第二十六章反比例函数随堂同步练习2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十六章反比例函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若反比例函数的图象位于第一象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在下列函数中：①；②；③；④．随的增大而减小的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．函数与在同一坐标系内的图象可以是（   ） A． B． C． D． 4．如图，曲线表示温度与时间之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度时，时间应（   ） A．不小于 B．不大于 C．不小于 D．不大于 5．一次函数和反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 7．若点(1，-3)、(-2，m)都是反比例函数y= (k≠0)的图象上的点，则m的值是（ ） A． B．- C．6 D．-6 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点若菱形的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，如图，A、B两点在函数的图像上，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接AB，且轴．点是轴上一点，连接PA，PB，若，，则与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，点都在双曲线上，P，Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，所在直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 12．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数上一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会　　 A．先增后减 B．先减后增 C．逐渐减小 D．逐渐增大 二、填空题 13．反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线．当时，函数图象在 、 象限，在每一象限内，y随x的增大而 ；当时，函数图象在 、 象限，在每一象限内，y随x的增大而 ．反比例函数的图象关于直角坐标系的 成中心对称． 14．若点与点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是 （填“”或“”） 15．反比例函数经过(-3，2)，则图象在 象限． 16．若三个点，，都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是 ． 17．已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则= ． 三、解答题 18．如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标． 19．已知函数． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 20．反比例函数的图象过点（2,3），求反比例函数的解析式，并通过计算判断点是否在函数图象上。 21．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间． (1)轮船到达目的地开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求船上货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要缷货多少吨？ 22．某养鱼专业户准备挖一个面积为的矩形鱼塘，若该矩形鱼塘的长为，宽为，那么是的函数吗？是反比例函数吗？ 23．某超市在40天内试销一种成本为40元/件的新商品．在前19天，每天的销售单价都是80元/件；后21天改变了销售措施，规定“每天的销售单价（元）由基础价格、浮动价格两部分构成，其中基础价格保持不变，浮动价格与（第天）成反比”．试销完毕后，通过统计整理还发现．试销售期间日销量（件）是天数（天）的一次函数，并且得到了如下表中的数据． 第天 25 30 日销量（件） 70 60 日销售单价（元） 85 77.5 (1)求试销售期间日销量（件）与（天）的函数关系式； (2)求后21天每天的销售单价（元）与（天）的函数关系式； (3)设第天的利润为（元），则这40天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 24．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点． (1)求反比例函数解析式； (2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 《第二十六章反比例函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A B A B C C 题号 11 12 答案 C D 1．C 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的图象在第一象限，可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一象限， ∴， ∴k的取值范围是． 故选：C． 2．C 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：①，，则随的增大而增大； ②，，则随的增大而减小； ③，，则随的增大而减小； ④，，则在自变量范围内，随的增大而减小； ∴随的增大而减小的共有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．也考查了一次函数的性质． 3．B 【分析】此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键在于掌握它们的性质才能灵活解题．先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：A．由函数的图象可知，由函数y的图象可知，相矛盾，故A错误； B．由函数的图象可知，由函数y的图象可知，故B正确； C．由函数的图象可知，由函数y的图象可知，相矛盾，故C错误； D．由函数的图象可知，由函数y的图象可知，相矛盾，故D错误． 故选：B． 4．B 【分析】首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：设函数解析式为， 经过点， ， 函数解析式为， 当时，. 故选. 【点睛】本题考查反比例函数的性质，待定系数法求比例系数k是解题第一步，后续不等式求解，需要注意如果涉及负数需要变号． 5．A 【分析】根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称即可求解． 【详解】解：一次函数和反比例函数的一个交点坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查正比例函数与反比例函数图像的交点的特点，掌握两个交点关于原点对称是解题关键． 6．B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 7．A 【分析】先将点(1，－3)带入反比例函数求出k，再将点 (－2，m)带入即可. 【详解】将点(1，－3)带入反比例函数y＝ 求出k＝－3, 再将点(－2，m)带入y＝－ ，可得m＝ , 故选A. 【点睛】本题考查的是反比例函数，熟练掌握反比例函数是解题的关键. 8．B 【分析】根据题意，可以设出点和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得的值，本题得以解决． 【详解】解：设点A的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为， 菱形的面积为， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得，， 故选：． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．C 【分析】先利用待定系数法求得反比例函数的解析式为；直线AB的解析式为y=-x+7；然后分别把x=2、3、4、5代入两个解析式，分别求出对应的纵坐标，再易得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标． 【详解】将A点坐标代入中，得， ， 设直线AB解析式为，将代入得； 当时,，，此时符合条件； 当时,，，此时符合条件； 当时, ，，此时符合条件； 符合条件的格点为，，． 故选C． 10．C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．设点A的坐标为，由轴，得点，根据，得，由此解出，进而表示点B的坐标，再根据得由此解出，进而得点B，然后利用待定系数法求出直线的表达式，据此可得点C的坐标， 【详解】点A在反比例函数的图象上， 设点A的坐标为， 轴， 点B的纵坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点B的坐标为， ， ， ， 解得：， 点B的坐标为， 点， ， ， ， ， 整理得：， ， 由，解得， 由，解得，不合题意，舍去 当时，点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将点B的坐标为，代入得， ， 解得：， 直线的表达式为：， 当时， 点C的坐标为 故选：C 11．C 【分析】本题考查最值问题，解题关键是利用轴对称，将几段线段长转化为一段线段的长，从而求得最短距离．先求出A、B的坐标，如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，连接与x轴、y轴的交点即为点P、Q，此时，四边形的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，从而求出所在直线解析式． 【详解】解：∵点，都在双曲线上， ∴，， ∴，， 如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，则点，，，， 连接与x轴、y轴的交点即为点P、Q，此时，四边形的周长最小， 设直线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得， 所以直线的解析式为，． 即所在直线解析式为： 故选：C． 12．D 【分析】过点P作PC⊥x轴于点C，根据k的几何意义可知矩形PBOC的面积为6，然后只需要讨论△APC的面积大小即可． 【详解】过点P作PC⊥x轴于点C， ∵点P在y=-（x＜0） ∴矩形PBOC的面积为6 设A的坐标为（a，0），P坐标（x，−）（x＜0）， △APC的面积为S， 当a＜x＜0时， ∴AC=x-a， ∴PC=- ∴△APC的面积为S=（x-a）•=-3（1-） ∵a＜0， ∴-a＞0， ∴-在a＜x＜0上随着x的增大而减小， ∴1-在a＜x＜0上随着x的增大而减小， ∴-3（1-）在a＜x＜0上随着x的增大而增大， ∴S=S△APC+6 ∴S在a＜x＜0上随着x的增大而增大， 当x≤a时， ∴AC=a-x， ∴PC=- ∴△APC的面积为S=（a-x）•=-3（-1） ∵a＜0， ∴在x＜a随着x的增大而增大， ∴-1在x＜a上随着x的增大而增大， ∴-3（-1）在x＜a上随着x的增大而减小， ∴S=6-S△APC ∴S在x＜a上随着x的增大而增大， ∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解题的关键是将点P的位置分为两种情况进行讨论，然后根据反比例函数的变化趋势求出△APC的面积变化趋势．本题综合程度较高． 13． 一 三 减小 二 四 增大 原点 【分析】根据反比例函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线．当时，函数图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，函数图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．反比例函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称． 故答案为：一；三；减小；二；四；增大；原点． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟知反比例函数的性质． 14． 【分析】考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，又，可得到与点是第一象限图象上的两点，可得． 【详解】解：∵， 函数图象位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，， 又∵， ， 故答案为：． 15．二、四 【分析】先根据待定系数法求得函数关系式，再根据反比例函数的性质即可得到结果． 【详解】∵反比例函数经过（-3，2) ∴ ∴图象在二、四象限． 故答案为∶ 二、四 【点睛】待定系数法求函数关系式是函数问题中极为重要的方法，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握． 16． 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质来解答． 先根据反比例函数中判断出函数图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：， 函数图象位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ，， 点，位于第二象限， ，， ， ， ， 点位于第四象限， ， ， 故答案为：． 17．6 【分析】根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB即可． 【详解】过点A作AC⊥OB于点C， ∵AO=AB， ∴CO=BC， ∵点A在的图象上， ∴AC×CO=3， ∴AC×BC=3， ∴S△AOB=6． 故答案为：6． 18．(1)， (2)(0，1)和(0，-1) 【分析】（1）利用矩形的面积和ON的值即可求出PM，进而得到P点的坐标，再利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出A点的坐标，即可得到OA的长度；利用矩形的面积求出△QOA的面积，根据G点在y轴上，则有OG⊥OA，即可表示出△QOA的面积，进而求出OG的长度，则在y轴的正半轴和负半轴各有一个符合要求的G点，其坐标可得． 【详解】（1）∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，矩形ONPM的面积是2，ON=1， ∴PM=ON=1， ∴PN=OM=2，即P点坐标为(1,2)， ∵反比例函数和一次函数都进过P点， ∴将P点坐标分别代入得：，， ∴k=2，b=1， ∴反比例函数的解析式为：和一次函数； （2）将y=0代入得x=-1， ∴直线与x轴的交点A的坐标为(-1,0)， ∴OA=1， ∵，=2， ∴， ∵G点在y轴上， ∴OG⊥OA，即， 又∵OA=1， ∴OG=1，即G点到x轴的距离为1， ∵G点在y轴上， ∴在y轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的G点， ∴G的坐标为：(0，1)、(0，-1)． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解反比例函数、一次函数的解析式等知识，正确求出P点坐标是解答本题的关键． 19．(1)1 (2)0 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得到，且； （2）根据正比例函数的定义得到，且； 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，且，解得． （2）解：∵函数是反比例函数， ∴，且，解得． 即当时，y是x的反比例函数． 20．，点在该反比例函数的图象上. 【分析】首先设这个反比例函数的解析式为再把点A（2，3）的坐标代入函数关系式，即可算出k的值，进而可得函数关系式；把点B（-3，-2）代入反比例函数的解析式，满足关系式，就是函数图象上的点，反之则不在． 【详解】设反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象过点， ∴反比例函数的解析式为. 把代入，得. ∴点在该反比例函数的图象上. 【点睛】此题主要考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，判断点是否在函数图象上，题目比较简单，是中考常考题型． 21．（1）v＝；（2）48吨 【分析】（1）首先根据题意可知总工作量为30×8=240吨不变，故卸货速度v与卸货时间t之间为反比例关系，即vt=240，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将t≤5代入，即可求出v的取值范围． 【详解】解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k＝30×8＝240，所以v关于t的函数表达式为v＝ (2)∵v＝， ∴t＝， ∵t≤5， ∴≤5， 解得v≥48. 即平均每天至少要卸货48吨 【点睛】考查反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解. 22．是的函数，是反比例函数 【分析】根据矩形的面积公式，得即，解答即可． 本题考查了矩形的面积，反比例函数的判断，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得即， 故是的函数，且是反比例函数． 23．(1) (2) (3)这40天中第1天获得的利润最大；最大利润是多少元 【分析】（1）根据题意，设，由表中数据，将代入表达式，解二元一次方程组即可得到试销售期间日销量（件）与（天）的函数关系式； （2）根据题意，设，由表中数据，将代入表达式，解方程组即可得到后21天每天的销售单价（元）与（天）的函数关系式； （3）对于前19天，每件的利润是元；对于后21天，每件的利润是元；再根据试销售期间日销量（件）与（天）的函数关系式为，从而得到第天的利润为（元）的表达式为，根据一次函数及反比例函数的图像与性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：试销售期间日销量（件）是天数（天）的一次函数， 设，将代入表达式，则 ，解得， 试销售期间日销量（件）与（天）的函数关系式为； （2）解：后21天改变了销售措施，规定“每天的销售单价（元）由基础价格、浮动价格两部分构成，其中基础价格保持不变，浮动价格与（第天）成反比”， 设，将代入表达式，则 ，解得， 后21天每天的销售单价（元）与（天）的函数关系式为； （3）解：根据题意，分两种情况： 前19天，每件的利润是元，则； 后21天，每件的利润是元，则； 综上所述，第天的利润为（元）的表达式为， 当时，，由得到随着值的增大而减小，故当时，有最大利润为元； 当时，，由得到随着值的增大而减小，故当时，有最大利润为元； ， 这40天中第1天获得的利润最大；最大利润是多少元． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数解决实际应用题，涉及待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式、一次函数及反比例函数图像与性质求最大利润等，读懂题意，掌握待定系数法求函数表达式，掌握利润单件商品利润销售量是解决问题的关键． 24．(1) (2)或 【分析】（1）先将代入求出，再将代入反比例函数即可求出k； （2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A 把代入得 ∴ ∴ 把代入反比例函数得 ∴ ∴反比例函数的解析式是； （2）由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为， ∵，B在反比例函数图象上， ∴B(2，2), 令D(m,n)， 以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 当AB为一条对角线时，则， 解得m=1，n=6， ∴D(1,6) 当AC为一条对角线时，则， 解得m=1，n=2， ∴D(1,2) 当AD为一条对角线时，则， 解得m=3，n=-2， ∴D(3,-2)（舍去） 综上所述，点D的坐标是或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $