精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州和龙市2025-2026学年高二上学期期末学科质量检测数学试题

2025～2026学年度第一学期高二学科质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷考察内容：人教A版选择性必修第一册～选择性必修第二册第四章止. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 经过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出斜率，从而可求倾斜角. 【详解】，故倾斜角， 故选：A 2. 已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将数列的前五项进行改写，可归纳得出数列的一个通项公式. 【详解】，，，，， 由此归纳得出该数列的一个通项公式为， 故选：B. 3. 已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义及题意列出关系式即可. 【详解】抛物线的准线为，则由抛物线的定义可知，点到抛物线焦点的距离为， 故由题意可得，，得. 故选：B 4. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在面上的射影及空间向量的模求解. 【详解】因为是点在坐标平面内的射影， 所以，， 所以， 故选：B 5. 已知双曲线的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质即可求解即可求解. 【详解】如图所示，根据对称性，不妨设在左支, 由于 ，且， 所以， 由于关于原点对称，所以,结合可得 ，所以 故渐近线的倾斜角为， 双曲线的渐近线方程为． 故选：B 6. 中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列，根据前5项和得第二天织布数. 【详解】由题，设每日织布数的数列为，则为以2为公比的等比数列， 由题知，得，所以第二天织布尺数为. 故选：B. 7. 已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线的方程可得，所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即，因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 8. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的交点坐标，求出抛物线方程中的参数，得抛物线方程设直线方程为，，直线方程与抛物线方程联立方程组，消去得的二次方程，由韦达定理得，由判别式得的不等关系，由抛物线定义得，，这样可得关系代入判别式得关于的不等式，解之可得结论． 【详解】双曲线的标准方程是，其右焦点是.所以，，抛物线是， 设直线方程为，，由消去，化简整理得，因此， 由得，，. 因为，所以，即.，即， 解得.代入得到，，或. 故选：A． 【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题关键是利用设而不求的思想方法，设直线直线方程与抛物线方程联立方程组后，由韦达定理得，由判别式得不等关系，利用抛物线的定义与已知条件求得后得参数关系，代入判别式可得参数的范围．在直线与圆锥曲线的问题中这是基本方法． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. 与方向相同的单位向量是 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用坐标运算处理向量的线性运算、垂直平行问题和数量积夹角问题. 【详解】，， 可得与方向相同的单位向量是，A正确． 因为，所以，B正确． 因为，，所以与不垂直，C错误． ，D正确． 故选：ABD 10. 数列中，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先通过递推公式计算数列前几项，确定数列周期，再根据周期性分别计算各项结果进行判断. 【详解】因为数列中，，， 可得，，， …… 所以数列是周期为3的周期数列； 选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：由，可得， 故 ，D正确 故选：BD 11. 已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形三边关系可以判断A、C，根据抛物线的定义可以判断B，根据可以判断D. 【详解】A：根据题意可知的坐标为，因为，，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立， 而的方程为：，联立，得出，此时，故A正确； B：设在准线上的射影为，因为，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立，此时，，故B正确； C：因，则，当且仅当共线且顺次排列时等号成立，故C错误； D：由，所以成立，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若空间三点，则的面积为____. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量模及夹角的坐标表示，结合三角形面积公式求解. 【详解】依题意，，，则，， ，在中，， 所以的面积为. 故答案为： 13. 若存在等比数列，使得，则公比的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可. 【详解】由题设数列的公比为， 则， 整理得， 当时，易知，符合题意； 但当时，， 解得，且, 则公比的取值范围是. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意，得到三角形为等腰直角三角形，求出点的轨迹方程；再由恒成立，得到点所在的圆在以为直径的圆的内部，进而得到的最小值为圆的直径的最小值，即可得出结果. 【详解】因为是的中点，所以, 又因为，所以三角形为等腰直角三角形，所以, 即点在以为圆心，以为半径的圆上， 因此，点的轨迹方程为； 要使恒成立，则点所在的圆在以为直径的圆的内部， 而在直线上， 点到直线的距离, 所以，以为直径的圆的半径的最小值为, 所以线段长度的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与圆的方程的应用，属于常考题型. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求证：是等差数列. （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证， （2）根据等差数列的通项即可求解. 【小问1详解】 为常数， 所以为公差为的等差数列， 【小问2详解】 由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以，所以 16. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且. 17. 已知圆的方程为，直线与圆交于两点． （1）若坐标原点到直线的距离为，且过点，求直线的方程； （2）已知点，为的中点，若在轴上方，且满足，在圆上是否存在定点，使得的面积为定值？若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在点，使为定值. 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为：，根据原点到直线的距离为，解出的值即可； （2）设，直线的方程为：，利用韦达定理及，可得，，从而得点的轨迹为，设，可得，再根据三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 解：设直线的方程为：， 因为原点到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为； 【小问2详解】 解：设，直线的方程为：， 由，可得， 则， ， 所以， 因为在轴上方，所以，所以， 又因为为的中点，所以， 又因为，， 所以， 即，整理得：， 又因为， 整理得：， 代入， 化简得， 所以或， 当时，直线过定点不符题意， 所以，所以， 所以点在直线上， 即点的轨迹为， 所以直线，即，且， 假设存在满足条件的点，其坐标为， 则点到直线的距离， 所以， 所以当，即，，时， 为定值，此时的坐标为， 所以存在点，使为定值. 【点睛】关键点睛：本题的关键是得出点的轨迹，为后面设点的坐标和求的坐标作好铺垫. 18. 设双曲线的左、右焦点分别为，，且焦距为6，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）已知M是直线上一点，直线交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线OA的平行线l，l与直线OB交于点P，与x轴交于点Q，证明：P为线段MQ的中点． 【答案】（1）； （2） 由（1）可知：的横坐标为， 设直线的方程为，则的纵坐标为． 联立方程组，消去x得：， 则，可得， 设，则， 因为//，所以直线的方程为， 又因为直线的方程为， 联立方程组，解得， 即的纵坐标为． 由两式相除， 得，即， 所以， 因为，所以，故为线段的中点． 【解析】 【分析】（1）根据题意列式运算求解，即可得结果； （2）根据题意求直线的交点结合韦达定理分析证明. 【小问1详解】 因为焦距为6，所以， 将点代入的方程得， 又因为，联立解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值； （3）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得的面积最大值. 【小问1详解】 由题可知，，故，因此， 又因为点在椭圆上，故， 联立，解得，故椭圆. 【小问2详解】 由题可知，，故直线，设点， 联立直线与椭圆，得， 根据韦达定理，，， 由弦长公式知. 【小问3详解】 易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立，得， ， 由韦达定理可得， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期高二学科质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷考察内容：人教A版选择性必修第一册～选择性必修第二册第四章止. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 经过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 5 5. 已知双曲线的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 7. 已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. 与方向相同的单位向量是 B. C. D. 10. 数列中，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若空间三点，则的面积为____. 13. 若存在等比数列，使得，则公比的取值范围是__________． 14. 在平面直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求证：是等差数列. （2）求数列的通项公式. 16. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知圆的方程为，直线与圆交于两点． （1）若坐标原点到直线的距离为，且过点，求直线的方程； （2）已知点，为的中点，若在轴上方，且满足，在圆上是否存在定点，使得的面积为定值？若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 18. 设双曲线的左、右焦点分别为，，且焦距为6，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）已知M是直线上一点，直线交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线OA的平行线l，l与直线OB交于点P，与x轴交于点Q，证明：P为线段MQ的中点． 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $