精品解析：吉林长春市养正高级中学2025-2026学年度上学期高二期末考试数学试卷

长春市养正高级中学2025—2026学年度上学期高二期末考试 数学试卷 命题人：钱秀元 审核人：梁宏伟 史暖舒 董玉妍 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 2. 双曲线离心率为（ ） A B. C. D. 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 抛物线焦点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 6. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 二､多选题（每题6分，部分答对得3分，共18分） 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 10. 抛物线的准线为为上的动点，过作的一条切线，为切点，过作的垂线，垂足为，则（ ） A. 与相切 B. 当三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有1个 11. 双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 已知圆的面积为，则__________. 13. 设等差数列的前项和为，若，则使取得最小值的n的值为__________. 14. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 四､解答题（5个小题，其中15题13分，16､17题15分，18､19题17分） 15. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 16. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. （1）若为等边三角形，求的离心率； （2）如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值. 17. 已知双曲线，左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. （1）若的离心率为2，求； （2）若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. 18. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市养正高级中学2025—2026学年度上学期高二期末考试 数学试卷 命题人：钱秀元 审核人：梁宏伟 史暖舒 董玉妍 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 4. 设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，所以，结合椭圆的定义可求解. 【详解】由椭圆，可得，所以， 因为点在椭圆上，且为椭圆的两个焦点，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：A 5. 抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 6. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【解析】 【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到. 【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 二､多选题（每题6分，部分答对得3分，共18分） 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 抛物线的准线为为上的动点，过作的一条切线，为切点，过作的垂线，垂足为，则（ ） A. 与相切 B. 当三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有1个 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，设，于是问题转化成方程的解的个数问题. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是1，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确；B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，解得，故或， 当时，，，，， 不满足； 当时，，，，， 不满足； 于不成立，C选项错误； D选项，设，由，可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项错误. 故选：AB. 11. 双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 已知圆的面积为，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由圆的面积为，可得圆的半径为2，把圆的方程化为标准方程即可求解. 【详解】由圆的面积为，可得圆的半径为2， 把圆的方程化为标准方程为，所以，解得. 故答案：0. 13. 设等差数列的前项和为，若，则使取得最小值的n的值为__________. 【答案】4或5 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列基本量的计算，求得通项公式，利用，可求使取得最小值的n的值. 【详解】设等差数列的公差为，由， 得，解得， 所以， 令，得，解得， 由，可知数列是递增数列， 所以当或时，取得最小值. 故答案为：4或5. 14. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果. 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 四､解答题（5个小题，其中15题13分，16､17题15分，18､19题17分） 15. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【小问1详解】 由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 16. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. （1）若为等边三角形，求的离心率； （2）如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先连结，由为等边三角形，得到，；再结合椭圆定义，即可求出的离心率； （2）利用勾股定理，结合椭圆的定义可得，可求得的值. 【小问1详解】 连接，因为为等边三角形，所以，， 因为，所以，所以， 在中，因为，，所以， 于是， 故椭圆的离心率为； 小问2详解】 因为为椭圆上一点，所以，又， 所以，， 即，所以， 又，所以，解得. 17. 已知双曲线，左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. （1）若的离心率为2，求； （2）若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，求解即可. 【小问1详解】 由双曲线方程知，， 因为的离心率为2，所以，所以， 从而得，解得. 【小问2详解】 当时，由双曲线，可得. 因为点在第一象限，所以为钝角.又为等腰三角形， 所以. 设点，且，则，解得， 所以点的坐标为. 18. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 19. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或. 【解析】 【详解】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是. 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. （Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以. 所以，直线的方程为，或. 【考点】直线与椭圆综合问题 【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $