且， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ②解：∵，， ∴由勾股定理可得． ∵四边形是矩形，与相交于点F， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 故答案为：． 八、解答题（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，且顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求a和b的值． （2）设点在抛物线上，点在抛物线上（P，Q与原点均不重合）． （ⅰ）若，试比较与的大小； （ⅱ）若，且，求m与n的值． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）当时，；当时，；（ⅱ）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、顶点坐标公式、点的坐标代入以及代数式的比较与求解．掌握顶点横坐标的计算方法、利用点的坐标求参数、以及通过代数运算比较函数值大小是解题的关键． （1）首先，利用给定抛物线的顶点横坐标公式，求出其顶点横坐标．然后，根据题设条件（顶点横坐标大1），得到目标抛物线的顶点横坐标表达式，从而建立关于a和 b的方程．同时，利用点在目标抛物线上的条件，建立另一个方程．联立方程求解即可求出a和b． （2）（ⅰ）当时，直接代入两条抛物线的解析式，计算的表达式，根据 m的取值分类讨论符号，从而比较大小． （ⅱ） 当 ​且时，利用​建立方程，并结合代入求解m和 n． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点横坐标为， 又∵抛物线的顶点横坐标比它大1， ∴抛物线的顶点横坐标为． 即．① ∵抛物线经过点， ∴，即． ② 将①代入②，得， ∴，． 代入①，得． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， ∵点在抛物线上，点在抛物线上 ∴，． ∵P，Q与原点均不重合， ， （ⅰ）∵， ∴． 当时，，则； 当时，，则． （ⅱ）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $