精品解析：河北赵县2025-2026学年度第一学期期末学业质量监测九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作签无效． 4．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11=0时，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣4）2=5 B. （x+4）2=5 C. （x﹣4）2=27 D. （x+4）2=27 3. 北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点在线段上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线是由抛物线平移得到的，下列平移方式中，正确的是( ) A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 7. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. 2024 C. D. 2026 8. 如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 9. 元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为( ) A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是( ) A. 或 B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，已知点A(-4，2)，B(-2，-2)，以原点O为位似中心，把△ABO放大为原来的2倍，则点A的对应点的坐标是_____． 14. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为______． 15. 如图，等腰直角三角形的斜边与平面直角坐标系轴负半轴重合，其中为坐标原点，，，若反比例函数的图象经过边的中点，则______． 16. 如图，正六边形中，P、Q两点分别为、的内心．若，则的长度为__． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 （1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）以点O为对称中心，画出关于点O的对称图形，直接写出点的坐标________； （2）以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则B在旋转过程中所走的路径长为________； （3）在（2）的条件下，线段扫过的面积是________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，在第三象限交于点，过点作轴于，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 20. 班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A，B，C，D．在抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下，取之前需先取下，直到4个福袋都被取下． （1）第一个取下的是福袋的概率为_______． （2）请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率． 21. 如图1是圆拱形门洞和两扇关闭的大门，如图2，圆拱形门洞所在圆的圆心为点O，门缝经过圆心O，且垂直水平门槛于点F，点A，B在⊙O上，，都垂直于．已知米，米，米． （1）尺规作图：在图2中画出圆心O；（保留作图痕迹，不写作图过程） （2）求的半径； （3）判断与的位置关系，并说明理由． 22. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离； （2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据，，，，） 23. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图，问这个矩形的最大面积是多少？ 24. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作签无效． 4．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身重合，逐一进行判断即可． 【详解】A、笛卡尔心形线不是中心对称图形，不符合题意； B、三叶玫瑰曲线不是中心对称图形，不符合题意； C、蝴蝶形曲线不是中心对称图形，不符合题意； D、太极曲线是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11=0时，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣4）2=5 B. （x+4）2=5 C. （x﹣4）2=27 D. （x+4）2=27 【答案】C 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：x2﹣8x=11， x2﹣8x+16=27， 所以（x﹣4）2=27， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3. 北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，观察图形根据三视图的特点即可得到答案． 【详解】解：领奖台从左面看为， 故选：C． 4. 如图，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点在线段上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质，等边对等角． 根据三角形的内角和定理求得，根据性质的性质得到，，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴． 故选：C 5. 如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据勾股定理求出的长，根据斜坡的坡度等于的值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴斜坡的坡度为； 故选C． 6. 抛物线是由抛物线平移得到的，下列平移方式中，正确的是( ) A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换；先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 因为点先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点， 所以把抛物线先向右移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线 故选B． 7. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. 2024 C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 直接利用两根之和与两根之积计算代数式的值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选A． 8. 如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．设钟表的中心为点，连接，根据题意可得：点在上，，然后利用圆周角定理可得，再利用切线的性质可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：设钟表的中心为点，连接， 由题意得：点在上，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ， ， 故选：B． 9. 元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定及其性质的运用是关键，根据题意，四边形，四边形是矩形，证明，得到，即，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意，， ∴，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：C． 10. 已知二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到−1＜−＜0，则根据不等式性质即可得到2a−b＜0；由于x＝−2时，对应的函数值小于0，则4a−2b＋c＜0；同样当x＝−1时，a−b＋c＞0，x＝1时，a＋b＋c＜0，则（a−b＋c）（a＋b＋c）＜0，利用平方差公式展开得到（a＋c）2−b2＜0，即（a＋c）2＜b2． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴x＝−＜0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0，（故①正确）； ∵−1＜−＜0， ∴−2a＞−b， ∴2a−b＜0，（故②错误）； ∵当x＝−2时，y＜0， ∴4a−2b＋c＜0，（故③错误）； ∵当x＝−1时，y＞0， ∴a−b＋c＞0， ∵当x＝1时，y＜0， ∴a＋b＋c＜0， ∴（a−b＋c）（a＋b＋c）＜0，即（a＋c−b）（a＋c＋b）＜0， ∴（a＋c）2−b2＜0，（故④错误）． 综上所述，正确的个数有1个； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝−；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2−4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 11. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是( ) A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，直角三角形的性质，勾股定理．首先求出点的坐标，根据题意得四次一循环，第次旋转结束时，点的坐标和第一次旋转后的坐标相等，再求出第一次旋转后点的坐标即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ， 由题意知，四次一循环， ， 第次旋转结束时，点的坐标和第一次旋转后的坐标相等， 绕点顺时针第一次旋转，如下图所示： 由题意得：， ，， ， 第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，已知点A(-4，2)，B(-2，-2)，以原点O为位似中心，把△ABO放大为原来的2倍，则点A的对应点的坐标是_____． 【答案】（，）或（，）． 【解析】 【详解】试题分析：∵点A，B的坐标分别为A（-4，2），B（-2，-2），△A′B′O△ABO是以原点O为位似中心的位似图形，且△A′B′O与△ABO的位似比为1：2，则A′的坐标为：（，）或（，）．故答案为（，）或（，）． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． 14. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 15. 如图，等腰直角三角形的斜边与平面直角坐标系轴负半轴重合，其中为坐标原点，，，若反比例函数的图象经过边的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，中点坐标，求反比例函数的解析式，过作轴于点，根据等腰直角三角形的到点的坐标，然后根据中点坐标公式得到点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵点是边的中点， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为：． 16. 如图，正六边形中，P、Q两点分别为、的内心．若，则的长度为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，三角形的内心．熟练掌握正六边形的性质，含的直角三角形性质，三角形的内心性质，三角形全等的判断和性质，轴对称性质，是解本题的关键． 连接，过点P作于点G，作于点M，作于点N，设正六边形的外接圆为，由对称性和直径性质得到，，根据含的直角三角形性质得到，，，根据三角形内心性质得到，，根据，推出，证明，得到垂直平分，点G在上，即得． 【详解】如图，连接，过点P作于点G，作于点M，作于点N，设正六边形的外接圆为， 由对称性知，是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∵P、Q两点分别为、的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴点P，Q关于直线对称， ∴垂直平分， ∴点G在上， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 （1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 【答案】（1）二；二 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误； 琪琪从第二步开始错误，因为她方程两边同时除以时，没有分情况讨论． 【小问2详解】 解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ∴， ∴或, 解得：； 按琪琪的解法：原方程可化为：， 当时，， 当时，两边都除以，得， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）以点O为对称中心，画出关于点O的对称图形，直接写出点的坐标________； （2）以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则B在旋转过程中所走的路径长为________； （3）在（2）的条件下，线段扫过的面积是________． 【答案】（1）作图见详解， （2）作图见详解， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变化，掌握中心对称图形，旋转的性质，弧长公式，扇形面积的计算是关键． （1）根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，结合勾股定理得到，由弧长公式即可求解； （3）根据扇形面积的计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， ∴即为所求图形， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， ∴即为所求图形， ∴， ∴B在旋转过程中所走的路径长； 【小问3详解】 解：，， ∴线段扫过的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，在第三象限交于点，过点作轴于，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）此反比例函数的解析式为：； （2）； （3）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意分别求出点、的坐标是解答此题的关键． （1）根据点在直线上求出的值即可得出反比例函数的解析式； （2）联立方程求得的坐标，根据三角形面积公式解答即可； （3）直接根据两函数的图象即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：直线与反比例函数的图象在第一象限交于点， ， ， 此反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：联立，解得或， ， 轴于， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， 由函数图象可知，当或是直线在双曲线的下方， 不等式的解集为或． 20. 班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A，B，C，D．在抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下，取之前需先取下，直到4个福袋都被取下． （1）第一个取下的是福袋的概率为_______． （2）请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图成为解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵第一次摘只能先从和中选择任意一个， ∴第一个摘下灯笼的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画出状态如下： 由树状图可得：所有等可能情况有4种，其中第二个取下的是A福袋的情况有1种， 第二个取下的是A福袋的概率为． 21. 如图1是圆拱形门洞和两扇关闭的大门，如图2，圆拱形门洞所在圆的圆心为点O，门缝经过圆心O，且垂直水平门槛于点F，点A，B在⊙O上，，都垂直于．已知米，米，米． （1）尺规作图：在图2中画出圆心O；（保留作图痕迹，不写作图过程） （2）求的半径； （3）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）米 （3）与相切；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查圆的相关尺规作图、半径求解及直线与圆位置关系判断，解题关键是利用圆的性质（弦的垂直平分线过圆心、勾股定理、直线与圆位置关系判定条件）进行分析与计算． （1）连接弦分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，H连接，就是弦的垂直平分线，该垂直平分线与已知直线的交点，即为圆的圆心． （2）先根据已知条件推出相关线段长度，得到米、米 ；设圆半径为，表示出；在中，依据勾股定理列方程求解半径． （3）由过圆心且得出，算出$OF$长度并与圆半径比较，根据圆心到直线距离等于半径则直线与圆相切，判定与相切． 【小问1详解】 解：尺规作图如图； 【小问2详解】 连接，，如图 ∵，，，， ∴四边形，四边形均为矩形． ∴，． ∵米，米， ∴米，米． ∵米， ∴米． ∵，∥， ∴． ∴米． 设半径长为r米，则米，（米）． 在中， ， 解得； ∴的半径为1.3米． 【小问3详解】 与相切．理由如下： ∵经过圆心O，且垂直水平门槛于点F， ∴， ∵米，米 ∴， ∴与相切． 22. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离； （2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据，，，，） 【答案】（1） （2）解：投影探头不会与桌面发生碰撞， 理由：过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， 在中，， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离． 投影探头不会与桌面发生碰撞． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，易得，在中，解直角三角形得出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案； （2）过点作，交的延长线于点，由题意得出，求出，在中，解直角三角形求出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：延长交于点， ， ，， ， 在中，，， ， ，， 投影探头的端点到桌面的距离， 投影探头的端点到桌面的距离约为； 【小问2详解】 略 23. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）设，根据（1）可得，根据，可得，即可得，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形零件的边长为，则， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴这个正方形零件的边长是； 【小问2详解】 解：设，同（1）可得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， ∵， 当时，此时矩形面积最大，最大面积是， 即：矩形面积最大是． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等等，解本题的关键是证明出． 24. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)当m=时，S最大，此时Q（，）． 【解析】 【分析】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，解方程即可得到结论； （2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小．根据抛物线解析式求出B（0，3），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论； （3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，连接QA，QB，OQ，根据S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB求出S与m的关系式，利用函数的性质求出m的值，进而得到结论． 【详解】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中， 得，解得， 则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小． 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，则B（0，3）． 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（3，0），B（0，3）， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y=-x+3， ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴对称轴是直线x=1． 当x=1时，y=-1+3=2， ∴P（1，2）； （3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ． 则S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB =×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3 =-m2+m =-（m-）2+， ∴当m═时，S最大，此时Q（，）． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，三角形的面积等知识，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $