精品解析：安徽省合肥市2026届高三第一次教学质量检测数学试题

2026年合肥市高三第一次教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先解出集合，再求与的交集. 【详解】解不等式，可得 ，即. 已知. 求交集 =. 故选：C 2. 设，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则和复数相等的条件可求得的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 3. 已知空间中三条直线与平面 分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必要性成立. 【详解】如图所示，空间中三条直线与平面 分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面 内， 则在平面与 的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数，中位数，众数的意义分别求得平均数，中位数，众数即可. 【详解】这50名员工月工资的平均数为元； 从小到大排列后第25和第26个数均为4400，所以中位数为元； 显然4400出现次数最多为20次，所以众数为元 故. 故选：B. 5. 已知双曲线，直线 与的两条渐近线分别交于点 ，若，则的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求出直线 与渐近线的交点的坐标，利用得到的关系，最后计算离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 将 代入渐近线方程： 对于 ，解得，即点. 对于，解得，即点. 所以，解得. 双曲线的离心率，其中. 将代入得： 因此，离心率. 故选：A 6. 已知函数为偶函数，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【详解】函数的定义域为 ，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时， 取得最小值. 故选：C 7. 国庆假期，某人计划去 五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 48种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种， 因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种. 故选：B 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得 ；得 ； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时 ； 时，且时 ， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，结合已知，，对与1的大小关系进行分析，再根据不等式的性质判断各选项的正误即可. 【详解】若 ，因为，则，所以， 与矛盾，故 不成立，所以 ，故A正确； 若，因为，则，所以， 与矛盾，故不成立，所以， 取，满足，，此时，故B错误； 因为， ，，所以，所以， 又，所以，所以，故C正确； 取，满足，， 所以满足，此时，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数．若存在不相等的实数，使得，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若的最小值为，则 C. 若，则的取值范围为 D. 若，且的最大值为，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据函数值域可求；B根据周期计算；C求出，结合正弦函数的性质可求；D求出的最大值，结合正弦函数的性质可求. 【详解】因为，所以， 因为存在不相等的实数，使得， 所以存在不相等的实数，使得，故A正确； 若的最小值为，则，得，故B错误； 若，则， 因为，所以，得，故C正确； 因为的最大值为，所以的最大值为 ， 则，得，故D正确. 故选：ACD 11. 设为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交于 两点，在第一象限，过 作直线的垂线，垂足分别为，则（） A. B. 若，则 C. 若，则直线的斜率为 D. 的面积最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、抛物线定义及代数运算，逐一验证各选项的正确性，即可得出结果. 【详解】设直线的方程为，与抛物线联立：， ，设 ， ， 由韦达定理得，. 因为是到准线的垂足，所以. 向量，. 对于选项A，因为，且， 所以，所以，故A正确. 对于选项B：是到准线的垂足，所以，， . 若，则有 所以， 又因为，代入上式可得：，解得：，则. 因此点坐标为，所以，B正确. 对于选项C： 由得：，即：， 联立：，消可得：则， 所以 ，即，代入化简可得：即 解得 （均舍去），即. 直线过焦点，所以，因此C错误. 对于选项D：，， 所以 由 得，又，， 所以，则，所以 将和代入面积公式： 令，则，代入得： 令，解得（舍去），即. 此时，，所以 因此， 的面积最小值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先列出等差数列的通项，结合已知条件求出公差，进而得出通项公式． 【详解】已知是等差数列，设公差为，则， ， ，解得， ． 故答案为：． 13. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为，设，由球的性质可列方程，求出半径后再由球的表面积公式即可得解. 【详解】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为， 在上下底面圆周上分别取点为 ，连接，如图， 因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为， 所以，， 设，则，所以， 所以，解得，所以该球的半径， 所以该球的表面积. 故答案为：. 14. 已知直线与轴、轴分别交于点，点在曲线上，点在 上，点满足，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】平移直线 与曲线相切，求得曲线上的点到直线的最小距离，进而可求得到直线 的距离的最小值，取的中点为，进而可求的最小值. 【详解】当直线 平移到与曲线相切于点， 此时切点是曲线上的点到直线 的距离最小的点， 由，得， 因为直线 的斜率为，所以令，整理得， 解得（舍去）或，又，故此时切点， 且此时到直线的距离为， 又，故此时到直线的距离为， 取的中点为，时，的长取得最小值，如图所示： 由直线，可得， 所以，所以， 又 , 故最小时，的最小值，且最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知 ． （1）证明：； （2）求内角的最大值． 【答案】（1）证明：因为 ， 所以由题得 ，即， 由余弦定理可得，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到，再由余弦定理角化边即可求证； （2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出 的最小值即可由余弦函数性质得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 当且仅当 即时等号成立， 所以 的最小值为， ， 所以内角的最大值为． 16. 一个盒子中有5个大小相同的球，其中有2个黄球，3个白球． （1）随机一次取出3个球，用表示取出的球为黄球的个数，求的分布列和均值； （2）逐个不放回地随机取出5个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的个数”为事件，求． 【答案】（1） 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值以及每个取值相应的概率即可求分布列，再由均值公式计算即可得解； （2）由题意知第一次取到的球为白球，接下来分第2次取到白球或第2次取到黄球两种情况分析即可计算求解. 【小问1详解】 的可能取值为0，1，2．根据概率知识，可得的分布列为 用表格表示的分布列，如下表所示． 0 1 2 所以的均值为． 【小问2详解】 由题意可知第一次取到的球为白球，设 “第次取到白球”（）． 若事件发生，则后面出现情况均满足题意，所以； 若事件发生，则事件一定发生，后面出现的情况均满足题意， 则． 故． 17. 如图，直三棱柱 的所有棱长都等于2，点，分别是线段，上的动点（异于端点），且 ． （1）证明： 平面； （2）若，求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1）在棱 上分别取点，使 ． 则． 因为 ， ，所以． 又 ，所以． 由 ，得， 所以四边形 是平行四边形．所以． 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． （2）． 【解析】 【分析】（1）在棱 上分别取点，使 ，利用相似得出四边形 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求证； （2）在中利用余弦定理求出，再以 为坐标原点建系，利用坐标计算面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，令 ，则 ， 在中利用余弦定理得， 即 ，解得． 所以点分别是 中点．所以点分别是 中点． 以 为坐标原点， 所在直线为 轴，垂直于平面 的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ． 所以 ． 设为平面 的法向量， 则，即，可取 ． 设为平面 的法向量， 则，即，可取 ． 设平面 与平面 夹角为，则． 故平面 与平面 夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时， ，求的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3）证明如下： 由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 所以当时，， 即，所以当时，． 当时，，则有． 令，求导得，当 时， ； 当 时， ，所以， 所以，所以，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数可求函数的单调区间； （2）分 和两种情况分别判断 是否成立，进而可求得求的取值范围； （3）由（1）可得当时，，再证明，，记，计算可证结论. 【小问1详解】 当时，， 所以当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以当 时，，由（1）知， 当时，． 又当时，，， 所以，即．所以在区间单调递减， 所以，不符合题意．综上，的取值范围是． 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点． （i）求证：以为直径的圆过定点； （ii）当直线的斜率存在时，记 的外接圆和内切圆的半径分别为 ，且，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）（i）因为椭圆关于y轴对称，过点E的任意一条直线均有一条直线与之关于y轴对称， 所以以为直径的任意一个圆都存在另一个圆与之关于y轴对称， 所以为直径的圆过定点，则由对称性可知该定点必在轴上，设为点 ， 若直线的斜率存在，设其方程为，点， 联立，消去化简可得 ， 所以， 由 得 ， ， 即 ，即 ， 所以 ，故以为直径的圆过 若直线 斜率不存在，以为直径的圆显然过， 综上，以为直径的圆过定点； （ii）0或． 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可计算求解； （2）（i）先由对称性得到定点必在轴上，设为点 ，分斜率存在和不存在两种情况分析，斜率存在时联立直线方程与椭圆方程求出韦达定理，利用韦达定理和 即可分析求解定点，斜率不存在时求出过所求定点即可； （ii）由（i）得到 、 ，结合题设分析计算得到 ，取线段中点为，进而得到 即可进一步分析求解. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以的方程为 ． 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知， ，所以 ， ， 因为 ，所以 ， 即，也即 ， 所以 ，取线段中点为，则 ， 因为，所以点的坐标为 ， 当 时， ，符合题意， 当时，，则 ，解得． 综上， 或，即直线的斜率为0或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年合肥市高三第一次教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（） A. B. 或 C. D. 或 2. 设，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线，直线 与 的两条渐近线分别交于点 ，若，则 的离心率为（） A. B. C. D. 6. 已知函数为偶函数，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 国庆假期，某人计划去 五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在 之前， 与相邻，则不同的游览顺序共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 48种 D. 60种 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数．若存在不相等的实数，使得，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若的最小值为，则 C. 若，则的取值范围为 D. 若，且的最大值为，则的取值范围为 11. 设 为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交 于 两点，在第一象限，过 作直线的垂线，垂足分别为，则（） A. B. 若，则 C. 若，则直线的斜率为 D. 的面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 13. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_____． 14. 已知直线与轴、轴分别交于点，点在曲线上，点 在上，点 满足，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记 的内角的对边分别为，已知 ． （1）证明：； （2）求内角 的最大值． 16. 一个盒子中有5个大小相同的球，其中有2个黄球，3个白球． （1）随机一次取出3个球，用表示取出的球为黄球的个数，求的分布列和均值； （2）逐个不放回地随机取出5个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的个数”为事件，求． 17. 如图，直三棱柱 的所有棱长都等于2，点 ， 分别是线段 ，上的动点（异于端点），且 ． （1）证明： 平面； （2）若，求平面 与平面 夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时， ，求的取值范围； （3）设，证明：． 19. 已知椭圆的离心率为，点在 上． （1）求 的方程； （2）过点的直线交 于 ， 两点． （i）求证：以 为直径的圆过定点； （ii）当直线 的斜率存在时，记 的外接圆和内切圆的半径分别为 ，且，求直线 的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $