题型4 反比例函数与线段长相关问题（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册第二十六章反比例函数，通过一次函数与反比例函数交点、线段长及面积计算等问题，从基础求解析式到动点线段比问题，搭建由浅入深的学习支架，衔接函数图像与几何知识。 其亮点是精选各地期末模拟题，以数学眼光抽象几何直观，如变式1分点C位置讨论培养推理能力，压轴题代数推导强化运算，用数学语言构建模型。助力学生提升综合应用能力，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十六章　反比例函数 26.1　反比例函数 题型4　反比例函数与线段长相关问题 （2025·六安皋城中学期末节选）如图，一次函数y1＝－x＋ 4的图象与反比例函数y2＝ （k≠0，x＞0）的图象交于A （1，a），B两点. （1）求反比例函数的解析式； 解：（1）∵一次函数y1＝－x＋4的图象与 反比例函数y2＝ （k≠0，x＞0）的图象交 于A（1，a），B两点，∴a＝－1＋4＝3， ∴A（1，3），∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为y2＝ （x＞0）. 上一页 下一页 （2）过线段AB上的动点P作x轴的垂线，垂足为M，PM交函 数y2的图象于点Q，若 ＝ ，求点P的坐标. （2025·六安皋城中学期末节选）如图，一次函数y1＝－x＋ 4的图象与反比例函数y2＝ （k≠0，x＞0）的图象交于A （1，a），B两点. 上一页 下一页 解：（2）设P（n，－n＋4）.∵PM⊥x轴， ∴M（n，0），Q（n， ）. ∵ ＝ ，∴ ＝ ，解得n＝2， ∴点P的坐标为（2，2）. 上一页 下一页 拔高题　 【变式1】（2025·芜湖期末）如图，在平面直角坐标 系xOy内，函数y＝ x的图象与反比例函数y＝ （k≠0，x＞ 0）图象有公共点A，点A的坐标为（4，a），AB⊥x轴，垂 足为B. （1）求反比例函数的解析式； 上一页 下一页 解：（1）∵点A（4，a）在函数y＝ x的图象上， ∴a＝4× ＝2，∴点A的坐标为（4，2）. ∵点A在反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象上， ∴2＝ ，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝ . 上一页 下一页 拔高题　 【变式1】（2025·芜湖期末）如图，在平面直角坐标 系xOy内，函数y＝ x的图象与反比例函数y＝ （k≠0，x＞ 0）图象有公共点A，点A的坐标为（4，a），AB⊥x轴，垂 足为B. （2）C是第一象限内直线OA上的一点，过点C作直线 CD∥AB，与反比例函数y＝ （k≠0，x＞0） 的图象交于点D，CD＝ AB，求点D的坐标 和△ADO的面积. 上一页 下一页 解：（2）当点C在点A的右侧时，连接AD，OD，如图所示. ∵AB⊥x轴，点A的坐标为（4，2）， ∴AB＝2.设点C的坐标为（m， m）（m＞0）. ∵CD∥AB，且点D在反比例函数y＝ 的 图象上，∴点D的坐标为（m， ）， 上一页 下一页 ∴CD＝ m－ .∵CD＝ AB，∴ m－ ＝ ×2，解得m＝8 或m＝－2. ∵m＞0，∴m＝8，∴点D的坐标为（8，1）， 点C的坐标为（8，4），∴CD＝3， ∴S△ADO＝S△CDO－S△CDA＝ CD·xD－ CD·（xD－xA）＝ ×3×8－ ×3×（8－4）＝6. 上一页 下一页 当点C在点A的左侧时，连接AD，OD，如图所示. 设点C的坐标为（n， n）（n＞0）. ∵CD∥AB，且点D在反比例函数y＝ 的图象上， ∴点D的坐标为（n， ）， ∴CD＝ － n.∵CD＝ AB， ∴ － n＝ ×2，解得n＝2或n＝－8. 上一页 下一页 ∵n＞0，∴n＝2，∴点D的坐标为（2，4）， 点C的坐标为（2，1），∴CD＝3， ∴S△ADO＝S△CDO＋S△CDA＝ CD·xD＋ CD·（xA－xD）＝ ×3×2＋ ×3×（4－2）＝6.综上所述，点D的坐标为（8，1） 或（2，4），△ADO的面积为6. 上一页 下一页 压轴题　 【变式2】（2025·黄山歙县模拟）如图，已知A，B 是直线y1＝x上的两点，分别过点A和点B作AC∥BD∥x轴， AC和BD分别交双曲线y2＝ （x＞0）于点C和点D，连接 OC，OD. （1）直线y1和双曲线y2的交点坐标 为 ⁠； （2，2）　 上一页 下一页 【解析】（1）令 ＝x，解得x＝2或x＝－2（舍去），则y＝ x＝2，∴直线y1和双曲线y2的交点坐标为（2，2）. 上一页 下一页 压轴题　 【变式2】（2025·黄山歙县模拟）如图，已知A，B 是直线y1＝x上的两点，分别过点A和点B作AC∥BD∥x轴， AC和BD分别交双曲线y2＝ （x＞0）于点C和点D，连接 OC，OD. （2）若BD＝ AC，则2OC2－OD2的 值为_____. 8　 上一页 下一页 【解析】（2）如图，延长AC和DB分别交y轴于点E和点F， 则OF＝BF，OE＝AE，∠CEO＝∠BFO＝90°，∴△AOE 和△BOF都是等腰直角三角形. 设AE＝OE＝m，则CE＝ ， ∴AC＝m－ . 设BF＝OF＝n，则DF＝ ， 上一页 下一页 ∴BD＝ －n. ∵BD＝ AC，∴ －n＝ （m－ ）. 整理，得n2＋ －8＝2（m2＋ －8）， ∴2（m2＋ ）＝n2＋ ＋8. 在Rt△COE中，OC2＝OE2＋CE2＝m2＋ . 同理，得OD2＝OF2＋DF2＝n2＋ ， ∴2OC2－OD2＝2（m2＋ ）－（n2＋ ） ＝（n2＋ ＋8）－（n2＋ ）＝8. 上一页 下一页 【变式3】（2025·马鞍山雨山区二模）如图，A，B两点在反 比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C， BD⊥x轴于点D，连接OA，OB，AB. （1）若AC＝BD＝1，k＞1，AO＝AB，则k的值为 ⁠⁠. 2＋ 上一页 下一页 【解析】（1）∵A，B两点在函数y＝ 的图象上，AC⊥y 轴，BD⊥x轴，AC＝BD＝1， ∴A（1，k），B（k，1），∴AO＝ . ∵AO＝AB，∴ ＝ ， 解得k＝2＋ 或k＝2－ . ∵k＞1，∴k＝2＋ . 上一页 下一页 【变式3】（2025·马鞍山雨山区二模）如图，A，B两点在反 比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C， BD⊥x轴于点D，连接OA，OB，AB. （2）点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且a＜b.若OA＝ OB，OC＝3，则OD＝ ⁠. 3　 上一页 下一页 【解析】（2）由题意，得A（a，3）. 将A（a，3）代入y＝ ，得k＝3a， ∴反比例函数的解析式为y＝ . ∵点B的横坐标为b，且点B在反比例函数的图象上， ∴B（b， ）. ∵OA＝OB，∴a2＋32＝b2＋（ ）2. 上一页 下一页 整理，得（a＋b）（a－b）＝（ ＋3）（ －3）＝ ＝ ， ∴（a＋b）（a－b）－ ＝0， ∴（a＋b）（a－b）（1－ ）＝0. ∵0＜a＜b，∴1－ ＝0，解得b＝3，∴OD＝3. 上一页 下一页 谢谢观看 $