精品解析：吉林省长春希望高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

希望高中2025-2026学年度上学期期末考试 高二年级 数学试卷 一、单选题 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出焦点坐标和准线方程，进而可求出焦点到准线的距离. 【详解】抛物线的标准方程为，则，得， 所以焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到准线距离为. 故选：B. 2. 已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进而可求出公差. 【详解】因为，解得， 所以公差． 故选：C． 3. 圆与圆的位置关系为（　　） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再应用圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系. 【详解】由题意，，， 所以两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为4，10， 由，所以两圆内含. 故选：D 4. 曲线在点处的切线方程为（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得的导数为，即可求得切线斜率为，由直线方程的点斜式列方程整理即可得解. 【详解】记，则 所以曲线在点处的切线斜率为 所以曲线在点处的切线方程为：， 整理得： 故选C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数计算，考查转化能力，属于较易题. 5. 已知数列的前项和，则其通项公式 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据数列的前项和，求出，再根据当时，求出，并验证当是否也满足，即可求出数列的通项公式． 【详解】数列的前项和， ，, 又， ， 检验当时，， 故选：B. 6. 已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【详解】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 7. 已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当（ ）时，最大. A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 1013 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质分析可得且，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，等差数列中，若，， 则有， 所以， 同时，即， 必有且， 故当时，最大． 故选： 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，连接，，由双曲线的定义和中位线的性质分析可得，，进而可得， 变形可得，由此可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，如图，连接，， 因过点的直线与圆相切于点N，则， 又由，，则， 因点分别为线段和的中点，则， ，， 由双曲线的定义，，即，变形可得， 则， 故该双曲线的离心率 故选：C. 二、多选题 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数，若，则 B. 已知函数在上可导，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，求导得到，从而得到方程，求出；B选项，利用导数定义得到；C选项，利用导数除法法则计算出C错误；D选项，求导，得到，代入，求出答案. 【详解】A选项，，故，解得，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，令得， 解得，D正确. 故选：BD 10. 已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. C. 数列的前100项和为 D. 数列的前10项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，先求出，利用已知等式求出当时的值，再将已知等式和这个等式相减，从而得到，验证满足 ，得到是等比数列；对于B，利用等比数列的前项和公式求出；对于C，求出，得到为等比数列，利用等比数列的前项和公式求出的前100项和；对于D，利用分组求和法求出数列的前10项和． 【详解】对于A，当时，，解得， 当时，， 所以，即，当时也满足该式， 故，是等比数列，不是等差数列，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以为等比数列， 则其前100项和为，故C正确； 对于D，数列的前10项和为， 由于，故选项D错误． 故选：BC． 11. 过抛物线C：的焦点F作弦AB交抛物线于，两点，O为坐标原点，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设AB直线方程为，根据抛物线的几何性质，设而不求法及根与系数的关系，即可分别求解． 【详解】物线C：的焦点到准线的距离为， 焦点F为，准线方程为，选项正确； 设AB直线方程为， 联立，可得，又，， ，，选项正确； ，， ，选项正确； ，， ， 选项错误． 故选：ACD. 三、填空题 12. 在等比数列中，若，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项列式求解. 【详解】设等比数列的公比为，由，， 得，所以. 故答案为：2 13. 圆与圆的公共弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程求相交弦的方程，设公共弦长为，根据弦心距、公共弦长及半径的关系列方程求公共弦长即可. 【详解】由题意，两圆标准方程为：，，而两圆方程相减可得相交弦方程为：， ∵的圆心为，半径为2，则弦心距为， ∴设公共弦长为，则，两边平方整理得：，即. 故答案为： 14. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线方程确定椭圆的焦点坐标，再由点差法确定与的关系，列出关于，，的方程组，解方程组即可求解椭圆的方程． 【详解】抛物线的焦点坐标为， 所以椭圆C的右焦点坐标为， 设椭圆的半焦距为，则 设，，因为点，在椭圆上， 所以，两式相减得， 即， 因为点是的中点，且直线的斜率为， 所以，，， 所以，则，解得， 所以椭圆的方程为 故答案为： 四、解答题 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）长轴在轴上，长轴长为，离心率为的椭圆的标准方程； （2）焦点在直线上的抛物线的标准方程； （3）与椭圆有相同的焦点，且一个顶点为的双曲线的标准方程. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由长轴长和离心率求出和，进而求出的值，得椭圆的标准方程； （2）先求出抛物线的焦点坐标，再得到标准方程； （3）由椭圆的焦点得到双曲线的焦点，再结合顶点坐标得到双曲线的标准方程. 【小问1详解】 长轴在轴上，焦点在轴上， 设椭圆标准方程为， ，，，， 则，， 椭圆的标准方程是； 【小问2详解】 标准方程对应的焦点在坐标轴上， 抛物线的焦点是直线与坐标轴的交点，即焦点为或， 当焦点是时，抛物线标准方程是； 当焦点是时，抛物线标准方程是， 综上，抛物线的标准方程为或； 【小问3详解】 椭圆的焦点为，， 双曲线的焦点为，，， 设双曲线的标准方程是， 双曲线的顶点为，， ，， 则双曲线的标准方程是. 16. 已知等比数列满足． （1）求通项公式及前项和； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）（），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质及可求得.再由可求得公比和首项，进而得数列的通项公式；由等比数列求和公式即可求得前项和； （2）将代入式子可求得数列的通项公式，利用裂项求和法即可得数列的前项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为且 所以，得， 又因为， 所以，得． 所以（）， 所以． （2）因为 所以，则， 所以． 所以数列的前项和, ． 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及等比中项的简单应用，等比数列求和公式的应用，裂项求和法的应用，属于中档题. 17. 已知函数． （1）当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数； （2）若曲线在点处的切线方程为，求a的值． 【答案】（1）定义域为， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对数的意义求函数的定义域，然后由导数乘法公式求导数； （2）通过切点在切线上和函数的导数值等于切线的斜率，联立方程组求解即可. 【小问1详解】 当时，函数，其定义域为. 求导得； 【小问2详解】 由题意，切点  在切线  上，得 ， 由函数定义得 ，故  ①，切线斜率为 ，即 ， 由  得 ，故  ②， 将①代入②得 ，解得 . 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列. （2）求数列的通项公式； （3）若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）99 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义来进行证明. （2）根据（1）的结论来求得. （3）利用分组和求法以及单调性求得最大整数. 【小问1详解】 由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为等比数列. 小问2详解】 由（1）可得，所以， 所以. 【小问3详解】 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为99. 19. 已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. （1）求C的方程； （2）若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线倾斜角得到，由焦点到渐近线方程的距离得到，，得到双曲线方程； （2）（ⅰ）直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由根的判别式及得到不等式，求出，再利用直线与圆相交得到不等式，求出，直线AB的斜率，从而得到直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）由弦长公式和垂径定理得到，其中，设，，从而得到. 【小问1详解】 因为C的一条渐近线的倾斜角为，所以，， 则C的一条渐近线的方程为， 因为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，，所以C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，，设，， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为， 与联立得， 所以，，，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以.此时，即. 又圆O的方程为，点O到直线AB的距离， 由得，由得，所以或， 因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是. （ⅱ）由弦长公式得 ， 由垂径定理得， 所以， 其中，设，， 则， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 希望高中2025-2026学年度上学期期末考试 高二年级 数学试卷 一、单选题 1. 抛物线焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ） A. B. C. 3 D. 3. 圆与圆的位置关系为（　　） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 4. 曲线在点处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和，则其通项公式 A. B. C. D. 6. 已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 已知等差数列，其前n项和，且满足，，则当（ ）时，最大. A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 1013 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 二、多选题 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数，若，则 B. 已知函数上可导，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 10. 已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. C. 数列的前100项和为 D. 数列的前10项和为 11. 过抛物线C：的焦点F作弦AB交抛物线于，两点，O为坐标原点，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. C. D. 三、填空题 12. 在等比数列中，若，，则______. 13. 圆与圆的公共弦长为______． 14. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的方程为______. 四、解答题 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）长轴在轴上，长轴长为，离心率为的椭圆的标准方程； （2）焦点在直线上的抛物线的标准方程； （3）与椭圆有相同的焦点，且一个顶点为的双曲线的标准方程. 16. 已知等比数列满足． （1）求的通项公式及前项和； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数； （2）若曲线在点处的切线方程为，求a的值． 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列. （2）求数列的通项公式； （3）若，求满足条件最大整数. 19. 已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. （1）求C方程； （2）若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $