精品解析：河南洛阳市洛宁县2025-2026学年第一学期期末学情调研九年级数学试题

2025-2026学年第一学期期末学情调研九年级 数学试题 时间100分钟，满分120分 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是 A. ﹣3 B. 3 C. ﹣9 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】=|﹣3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式化简，掌握二次根式化简方法是解题关键． 2. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值． 【详解】解：由，可设， 则． 所以． 故选：C 3. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 4. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则所列方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—变化率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，本题原来的量为100，则二月份和三月份的营业额分别为和，相加即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元， ∴则二月份和三月份的营业额分别为和， ∴第一季度的营业额为， ∴，即．   故选：D ． 5. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A. 6. 如图，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（在同一条直线上）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算方法是关键，根据题意得到，结合余弦的计算即可求解． 【详解】解：∵两根拉线与相互垂直，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 7. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， 所以平移后得到的抛物线解析式为． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8. 如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，，，则（ ）． A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为DE∥BC，所以，，因为AE=3，所以AB=9，所以EB=9-3=6． 故选A． 考点：平行线分线段成比例定理． 9. 已知点、、在函数上．则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线开口向上，对称轴为x=-1．根据三点横坐标离对称轴的距离远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：由函数y＝2(x+1)2−可知， 该函数的抛物线开口向上，且对称轴为x=-1． ∵A（1，y1）、B（−，y2）、C（-2，y3）在函数y＝2(x+1)2−上的三个点， 且三点的横坐标距离对称轴的远近为： A（1，y1）、C（-2，y3）、B（−，y2）， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．也可求得A（1，y1）的对称点（-3，y1），使三点在对称轴的同一侧． 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致． 【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键. 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 河堤横截面如图所示，堤高为4米，迎水坡的坡比为，那么的长为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡比，勾股定理． 根据坡比求出的值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡比为， ∴， ∵堤高为4米， ∴米， ∴米． 故答案为：． 12. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 【答案】 【解析】 【详解】∵∠BAC=∠ACD=90°， ∴AB∥CD． ∴△ABE∽△DCE． ∴． ∵在Rt△ACB中∠B=45°， ∴AB=AC． ∵在RtACD中，∠D=30°， ∴． ∴． 故答案为 13. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，伞撑开后如图①所示，由此发现数学知识抛物线．如图②，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨、的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．已知抛物线的解析式为，若点到轴的距离是，则、两点之间的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．将代入求出，再计算、两点之间的距离． 【详解】解：根据题意可知， 当时，， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于两点， ∴当或时，二次函数在一次函数上方， 即关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 15. 如图，与中，，，，交于，点在边上．给出下列结论： ①﹔②；③；④ 其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．先根据已知条件证明，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答． 【详解】解：在与中 ∵，， ∴， ∴， ∴； 由，， 可知：； ∵， ∴， 由可得， ∴． 综上可知：①③④正确． 故答案为：①③④ 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的化简，零次幂的结果，再算乘法，最后算加减即可； （2）根据分式的性质化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）解：直角三角形，理由: ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，直角三角形的判定，等边三角形的性质，掌握根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当是等边三角形，则， ∴，即， ， ， 解得：． 18. 已知抛物线． （1）用配方法求它的顶点坐标； （2）求它与轴的交点坐标； （3）当为何值时，有最大值或最小值？ 【答案】（1）； （2）； （3）当时，有最大值4． 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质． （1）根据将抛物线化为，进而配方即可； （2）将代入函数解析式计算即可； （3）根据二次函数顶点式的性质作答即可． 【小问1详解】 解： ， ∴它的顶点坐标是； 【小问2详解】 解：令，则， ∴它与轴的交点坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，有最大值4． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 20. 如图：小明同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上． （1）已知AB为30米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求旗杆高； （2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC为多少米？（结果保留根号） 【答案】（1）旗杆高度为（1515）m；（2）绳子AC为15米． 【解析】 【分析】（1）设旗杆高度PQ=x，在中可得，在中可得BQ=x，根据AQ+BQ=AB列出方程xx＝30，解方程可得； （2）过A作AE⊥BC于E，在中可得AE=15m，在中，sin∠C，可求得AC． 【详解】（1）设旗杆的高PQ＝xm， ∵在中，∠PAQ＝45°， ∴AQ＝PQ＝x， ∵在中，∠B＝30°， ∴BQx， ∵AQ+BQ＝AB，且AB＝30， ∴xx＝30，解得：x＝1515， 故旗杆高度为（1515）m； （2）过A作AE⊥BC于E， ∵在中，∠B＝30°，AB＝30m， ∴AE＝＝15m， ∵∠CAD＝75°，∠B＝30°， ∴∠C＝45°， ∵在中，sin∠C， ∴AC15m， 故绳子AC为15米． 【点睛】本题考查了仰角、俯角以及解直角三角形的应用，解答本题的关键是结合图形构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形． 21. 如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于的一元二次方程的两个根，且OA＞OB （1）求cos∠ABC的值． （2）若E为x轴上的点，且，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由． 【答案】（1）cos∠ABC=（2）E(-，0 )或（，0）. 【解析】 【分析】（1）求出一元二次方程的两个根，再结合OA＞OB即可得到结果； （2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似． 【详解】解：（1）解一元二次方程，得，． ∵OA＞OB， ∴ OA＝4，OB＝3， ∴AB==5， ∴cos∠ABC=； （2）设E（x，0）， 由题意得：=OA•x=， 解得：x=， ∴E（，0）或（，0）． △AOE∽△DAO． 理由如下： 在△AOE与△DAO中， ，， ∴. 又∵∠AOE=∠OAD=90°， ∴△AOE∽△DAO． 点睛：本题属于四边形综合题．掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的判定定理是解题的关键． 22. 天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数表达式，并求出销售价为多少时，每天的销售利润最大，最大利润是多少． 【答案】（1） （2）当销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是144元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数，二次函数的应用． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据题意求出的函数解析式，根据二次函数的性质结合的取值范围作答即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 将代入，得 解得 ∴与之间的函数表达式为 【小问2详解】 解：根据题意，知． ∵， ∴当时，随的增大而增大． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为144， ∴当销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 23. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末学情调研九年级 数学试题 时间100分钟，满分120分 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是 A. ﹣3 B. 3 C. ﹣9 D. 9 2. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 4. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则所列方程应为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（在同一条直线上）（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，，，则（ ）． A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 9. 已知点、、在函数上．则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 河堤横截面如图所示，堤高为4米，迎水坡的坡比为，那么的长为__________米． 12. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 13. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，伞撑开后如图①所示，由此发现数学知识抛物线．如图②，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨、的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．已知抛物线的解析式为，若点到轴的距离是，则、两点之间的距离是__________． 14. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为___________． 15. 如图，与中，，，，交于，点在边上．给出下列结论： ①﹔②；③；④ 其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 18. 已知抛物线． （1）用配方法求它的顶点坐标； （2）求它与轴的交点坐标； （3）当为何值时，有最大值或最小值？ 19. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 20. 如图：小明同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上． （1）已知AB为30米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求旗杆高； （2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC为多少米？（结果保留根号） 21. 如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于的一元二次方程的两个根，且OA＞OB （1）求cos∠ABC的值． （2）若E为x轴上的点，且，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由． 22. 天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数表达式，并求出销售价为多少时，每天的销售利润最大，最大利润是多少． 23. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $